# Tại Sao Gom Nhóm Lũy Thừa Lại Chứng Minh Được Chia Hết? – Không Phải Đoán Mò

> Gom nhóm để chứng minh chia hết không phải mẹo đoán mò: số dư của lũy thừa luôn chạy vòng, và độ dài một vòng cho biết chính xác phải gom bao nhiêu số. Câu chuyện đi từ lá thư năm 1640 của ông luật sư Fermat, qua Euler và Gauss, tới mã hóa bảo vệ điện thoại của bạn hôm nay.

- Trang bài: https://anim.vn/vi-sao/02-gom-nhom-luy-thua/
- Video: https://youtu.be/SEewyH5MRMY (8:45)
- Thuộc: Vì sao?

## Mục lục video

- 0:00 Số 25 chữ số có chia hết cho 17?
- 0:58 Ông luật sư giấu lời giải
- 2:25 Mẹo gom nhóm và chỗ bí
- 3:36 Số dư chạy vòng tròn
- 4:51 Gom đúng một vòng
- 6:18 Mẹo thứ hai: về cùng cơ số
- 7:17 Vòng số dư quanh bạn
- 8:07 Giữ hình ảnh vòng tròn

**Luận điểm:** Gom nhóm không phải đoán mò. Số dư của lũy thừa luôn chạy vòng, và độ dài một vòng cho biết phải gom bao nhiêu số.

## Lập luận

1. **Mẹo quen thuộc.** 1 + 5 + 5² + … + 5⁹: gom từng cặp, mỗi cặp là một lũy thừa nhân với (1 + 5) = 6, nên cả tổng chia hết cho 6. 1 + 2 + … + 2²⁹: gom từng 3 số, mỗi nhóm có (1 + 2 + 4) = 7. Nhưng với 1 + 2 + … + 2⁷⁹ và số 17 thì gom 2, 3, 4 số đều không ra (3, 7, 15).
2. **Số dư chạy vòng.** 2ⁿ chia 17 dư lần lượt 1, 2, 4, 8, 16, 15, 13, 9 rồi quay về 1. Mẹo tính: số dư mới = số dư cũ × 2, lớn hơn 17 thì trừ 17. Một vòng dài 8 bước, tức 2⁸ = 256 = 15·17 + 1.
3. **Gom đúng một vòng.** 1 + 2 + … + 2ᵏ⁻¹ = 2ᵏ − 1. Gom 8 số được 2⁸ − 1 = 255 = 15·17. Tổng 80 số hạng = 10 nhóm, mỗi nhóm là 255 nhân một lũy thừa của 2, nên chia hết cho 17.
4. **Đọc đề để đoán số nhóm.** Muốn biết gom mấy, tìm độ dài vòng số dư (3ⁿ chia 13: 1, 3, 9 → vòng 3, nên gom 1 + 3 + 9 = 13). Đề thường chọn số số hạng chia hết cho độ dài vòng.
5. **Mẹo thứ hai: về cùng cơ số.** 4⁶ + 2⁹ = 2¹² + 2⁹ = 2⁹·(8 + 1) = 2⁹·9. 27⁴ + 9⁵ = 3¹² + 3¹⁰ = 3¹⁰·10. Đây là gom nhóm ngược: rút phần chung ra ngoài.

## Câu chuyện

- **1640, Pierre de Fermat**, luật sư ở Toulouse, làm toán lúc rảnh. Trong thư gửi Frénicle de Bessy, ông nêu định lý nhỏ Fermat (p nguyên tố, a không chia hết cho p thì aᵖ⁻¹ chia p dư 1), và viết rằng sẽ gửi chứng minh "nếu không sợ nó quá dài".
- **1736, Leonhard Euler** công bố chứng minh đầu tiên, 96 năm sau lá thư (Leibniz có chứng minh gần giống trong bản thảo trước 1683 nhưng không công bố).
- **1801, Carl Friedrich Gauss**, 24 tuổi, in *Disquisitiones Arithmeticae*, biến các mẹo số dư thành một môn có hệ thống và đưa ra kí hiệu đồng dư ≡.
- **1977**, mã hoá RSA (Rivest, Shamir, Adleman, MIT) ra đời; chứng minh RSA giải mã đúng dựa trên định lý nhỏ Fermat / định lý Euler.

## Ứng dụng

- Lịch: thứ trong tuần chạy vòng 7. Thứ Sáu + 100 ngày: 100 = 14·7 + 2 → Chủ nhật.
- Đồng hồ: 9 giờ + 4 tiếng = 1 giờ (vòng 12).
- Mã hoá RSA khi đăng nhập, chuyển khoản: tính lũy thừa rất lớn rồi chỉ giữ số dư.
- Chữ số kiểm tra của số thẻ ngân hàng (mod 10), ISBN: gõ sai một chữ số là bị phát hiện.

## Nguồn

- Wikipedia: [Fermat's little theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_little_theorem) · [Disquisitiones Arithmeticae](https://en.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae) · [Modular arithmetic](https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic) · [RSA cryptosystem](https://en.wikipedia.org/wiki/RSA_cryptosystem) · [Luhn algorithm](https://en.wikipedia.org/wiki/Luhn_algorithm)
- MacTutor (St Andrews): [Fermat](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fermat/) · [Gauss](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gauss/)
- [cut-the-knot: Fermat's Little Theorem](https://www.cut-the-knot.org/blue/Fermat.shtml) · [MIT 18.310 RSA notes](https://math.mit.edu/~goemans/18310S15/RSA-notes.pdf) · [Wikisource: Disquisitiones Arithmeticae (bản dịch)](https://en.wikisource.org/wiki/Translation:Disquisitiones_Arithmeticae)

## Lời thoại video

### 0:00 Số 25 chữ số có chia hết cho 17?

Đây là một tổng: 1 + 2 + 2² + 2³ + … cứ thế cho tới 2⁷⁹. Tổng này có tới 25 chữ số. Máy tính bỏ túi chỉ hiện số gần đúng, mất sạch các chữ số cuối. Vậy mà có người hỏi: tổng này có chia hết cho 17 không? Nếu bạn từng làm dạng bài dùng lũy thừa để chứng minh chia hết, chắc bạn biết mẹo: gom các số hạng thành từng nhóm. Nhưng gom mấy số một nhóm? Hai số? Ba số? Bốn số? Thử mãi mà vẫn không ra. Nhiều người nghĩ đây là mẹo đoán mò, ăn may thì trúng. Quan điểm của mình là: gom nhóm không hề đoán mò. Số dư của lũy thừa luôn chạy theo vòng tròn, và độ dài một vòng cho biết chính xác phải gom bao nhiêu số. Người đầu tiên nhìn ra những vòng tròn ấy là một ông luật sư, gần 400 năm trước.

### 0:58 Ông luật sư giấu lời giải

Nước Pháp, thế kỷ XVII. Fermat làm luật sư ở thành phố Toulouse. Toán học chỉ là thú vui lúc rảnh. Ông hay viết thư thách đố các nhà toán học khác, nhưng lại giấu cách làm, khiến không ít người bực mình. Năm 1640, trong một lá thư gửi bạn là Frénicle, Fermat viết ra một điều về lũy thừa và số dư. Lấy một số nguyên tố, ví dụ 17. Lấy 2¹⁶ (số mũ nhỏ hơn 17 đúng 1 đơn vị) rồi chia cho 17. Số dư luôn là 1. 3¹⁶, 5¹⁶ cũng thế, chia cho 17 đều dư 1. Còn chứng minh thì sao? Fermat viết: “tôi sẽ gửi chứng minh cho ông, nếu không sợ nó quá dài.” Và ông không gửi. Phải 96 năm sau, năm 1736, nhà toán học Euler mới công bố chứng minh đầu tiên. Năm 1801, một chàng trai người Đức 24 tuổi tên Gauss in một cuốn sách, gom những mẹo số dư rời rạc thành một môn học. Gauss còn nghĩ ra một kí hiệu mới: dấu ≡, để viết hai số có cùng số dư. Học sinh chuyên toán bây giờ vẫn dùng nó. Còn định lý của ông luật sư, hơn 300 năm sau, trở thành nền móng của một kiểu mã hóa bảo vệ chiếc điện thoại của bạn. Lát nữa mình sẽ quay lại chuyện này.

### 2:25 Mẹo gom nhóm và chỗ bí

Trước hết, xem mẹo gom nhóm làm việc thế nào. Ví dụ: 1 + 5 + 5² + … + 5⁹. Tổng này có chia hết cho 6 không? Có 10 số hạng. Gom từng cặp hai số liền nhau. Cặp đầu: 1 + 5 = 6. Cặp thứ hai: 5² + 5³. Đặt 5² ra ngoài: 5²·(1 + 5) = 5²·6. Cặp nào cũng vậy: một lũy thừa nhân với 6. Cả tổng là 6 nhân với một số, nên chia hết cho 6. Ví dụ thứ hai: 1 + 2 + 2² + … + 2²⁹ có chia hết cho 7 không? Lần này gom ba số: 1 + 2 + 4 = 7. 30 số hạng, vừa đủ 10 nhóm. Đó là cách hay được dạy. Nhưng có một chỗ ít ai nói: vì sao lần đầu gom 2, lần sau lại gom 3? Quay lại câu hỏi mở đầu với số 17. Gom 2 số: 1 + 2 = 3. Gom 3 số: 7. Gom 4 số: 15. Không cái nào chia hết cho 17. Thử mò từng cách thì đến bao giờ?

### 3:36 Số dư chạy vòng tròn

Thay vì mò, hãy làm như Phéc-ma: nhìn vào số dư. Chia các lũy thừa của 2 cho 17, xem dư bao nhiêu. 2⁰ = 1, dư 1. 2 dư 2. 4 dư 4. 8 dư 8. 16 dư 16. Mẹo tính nhanh: số dư tiếp theo = số dư trước × 2. Nếu lớn hơn 17 thì trừ đi 17. 16 × 2 = 32, trừ 17 còn 15. 15 × 2 = 30, còn 13. 13 × 2 = 26, còn 9. 9 × 2 = 18, trừ 17 còn… 1! Số dư quay về đúng chỗ xuất phát. Từ đây mọi thứ lặp lại y hệt: 2, 4, 8, 16… Số dư chạy vòng tròn, mỗi vòng dài đúng 8 bước. Tức là 2⁸ = 256, chia cho 17 dư 1. Và đây chính là điều Fermat nói: 2¹⁶ chia 17 dư 1. 16 bước là hai vòng, nên tất nhiên lại về 1.

### 4:51 Gom đúng một vòng

Bây giờ là phần hay nhất. Cộng các lũy thừa của 2 liên tiếp nhau, có một điều rất đẹp. 1 + 2 = 3, kém 4 một đơn vị. 1 + 2 + 4 = 7, kém 8 một đơn vị. Thêm 8 nữa được 15, kém 16 một đơn vị. Tổng của k số đầu tiên luôn bằng 2ᵏ − 1. Vậy gom đủ một vòng, tức là 8 số, ta được 2⁸ − 1. Mà 2⁸ chia 17 dư 1. Trừ đi 1, phần dư biến mất. 255 = 15 × 17. Chia hết! Gom 2, 3 hay 4 số đều chưa đủ một vòng, số dư chưa quay về 1, nên không chia hết. Giờ quay lại tổng khổng lồ. 80 số hạng chia thành 10 nhóm, mỗi nhóm 8 số. Nhóm sau = nhóm đầu × 2⁸, nhóm tiếp theo × 2¹⁶, và cứ thế. Nhóm nào cũng chứa 255, nên cả tổng chia hết cho 17. Không cần tính một chữ số nào. Bí quyết: muốn biết gom mấy, hãy tìm độ dài vòng số dư. Lũy thừa của 3 chia cho 13: 1, 3, 9, rồi về 1. Vòng dài 3, nên gom 3 số: 1 + 3 + 9 = 13. Còn một dấu hiệu nữa: người ra đề luôn chọn số số hạng chia hết cho độ dài vòng. Đếm số số hạng, bạn đoán được ngay cần gom mấy.

### 6:18 Mẹo thứ hai: về cùng cơ số

Dạng bài này còn một kiểu nữa: hai lũy thừa có cơ số khác nhau cộng với nhau. Ví dụ: 4⁶ + 2⁹ có chia hết cho 9 không? 4 = 2², nên 4⁶ = 2¹². 2¹² = 2⁹ · 2³, tức là 8 lần 2⁹. Đặt 2⁹ ra ngoài: trong ngoặc còn 8 + 1 = 9. Vậy tổng = 2⁹ · 9, chia hết cho 9. Thật ra đây cũng là gom nhóm, chỉ là gom ngược: tìm phần chung rồi rút ra ngoài. Bạn tạm dừng video và thử nhé: 27⁴ + 9⁵ có chia hết cho 10 không? 27 = 3³, 9 = 3². Tổng = 3¹² + 3¹⁰ = 3¹⁰ · 10. Chia hết cho 10.

### 7:17 Vòng số dư quanh bạn

Vòng số dư không chỉ nằm trong bài tập. Thứ trong tuần cũng chạy vòng, mỗi vòng 7 ngày. Nếu hôm nay là thứ Sáu, 100 ngày nữa là thứ mấy? 100 = 14 × 7 + 2. 14 tuần trọn vẹn lại về thứ Sáu, thêm 2 ngày nữa: Chủ nhật. Đồng hồ cũng vậy: 9 giờ, thêm 4 tiếng là 1 giờ, vì kim chạy vòng 12. Mỗi khi bạn đăng nhập hay chuyển khoản, điện thoại dùng một kiểu mã hóa ra đời năm 1977 (RSA). Nó tính những lũy thừa có hàng trăm chữ số, rồi chỉ giữ lại số dư. Và lý do nó giải mã đúng chính là định lý trong lá thư của Fermat. Ngay cả số thẻ ngân hàng cũng có một chữ số cuối để kiểm tra, tính bằng số dư khi chia cho 10. Gõ sai một chữ số là máy phát hiện ngay.

### 8:07 Giữ hình ảnh vòng tròn

Tóm lại, hãy giữ hình ảnh vòng tròn này trong đầu. Một: số dư của lũy thừa luôn chạy vòng. Hai: gom đúng một vòng thì tổng của nhóm chia hết. Ba: cơ số khác nhau thì đưa về cùng cơ số, rồi đặt phần chung ra ngoài. Gom nhóm không phải đoán mò. Đó là một vòng tròn mà Fermat đã nhìn thấy từ gần 400 năm trước. Thử thách: 1 + 3 + 3² + … muốn chia hết cho 41 thì phải gom mấy số? Hãy vẽ vòng số dư để tìm, rồi viết đáp án ở phần bình luận nhé.