Tại Sao a Mũ 0 Bằng 1? – Nhân 0 Lần Mà Lại Ra 1

Luận điểm: a⁰ = 1 không phải quy ước đặt ra cho có. Đó là con số duy nhất giữ cho quy tắc nhân luỹ thừa không bị gãy, và cũng là điểm xuất phát của mọi phép nhân.

Lập luận

1. Đi lùi trên bậc thang luỹ thừa. 2⁵ = 32, 2⁴ = 16, 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2: mỗi lần số mũ giảm 1 thì chia cho 2. Bước tiếp theo: 2 : 2 = 1, nên 2⁰ = 1. Tổng quát a⁰ = a¹ : a = 1 (a ≠ 0).
2. Quy tắc cộng số mũ không được gãy. aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Cho n = 0: 2³ · 2⁰ = 2³ = 8, tức 8 · 2⁰ = 8, nên 2⁰ chỉ có thể là 1. Nếu 2⁰ = 0 thì 8 · 0 = 0 ≠ 8. Phép chia cũng vậy: 2³ : 2³ = 1, mà theo quy tắc trừ số mũ lại bằng 2⁰.
3. Phép nhân bắt đầu từ 1. Cộng thì bắt đầu từ 0, nhân thì bắt đầu từ 1. 2³ = 1 × 2 × 2 × 2; 2⁰ = 1, không nhân gì thêm. Tờ giấy chưa gấp lần nào vẫn là 1 lớp.

Câu chuyện

• Thế kỷ III TCN, Archimedes (Người đếm cát): muốn đếm số hạt cát lấp đầy vũ trụ khi hệ đếm Hy Lạp chỉ gọi tên tới một vạn; ông chứng minh quy tắc 10ᵃ · 10ᵇ = 10ᵃ⁺ᵇ và ước tính khoảng 10⁶³ hạt.
• 1484, Nicolas Chuquet (Pháp, Triparty en la science des nombres): viết 12x⁰ = 12, có lẽ là lần đầu tiên x⁰ = 1 xuất hiện. Bản thảo bị chép không ghi tên năm 1520 và chỉ được in năm 1880.
• 1544, Michael Stifel (Đức, Arithmetica integra): người đầu tiên dùng từ "số mũ" (exponent); bảng luỹ thừa của 2 kéo lùi tới 0 ↔ 1, −1 ↔ ½. Ông cũng từng tính ra ngày tận thế vào tháng 10 năm 1533, và tính sai.

Ứng dụng

• Hàng đơn vị là hàng 10⁰: 2475 = 2·10³ + 4·10² + 7·10¹ + 5·10⁰.
• Số nhị phân trong máy tính: chữ số ngoài cùng bên phải có giá trị 2⁰ = 1.
• Tăng gấp đôi theo thời gian: ở thời điểm 0, 2⁰ = 1 là lượng ban đầu.

Nguồn

• Wikipedia: Exponentiation · The Sand Reckoner · Nicolas Chuquet · Michael Stifel · Empty product
• MacTutor (St Andrews): Archimedes · Chuquet · Stifel