anim.vnGiải nhanh – hiểu sâu · 10 phút
1 + 2 + 3 + … + 100 = ? Tính Tổng Dãy Số Siêu Nhanh – Chỉ Cần Một Bức Hình
1 + 2 + 3 + … + 100 không cần cộng 100 lần. Tổng của một dãy số cách đều là một cái bậc thang: ghép thêm một bậc thang lật ngược là thành hình chữ nhật, rồi chia đôi. Video đi từ bức hình ấy tới 3 bước giải mọi bài tổng dãy cách đều, chỉ ra cái bẫy "hàng cây" khi đếm số số hạng, luyện 3 dạng bài hay gặp ở lớp 4, lớp 5 nâng cao, và tặng thêm một mẹo tính tổng các số lẻ trong một giây.
Mục lục video
Ý chính: tổng của một dãy số cách đều là một cái bậc thang. Lấy thêm một bậc thang y hệt, lật ngược lại rồi ghép vào, ta được một hình chữ nhật: cột nào cũng cao bằng số đầu + số cuối, và có số số hạng cột. Hình chữ nhật ấy là hai bậc thang, nên chia đôi.
Ba bước
- Khoảng cách = số sau − số trước (kiểm tra dãy có cách đều không; không cách đều thì không ghép thành hình chữ nhật được, ví dụ 1, 2, 4, 8).
- Số số hạng = (số cuối − số đầu) : khoảng cách + 1.
- Tổng = (số đầu + số cuối) × số số hạng : 2.
Khi chưa biết số cuối: số thứ n = số đầu + (n − 1) × khoảng cách.
Bẫy hàng cây
Mỗi số là một cái cây, khoảng cách là khoảng trống giữa hai cây. (Số cuối − số đầu) : khoảng cách chỉ cho số khoảng trống; số cây luôn nhiều hơn 1. Dãy 3, 7, 11, …, 31: (31 − 3) : 4 = 7 khoảng → 8 số.
Vì sao giống công thức diện tích hình thang?
(Đáy lớn + đáy bé) × chiều cao : 2 — cùng một ý: ghép hai hình giống nhau rồi chia đôi. Bậc thang chính là một hình thang: số đầu là đáy bé, số cuối là đáy lớn, số số hạng là chiều cao.
Các bài trong video
| Bài | Lời giải gọn | Đáp số |
|---|---|---|
| 1 + 2 + 3 + … + 100 | (1 + 100) × 100 : 2 | 5050 |
| 2 + 5 + 8 + 11 + 14 | (2 + 14) × 5 : 2 | 40 |
| 5 + 10 + 15 + … + 200 | 40 số; (5 + 200) × 40 : 2 = 205 × 20 | 4100 |
| Tổng các số lẻ có hai chữ số | 11 + 13 + … + 99, 45 số; 110 : 2 × 45 = 55 × 45 | 2475 |
| Dãy 4, 7, 10, … có 30 số | số cuối 4 + 29 × 3 = 91; (4 + 91) × 30 : 2 = 95 × 15 | 1425 |
| Hội trường 15 hàng, hàng đầu 12 ghế, mỗi hàng hơn 2 ghế | hàng cuối 12 + 14 × 2 = 40; (12 + 40) × 15 : 2 = 26 × 15 | 390 ghế |
| 1 + 3 + 5 + … + 19 (mẹo số lẻ) | 10 số lẻ → 10 × 10 | 100 |
Mẹo một giây: tổng các số lẻ liên tiếp tính từ 1 = số số hạng × số số hạng (các "chữ L" 1, 3, 5, 7… ôm nhau thành hình vuông).
Thử thách cuối video: 2 + 4 + 6 + … + 100 = ? (đáp án để riêng, không đăng: 50 số; (2 + 100) × 50 : 2 = 2550)
Chuyện bên lề
Người ta hay kể cậu bé Gauss (1777–1855) đã cộng xong một dãy số dài chỉ trong chốc lát; chuyện chép lại lần đầu năm 1856, chi tiết "từ 1 đến 100" là do đời sau thêm vào. Còn ý tưởng ghép hai "số tam giác" thành một hình chữ nhật thì người Hy Lạp theo trường phái Pythagoras đã biết từ hơn 2000 năm trước, khi xếp sỏi thành hình. Nguồn: xem lich-su.md.