# 7 Hằng Đẳng Thức Dễ Nhớ – Chỉ Cần Một Hình Vuông Và Một Khối Lập Phương

> 7 hằng đẳng thức không phải 7 công thức để học thuộc. Chúng chỉ là hai bức hình: một hình vuông và một khối lập phương bị cắt ra. Nhìn thấy hình một lần, bạn sẽ rất khó quên. Video đi từ mẹo nhẩm 47 × 53 trong 3 giây, qua hơn 3000 năm khi thế giới chưa có chữ a, chữ b (Babylon, Euclid, al-Khwarizmi, Omar Khayyam, Cardano, Descartes), tới cách "nhìn" ra cả 7 công thức và mẹo nhớ dấu "cùng · trái · cộng".

- Trang bài: https://anim.vn/vi-sao/04-bay-hang-dang-thuc/
- Video: https://youtu.be/Kk2drvckcEo (9:23)
- Thuộc: Vì sao?

## Mục lục video

- 0:00 47 × 53 trong 3 giây
- 1:04 3000 năm chưa có chữ a, chữ b
- 2:30 Học thuộc: đúng, nhưng dễ rơi
- 3:09 Một hình vuông, ba hằng đẳng thức
- 4:55 Một khối lập phương, tám mảnh
- 6:20 Hai công thức hay nhầm dấu nhất
- 7:34 Từ tính nhẩm tới mật mã
- 8:41 Hai bức hình, bảy công thức

**Luận điểm:** 7 hằng đẳng thức không phải 7 công thức để học thuộc. Chúng là hai bức hình bị cắt ra. Nhìn thấy hình một lần thì rất khó quên.

## Một hình vuông → 3 hằng đẳng thức bậc hai

| Hình | Công thức | Nhớ bằng gì |
|---|---|---|
| Hình vuông cạnh a + b, kẻ hai đường | (a + b)² = a² + 2ab + b² | 2 hình vuông + **2 hình chữ nhật ab** (thứ hay bị bỏ quên) |
| Hình vuông cạnh a, cắt 2 dải ab | (a − b)² = a² − 2ab + b² | ô góc b² bị cắt hai lần nên phải **trả lại** một lần |
| Hình vuông a khoét góc b (chữ L), cắt và xoay | a² − b² = (a + b)(a − b) | chữ L ghép thành hình chữ nhật |

Thử nhanh: (3 + 4)² = 49, còn 3² + 4² = 25. Thiếu 24 = hai hình chữ nhật 3 × 4.

## Một khối lập phương → 4 hằng đẳng thức bậc ba

| Hình | Công thức | Nhớ bằng gì |
|---|---|---|
| Khối cạnh a + b cắt 3 nhát → 8 mảnh | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | 1 khối lớn, 3 tấm dẹt, 3 thanh dài, 1 khối nhỏ: **1 · 3 · 3 · 1**; mũ của a giảm 3, 2, 1, 0; mũ của b tăng 0, 1, 2, 3 |
| Thay b bằng −b | (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ | dấu xen kẽ **+ − + −** (b mũ lẻ thì mang dấu trừ) |
| Khối a khoét góc b, cắt 3 tấm cùng dày a − b | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) | ba tấm có mặt a·a, a·b, b·b; ở giữa là **ab**, không phải 2ab |
| Thay b bằng −b | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) | mẹo dấu: **cùng · trái · cộng** |

## Chuyện bên lề

- Khoảng 1800 TCN: người Babylon giải toán bằng cách bù thêm một mảnh cho đủ hình vuông.
- Khoảng 300 TCN: Euclid viết mệnh đề về hình vuông dựng trên đoạn thẳng bị cắt, đúng là (a + b)², nhưng hoàn toàn bằng lời và hình.
- Khoảng 820: al-Khwarizmi viết sách *al-jabr* (gốc của chữ "algebra") toàn bằng chữ, mỗi cách giải kèm một hình vuông.
- Omar Khayyam (1048–1131): "Đại số là những sự thật hình học đã được chứng minh."
- 1545: Cardano cắt khối lập phương thành 8 mảnh để giải phương trình bậc ba.
- 1637: Descartes viết số mũ như ngày nay, nhưng a² vẫn hay viết là aa.
- 1960: Karatsuba, 23 tuổi, chỉ sau một tuần đã bác phỏng đoán của Kolmogorov, nhờ khai triển (a + b)(c + d) để bớt một phép nhân.

## Dùng vào đâu

- Tính nhẩm: 47 × 53 = 50² − 3² = 2491 · 99² = (100 − 1)² = 9801.
- Phân tích số (Fermat): 8051 = 90² − 7² = 83 × 97, ý tưởng nền của các thuật toán phân tích số lớn liên quan tới an toàn mật mã.
- Máy tính nhân số rất lớn (thuật toán Karatsuba).

Câu hỏi cuối video: 995 × 1005 = ? (đáp án: 1000² − 5² = 999 975).

Nguồn: xem `lich-su.md`.

## Lời thoại video

### 0:00 47 × 53 trong 3 giây

47 × 53 bằng bao nhiêu? Bạn có 3 giây. 2491. Không cần máy tính, cũng không cần đặt tính. Chỉ cần thấy rằng: 47 = 50 − 3, còn 53 = 50 + 3. Lấy 50² − 3² là xong. Đó là một trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, thứ mà gần như ai học lớp 8 cũng từng phải chép phạt. Và gần như ai cũng từng viết thế này: (a + b)² = a² + b². Thử với 3 và 4 nhé. 3 + 4 = 7, 7² = 49. Còn 3² + 4² chỉ là 25. Thiếu mất 24. 24 ấy trốn ở đâu? Quan điểm của mình là thế này: 7 hằng đẳng thức không phải là 7 công thức để học thuộc. Chúng chỉ là hai bức hình: một hình vuông, và một khối lập phương, bị cắt ra. Nhìn thấy hình một lần, bạn sẽ rất khó quên.

### 1:04 3000 năm chưa có chữ a, chữ b

Điều ít người để ý: các hằng đẳng thức này già hơn chính chữ a và chữ b trong công thức rất nhiều. Khoảng 1800 năm trước Công nguyên, trên những tấm đất sét, người Babylon đã giải toán bằng cách bù thêm một mảnh cho đủ một hình vuông. Khoảng năm 300 trước Công nguyên, Euclid viết bộ sách Cơ sở. Trong đó có một mệnh đề như sau. Nếu cắt một đoạn thẳng ở một điểm bất kỳ, thì hình vuông dựng trên cả đoạn bằng hai hình vuông dựng trên hai phần, cộng với hai lần hình chữ nhật tạo bởi hai phần ấy. Nghe quen không? Đó chính là bình phương của một tổng. Chỉ có điều, không có một kí hiệu nào cả. Chỉ có lời văn, và một hình vẽ. Hơn 1000 năm sau, ở Baghdad, al-Khwarizmi viết cuốn sách cho ta chữ "đại số" (algebra). Cả cuốn sách cũng toàn bằng chữ, và mỗi cách giải đều đi kèm một hình vuông. Nhà toán học kiêm nhà thơ Ba Tư Omar Khayyam còn viết: "Ai nghĩ đại số chỉ là mẹo để tìm ẩn số thì đã nghĩ uổng công. Đại số là những sự thật hình học đã được chứng minh." Năm 1545, ở Ý, Cardano muốn giải phương trình bậc ba. Ông không viết công thức. Ông cắt một khối lập phương thành 8 mảnh. Mãi tới năm 1637, Descartes mới viết số mũ nhỏ ở phía trên như chúng ta viết hôm nay. Mà riêng a², ông vẫn hay viết là aa. Nghĩa là suốt hơn 3000 năm, hằng đẳng thức là thứ để nhìn, chứ không phải để học thuộc.

### 2:30 Học thuộc: đúng, nhưng dễ rơi

Còn chúng ta thì thường học theo hai cách. Cách một: đọc như đọc vè. "Bình phương số thứ nhất, cộng hai lần tích số thứ nhất với số thứ hai, cộng bình phương số thứ hai." Cách hai: nhân từng hạng tử. a · a, a · b, b · a, b · b, rồi gom lại. Cả hai cách đều đúng. Nhưng câu vè thì dài, mà có tới 7 câu gần giống nhau. Chỉ cần nhớ nhầm một dấu, hay rơi mất số 2, là sai cả bài. Còn nhân phá ngoặc thì chắc chắn, nhưng chậm, và không cho bạn thấy vì sao lại có 2ab. Vậy hãy làm như người xưa: vẽ ra.

### 3:09 Một hình vuông, ba hằng đẳng thức

Vẽ một hình vuông có cạnh là a + b. Diện tích của nó là (a + b)². Kẻ một đường dọc và một đường ngang ở đúng chỗ nối a với b. Hình vuông vỡ thành 4 mảnh. Một hình vuông lớn, a². Một hình vuông nhỏ, b². Và hai hình chữ nhật, mỗi hình a · b. Hai hình chữ nhật ấy chính là 2ab. Người viết a² + b² đã bỏ quên chúng. Với 3 và 4, mỗi hình chữ nhật là 12, hai hình là 24. Đúng bằng con số đã mất tích lúc nãy. Hằng đẳng thức thứ hai: (a − b)². Lần này hình vuông lớn có cạnh a. Mình muốn giữ lại hình vuông cạnh a − b ở trong góc. Cắt bỏ một dải a · b ở bên phải. Rồi cắt bỏ một dải a · b nữa ở phía trên. Nhưng khoan: ô vuông nhỏ ở góc đã bị cắt hai lần. Phải trả lại một lần. Vì thế cuối công thức là + b². Hằng đẳng thức thứ ba: a² − b². Lấy hình vuông cạnh a, khoét đi một góc vuông cạnh b. Còn lại một hình chữ L. Tạm dừng video và thử đoán: cắt chữ L này một nhát rồi ghép lại, bạn được hình gì? Cắt dải bên trên, xoay nó lại, rồi ghép sang bên phải. Ta được một hình chữ nhật, một cạnh dài a + b, cạnh kia dài a − b. Diện tích không đổi, nên a² − b² = (a + b)(a − b). 47 × 53 lúc đầu chính là hình chữ nhật này.

### 4:55 Một khối lập phương, tám mảnh

Bây giờ thêm một chiều nữa. Lấy một khối lập phương có cạnh a + b, giống như khối của Cardano. Cắt ba nhát, theo ba hướng, ở đúng chỗ nối a với b. Khối vỡ thành 8 mảnh. Một khối lớn, a³. Một khối nhỏ, b³. Ba tấm dẹt, mỗi tấm a² · b. Và ba thanh dài, mỗi thanh a · b². Cộng lại: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. 1, 3, 3, 1. Tổng cộng 8 mảnh. Mẹo nhớ: đi từ trái sang phải, số mũ của a giảm dần: 3, 2, 1, 0. Số mũ của b tăng dần: 0, 1, 2, 3. Còn các hệ số 1, 3, 3, 1 là một hàng trong tam giác số, mà các nhà toán học Ba Tư và Trung Quốc đã biết từ nhiều thế kỷ trước Pascal. Mỗi số bằng tổng hai số ngay phía trên nó. Lập phương của một hiệu thì sao? Giữ nguyên tất cả, chỉ đổi dấu xen kẽ: +, −, +, −. Vì a − b chính là a + (−b). Chỗ nào b có mũ lẻ, chỗ đó mang dấu trừ.

### 6:20 Hai công thức hay nhầm dấu nhất

Còn lại hai hằng đẳng thức cuối, cũng là hai cái hay bị nhầm dấu nhất: tổng và hiệu hai lập phương. Lấy khối lập phương cạnh a, khoét đi ở góc một khối lập phương cạnh b. Phần còn lại có thể tích a³ − b³. Cắt phần còn lại thành ba tấm. Điều thú vị là cả ba tấm đều dày đúng bằng a − b. Tấm thứ nhất có mặt a · a. Tấm thứ hai có mặt a · b. Tấm thứ ba có mặt b · b. Đặt a − b ra ngoài làm nhân tử chung, ta được: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Chú ý: ở giữa là ab, không phải 2ab. Vì thế ngoặc này được gọi là bình phương thiếu. Tổng hai lập phương thì thay b bằng −b: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Mẹo nhớ dấu chỉ có ba chữ: cùng, trái, cộng. Ngoặc nhỏ cùng dấu với vế trái. Dấu ở giữa ngoặc lớn thì trái lại. Dấu cuối cùng luôn là cộng.

### 7:34 Từ tính nhẩm tới mật mã

Vậy 7 công thức này dùng để làm gì, ngoài bài kiểm tra? Thứ nhất: tính nhẩm. 99² = (100 − 1)²: 10 000 − 200 + 1 = 9801. Thứ hai: mật mã. Từ thế kỷ 17, Fermat đã dùng hiệu hai bình phương để tách một số thành tích. Ví dụ, 8051 = 90² − 7². Vậy nó bằng 83 × 97. Những thuật toán mạnh nhất ngày nay để tách các số khổng lồ, tức là thứ quyết định mật mã trên mạng có an toàn hay không, vẫn lớn lên từ ý tưởng đó. Thứ ba: máy tính nhân số lớn. Năm 1960, nhà toán học lừng danh Kolmogorov phỏng đoán rằng không thể nhân nhanh hơn cách đặt tính ở tiểu học. Chỉ một tuần sau, một sinh viên 23 tuổi tên là Karatsuba chứng minh điều ngược lại. Bí quyết của anh là khai triển một tích kiểu (a + b)(c + d), để bớt đi một phép nhân. Cách nhân ấy đang chạy trong những phần mềm tính toán với số rất lớn.

### 8:41 Hai bức hình, bảy công thức

Tóm lại, hãy giữ trong đầu hai bức hình. Một hình vuông bị cắt ra, cho bạn ba hằng đẳng thức bậc hai. Một khối lập phương bị cắt ra, cho bạn bốn hằng đẳng thức bậc ba. Lần tới lỡ quên công thức, đừng lục lại trí nhớ. Hãy vẽ một hình vuông, kẻ hai đường, rồi đọc kết quả ngay trên hình. Người Babylon, Euclid, Cardano đều đã làm đúng như vậy, khi thế giới còn chưa có chữ a và chữ b. Giờ tới lượt bạn. Không dùng máy tính: 995 × 1005 bằng bao nhiêu? Viết đáp án và cách nhẩm của bạn ở phần bình luận nhé. Hẹn gặp lại bạn.