# Tại Sao a Mũ 0 Bằng 1? – Nhân 0 Lần Mà Lại Ra 1

> a⁰ = 1 không phải quy ước đặt ra cho có: đó là con số duy nhất giữ cho quy tắc nhân lũy thừa không bị gãy, và cũng là điểm xuất phát của mọi phép nhân. Câu chuyện đi từ Archimedes đếm cát, qua bản thảo bị quên 400 năm của Nicolas Chuquet, tới cái bảng của Michael Stifel.

- Trang bài: https://anim.vn/vi-sao/01-a-mu-khong-bang-mot/
- Video: https://youtu.be/T964c47KDgQ (7:26)
- Thuộc: Vì sao?

## Mục lục video

- 0:00 Gấp tờ giấy 0 lần thì sao?
- 0:55 Người đếm cát và bản thảo bị quên 400 năm
- 2:30 Nhân 0 lần là gì?
- 3:18 Đi lùi trên bậc thang lũy thừa
- 4:24 Quy tắc không được phép gãy
- 5:28 Vì sao không phải số 0?
- 6:10 a⁰ ở ngay quanh bạn
- 6:53 Giữ 3 hình ảnh này

**Luận điểm:** a⁰ = 1 không phải quy ước đặt ra cho có. Đó là con số duy nhất giữ cho quy tắc nhân luỹ thừa không bị gãy, và cũng là điểm xuất phát của mọi phép nhân.

## Lập luận

1. **Đi lùi trên bậc thang luỹ thừa.** 2⁵ = 32, 2⁴ = 16, 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2: mỗi lần số mũ giảm 1 thì chia cho 2. Bước tiếp theo: 2 : 2 = 1, nên 2⁰ = 1. Tổng quát a⁰ = a¹ : a = 1 (a ≠ 0).
2. **Quy tắc cộng số mũ không được gãy.** aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Cho n = 0: 2³ · 2⁰ = 2³ = 8, tức 8 · 2⁰ = 8, nên 2⁰ chỉ có thể là 1. Nếu 2⁰ = 0 thì 8 · 0 = 0 ≠ 8. Phép chia cũng vậy: 2³ : 2³ = 1, mà theo quy tắc trừ số mũ lại bằng 2⁰.
3. **Phép nhân bắt đầu từ 1.** Cộng thì bắt đầu từ 0, nhân thì bắt đầu từ 1. 2³ = 1 × 2 × 2 × 2; 2⁰ = 1, không nhân gì thêm. Tờ giấy chưa gấp lần nào vẫn là 1 lớp.

## Câu chuyện

- **Thế kỷ III TCN, Archimedes** (*Người đếm cát*): muốn đếm số hạt cát lấp đầy vũ trụ khi hệ đếm Hy Lạp chỉ gọi tên tới một vạn; ông chứng minh quy tắc 10ᵃ · 10ᵇ = 10ᵃ⁺ᵇ và ước tính khoảng 10⁶³ hạt.
- **1484, Nicolas Chuquet** (Pháp, *Triparty en la science des nombres*): viết 12x⁰ = 12, có lẽ là lần đầu tiên x⁰ = 1 xuất hiện. Bản thảo bị chép không ghi tên năm 1520 và chỉ được in năm 1880.
- **1544, Michael Stifel** (Đức, *Arithmetica integra*): người đầu tiên dùng từ "số mũ" (exponent); bảng luỹ thừa của 2 kéo lùi tới 0 ↔ 1, −1 ↔ ½. Ông cũng từng tính ra ngày tận thế vào tháng 10 năm 1533, và tính sai.

## Ứng dụng

- Hàng đơn vị là hàng 10⁰: 2475 = 2·10³ + 4·10² + 7·10¹ + 5·10⁰.
- Số nhị phân trong máy tính: chữ số ngoài cùng bên phải có giá trị 2⁰ = 1.
- Tăng gấp đôi theo thời gian: ở thời điểm 0, 2⁰ = 1 là lượng ban đầu.

## Nguồn

- Wikipedia: [Exponentiation](https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#History) · [The Sand Reckoner](https://en.wikipedia.org/wiki/The_Sand_Reckoner) · [Nicolas Chuquet](https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Chuquet) · [Michael Stifel](https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Stifel) · [Empty product](https://en.wikipedia.org/wiki/Empty_product)
- MacTutor (St Andrews): [Archimedes](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) · [Chuquet](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Chuquet/) · [Stifel](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Stifel/)

## Lời thoại video

### 0:00 Gấp tờ giấy 0 lần thì sao?

Lấy một tờ giấy, gấp đôi 1 lần: được 2 lớp. Gấp 2 lần: 4 lớp. Gấp 3 lần: 8 lớp. Số lớp giấy chính là 2 mũ số lần gấp: 2¹, 2², 2³. Vậy gấp 0 lần thì sao? Chưa gấp gì cả, tờ giấy vẫn là 1 lớp. Tức là 2⁰ = 1. Bạn thử bấm máy tính mà xem. 2⁰ = 1. 5⁰ = 1. 1000⁰ vẫn = 1. Nhưng khoan đã. 2³ là ba số 2 nhân với nhau. Vậy 2⁰ là nhân 0 lần à? Không nhân gì thì phải ra 0 chứ, sao lại ra 1? Quan điểm của mình là: a⁰ = 1 chẳng phải quy ước đặt ra cho có. Đó là con số duy nhất giữ cho toán học không bị gãy. Và câu chuyện bắt đầu từ hơn 2000 năm trước.

### 0:55 Người đếm cát và bản thảo bị quên 400 năm

Thế kỷ III trước Công nguyên, ở Syracuse, Archimedes đặt ra một câu hỏi lạ: cần bao nhiêu hạt cát để lấp đầy cả vũ trụ? Khó ở chỗ, hệ đếm của người Hy Lạp khi ấy chỉ gọi tên được tới một vạn, tức 10 000. Archimedes phải tự nghĩ ra cách gọi những con số khổng lồ, và ông tìm ra một quy tắc: nhân hai lũy thừa của 10, chỉ cần cộng số mũ. 10² · 10³ = 10⁵ Nhờ quy tắc đó, ông ước tính số hạt cát vào khoảng 10⁶³. Hãy nhớ quy tắc cộng số mũ này, lát nữa nó sẽ quay lại. Gần 1800 năm sau, năm 1484, ở nước Pháp, một người tên Nicolas Chuquet viết một cuốn sách toán. Trong đó có một dòng rất lạ: 12 · x⁰ vẫn chỉ là 12. Nói cách khác, x⁰ = 1. Các nhà sử học cho rằng đây có lẽ là lần đầu tiên điều này được viết ra. Nhưng cuốn sách không được in. Nó bị người khác chép lại mà không ghi tên, rồi nằm im gần 400 năm, tới năm 1880 mới được in. Năm 1544, ở nước Đức, mục sư Michael Stifel viết một cuốn sách số học. Ông này từng tính ra ngày tận thế, vào tháng 10 năm 1533. Tất nhiên là tính sai. Nhưng Stifel là người đầu tiên dùng chữ "số mũ", và trong sách ông có một cái bảng rất đơn giản. Cái bảng đó chính là chìa khóa của video này.

### 2:30 Nhân 0 lần là gì?

Trước khi xem cái bảng, hãy nhớ lại điều ta học ở trường: aⁿ là tích của n thừa số a. 2³ = 2 · 2 · 2. 2² = 2 · 2. 2¹ chỉ còn một số 2. Định nghĩa này rất tốt, nhưng nó chỉ dùng được khi số mũ từ 1 trở lên. Với số mũ 0, câu "tích của 0 thừa số" nghe như vô nghĩa. Không có thừa số nào thì lấy gì mà nhân? Nhiều bạn sẽ đoán: không nhân gì thì ra 0. Nghe hợp lý, nhưng lát nữa ta sẽ thấy: nếu bằng 0 thì mọi thứ hỏng hết. Vậy thay vì hỏi "nhân 0 lần là gì", hãy hỏi một câu khác: toán học cần 2⁰ bằng bao nhiêu thì mọi thứ mới còn chạy đúng?

### 3:18 Đi lùi trên bậc thang lũy thừa

Đây là cái bảng của Stifel. Hàng trên là số mũ: 1, 2, 3, 4, 5. Hàng dưới là lũy thừa của 2: 2, 4, 8, 16, 32. Đi sang phải, số mũ tăng 1, còn lũy thừa nhân đôi. Giờ đi ngược lại. Số mũ giảm 1, lũy thừa chia đôi: 32, 16, 8, 4, 2. Bước tiếp theo, số mũ về 0. Hai chia đôi là bao nhiêu? Là 1. 2⁰ = 1. Stifel còn đi tiếp sang bên trái nữa, ra ½, ¼. Đó là số mũ âm, bạn sẽ gặp khi học lên cao. Thử với số 10: 1000, 100, 10. Chia 10 thêm một lần, ta được 1. 10⁰ cũng bằng 1. Với số a bất kỳ khác 0 cũng vậy: lùi một bước từ a¹ là a : a = 1.

### 4:24 Quy tắc không được phép gãy

Nhưng nhìn dãy số mới chỉ là quan sát. Lý do thật sự nằm ở quy tắc của Archimedes. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số thì cộng số mũ: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ Giờ cho số mũ thứ hai bằng 0. 2³ · 2⁰ = 2³⁺⁰ = 2³ = 8. Vậy 8 · 2⁰ phải bằng 8. Số nào nhân với 8 mà vẫn ra 8? Chỉ có một số duy nhất: số 1. Thử cho 2⁰ = 0 xem. 8 · 0 = 0, chứ không phải 8. Quy tắc gãy ngay lập tức. Phép chia cũng vậy. 2³ : 2³ một số khác 0 chia cho chính nó thì bằng 1. Còn theo quy tắc trừ số mũ, kết quả là 2⁰. Hai cách tính phải ra cùng một kết quả, nên 2⁰ = 1. Nghĩa là không có lựa chọn nào khác. Muốn các quy tắc lũy thừa đúng với mọi số mũ, a⁰ bắt buộc phải bằng 1.

### 5:28 Vì sao không phải số 0?

Còn câu hỏi lúc đầu: nhân 0 lần mà lại ra 1 à? Hãy nghĩ thế này. Khi cộng, bạn bắt đầu từ số 0. Chưa cộng gì thì tổng bằng 0. Khi nhân, bạn phải bắt đầu từ số 1, vì nhân với 1 không làm thay đổi gì cả. 2³ là: bắt đầu từ 1, × 2, × 2, × 2, được 8. 2⁰ là: bắt đầu từ 1, và không nhân gì cả. Vẫn là 1. Giống tờ giấy lúc đầu: chưa gấp lần nào, nó vẫn là 1 lớp, chứ không biến mất. Máy tính cũng làm y như vậy. Muốn tính lũy thừa, nó cho kết quả bằng 1 trước, rồi mới nhân dần.

### 6:10 a⁰ ở ngay quanh bạn

Và a⁰ có mặt ở ngay những chỗ bạn gặp hằng ngày. 2475 = 2 · 10³ + 4 · 10² + 7 · 10¹ + 5 · 10⁰ Hàng đơn vị chính là hàng 10⁰. Trong máy tính, mọi thứ được lưu bằng số nhị phân, chỉ gồm 0 và 1. Chữ số ngoài cùng bên phải có giá trị 2⁰, tức là 1. Một đàn vi khuẩn cứ mỗi giờ tăng gấp đôi. Sau t giờ, số vi khuẩn gấp 2ᵗ lần ban đầu. Ở thời điểm 0 giờ, 2⁰ = 1: đúng là đàn vi khuẩn ban đầu, không hơn không kém.

### 6:53 Giữ 3 hình ảnh này

Tóm lại, hãy giữ ba hình ảnh này trong đầu. Một: đi lùi trên bậc thang lũy thừa, mỗi bước chia cho a, bước cuối ra 1. Hai: quy tắc cộng số mũ chỉ đứng vững khi a⁰ = 1. Ba: phép nhân luôn bắt đầu từ số 1. Nhưng còn một trường hợp mình cố tình bỏ qua: nếu a = 0 thì sao? 0⁰ bằng bao nhiêu? Các nhà toán học đã tranh cãi chuyện này suốt mấy trăm năm. Đó là câu chuyện cho một video khác. Hẹn gặp lại bạn.