Mệnh đề

Quán trà sữa treo biển: "Nếu mua 2 ly thì được tặng 1 ly." Bạn chỉ mua 1 ly mà vẫn được tặng. Quán có nói sai không?
Học xong bài này bạn trả lời được ngay: không. Và bạn sẽ biết cách nói "ngược lại" một câu sao cho đúng, cách đảo một câu "nếu… thì…", và hai kí hiệu ∀, ∃.

1. Mệnh đề

Mệnh đề là một câu khẳng định hoặc đúng, hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai.

• Ví dụ 1: "Hà Nội là thủ đô của Việt Nam." → mệnh đề đúng.
• Ví dụ 2: "17 chia hết cho 3." → vẫn là mệnh đề, nhưng là mệnh đề sai.

Câu hỏi ("Mấy giờ rồi?"), câu cảm thán ("Phở ngon quá!"), câu cầu khiến ("Hãy đóng cửa lại!") không phải mệnh đề, vì không xét được đúng sai.

Mệnh đề chứa biến là câu có chứa biến, chưa biết đúng hay sai; thay biến bằng một giá trị cụ thể thì mới thành mệnh đề.

• Ví dụ 1: "n là số nguyên tố". Thay n = 7 được mệnh đề đúng; thay n = 8 được mệnh đề sai.
• Ví dụ 2: "x + 2 > 10". Với x = 9 thì đúng (11 > 10); với x = 1 thì sai (3 > 10).

2. Mệnh đề phủ định

Muốn phủ định mệnh đề P, ta thêm (hoặc bớt) chữ "không", "không phải" vào trước vị ngữ. Kí hiệu: $\overline{P}$, đọc là "không P".

P đúng thì $\overline{P}$ sai. P sai thì $\overline{P}$ đúng.

• Ví dụ 1: P: "21 là số nguyên tố" (sai, vì 21 = 3 · 7). $\overline{P}$: "21 không phải là số nguyên tố" (đúng).
• Ví dụ 2: Q: "√2 không phải là số hữu tỉ" (đúng). Câu đã có chữ "không" nên phủ định là bớt đi: $\overline{Q}$: "√2 là số hữu tỉ" (sai).

3. Mệnh đề kéo theo · mệnh đề đảo

Mệnh đề "Nếu P thì Q" gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu P ⇒ Q. Nó chỉ sai trong một trường hợp: P đúng mà Q sai.

• Ví dụ 1 (quán trà sữa): P: "mua 2 ly", Q: "được tặng 1 ly". Bạn mua 1 ly, tức P sai, nên dù được tặng hay không, quán vẫn không nói sai. Quán chỉ sai khi bạn mua 2 ly mà không được tặng.
• Ví dụ 2: "Nếu một số chia hết cho 6 thì số đó chia hết cho 3." → đúng (đây là một định lí).

Khi P ⇒ Q đúng, ta nói: P là điều kiện đủ để có Q, Q là điều kiện cần để có P.
(Chia hết cho 6 là đủ để chia hết cho 3. Chia hết cho 3 là cần để chia hết cho 6.)

Mệnh đề đảo của P ⇒ Q là Q ⇒ P (đổi chỗ P và Q).

• Đảo của ví dụ 2: "Nếu một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 6." → sai, vì 9 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 6.
• Vậy: đảo của một mệnh đề đúng chưa chắc đúng. Muốn chỉ ra một câu "nếu… thì…" sai, chỉ cần một phản ví dụ.

4. Mệnh đề tương đương

Mệnh đề "P khi và chỉ khi Q" (hay "P nếu và chỉ nếu Q") gọi là mệnh đề tương đương, kí hiệu P ⇔ Q. Nó đúng khi cả P ⇒ Q lẫn Q ⇒ P đều đúng. Khi đó P là điều kiện cần và đủ để có Q.

• Ví dụ 1: "Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0." → đúng.
• Ví dụ 2: "Tam giác ABC cân tại A khi và chỉ khi góc B bằng góc C." → đúng (cả hai chiều đều là định lí).

5. Kí hiệu ∀ và ∃

• ∀ đọc là "với mọi". ∃ đọc là "tồn tại" (có ít nhất một).
• Ví dụ 1: "∀x ∈ ℝ, x² − 2x + 1 ≥ 0" → đúng, vì x² − 2x + 1 = (x − 1)² ≥ 0.
• Ví dụ 2: "∃n ∈ ℕ, n² = n" → đúng, chỉ cần chỉ ra một số: n = 1.

Mẹo: mệnh đề "∀" muốn đúng phải chứng minh cho mọi giá trị, muốn sai chỉ cần một phản ví dụ. Mệnh đề "∃" muốn đúng chỉ cần chỉ ra một giá trị.

Phủ định: ∀ đổi thành ∃, ∃ đổi thành ∀, rồi phủ định luôn tính chất phía sau.

• Ví dụ 1: "Mọi học sinh lớp 10A đều thích bóng đá." → phủ định: "Có một học sinh lớp 10A không thích bóng đá."
• Ví dụ 2: phủ định của "∀x ∈ ℝ, x² > 0" là "∃x ∈ ℝ, x² ≤ 0".

Bảng kí hiệu

Bảng đổi dấu khi phủ định: > ↔ ≤ · < ↔ ≥ · = ↔ ≠ · "chia hết" ↔ "không chia hết".

Lỗi hay gặp

1. Tưởng câu sai thì không phải mệnh đề. "17 chia hết cho 3" sai, nhưng vẫn là mệnh đề.
2. Coi câu chứa biến là mệnh đề. "x − 4 = 0" chưa biết đúng sai, chỉ là mệnh đề chứa biến.
3. Phủ định "mọi… đều…" thành "mọi… đều không…". Phủ định đúng là "có (ít nhất) một… không…".
4. Phủ định dấu > thành <. Phải là ≤ (quên mất trường hợp bằng).
5. Nghĩ P ⇒ Q đúng thì Q ⇒ P cũng đúng. Đảo phải xét riêng.
6. Lẫn điều kiện cần với điều kiện đủ. Trong P ⇒ Q: P (đứng trước mũi tên) là đủ, Q (đứng sau) là cần.
7. Cho rằng "nếu P thì Q" sai khi P sai. P sai thì mệnh đề kéo theo luôn đúng.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Nhận biết mệnh đề, xét tính đúng sai

Cách làm: hỏi "câu này có đúng hoặc sai được không?". Được thì là mệnh đề, rồi kiểm tra đúng hay sai. Câu hỏi, cảm thán, cầu khiến, câu chứa biến: không phải.

Bài 1. Câu nào là mệnh đề? Nếu là mệnh đề thì đúng hay sai?
a) 51 là số nguyên tố. b) Bạn ăn sáng chưa? c) x − 4 = 0. d) Tổng ba góc của một tam giác bằng 180°.

Bài 2. Xét tính đúng sai: a) $2^{10} < 1000$. b) Phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$ có hai nghiệm nguyên.

Dạng 2. Lập mệnh đề phủ định

Cách làm: thêm hoặc bớt chữ "không"; ∀ ↔ ∃; đổi dấu > → ≤, = → ≠.

Bài 3. Phủ định mỗi mệnh đề rồi xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định.
a) P: "123 chia hết cho 3." b) Q: "∀n ∈ ℕ, n² > n."

Bài 4. Phủ định mệnh đề "Có một bạn trong nhóm đã nộp bài."

Dạng 3. Kéo theo · đảo · tương đương

Cách làm: xác định P và Q, viết "nếu P thì Q", đổi chỗ để có mệnh đề đảo. Muốn chỉ ra câu sai: tìm một phản ví dụ.

Bài 5. Với số tự nhiên n, cho P: "n là số nguyên tố lớn hơn 2." Q: "n là số lẻ." Phát biểu P ⇒ Q, mệnh đề đảo, xét tính đúng sai.

Bài 6. Điền "cần", "đủ" hoặc "cần và đủ": "n chia hết cho 4" là điều kiện … để "n là số chẵn".

Thêm bài để in ra làm: bài tập về nhà (PDF).

Chuyện bên lề

• Từ đâu ra? Ở Hy Lạp cổ, người ta tranh luận rất nhiều (ở toà án, quảng trường, trường triết học) và cần phân biệt lập luận đúng với lập luận chỉ nghe có vẻ đúng. Aristotle (384–322 trước Công nguyên) là người đầu tiên biến cách lập luận thành một môn học có hệ thống.
• Lấy cả câu làm đơn vị. Logic của Aristotle xoay quanh các "hạng từ" (người, động vật…). Người dựng logic lấy mệnh đề làm viên gạch nhỏ nhất là Chrysippus và phái Khắc kỷ, thế kỉ 3 trước Công nguyên. Phần lớn sách của họ đã thất lạc, tới thế kỉ 20 mới được đánh giá lại.
• Biến đúng–sai thành phép tính. George Boole (1815–1864, người Anh) là con một người thợ đóng giày, gần như tự học, 19 tuổi đã mở trường riêng. Năm 1854 ông in cuốn An Investigation of the Laws of Thought, trong đó dùng 1 và 0 thay cho đúng và sai rồi tính toán với chúng như với số. Trước đó Leibniz từng có ý tưởng tương tự nhưng ít ai biết tới.
• Ngày nay. Năm 1937, Claude Shannon, khi đó là học viên cao học ở MIT, chỉ ra rằng phép tính đúng–sai của Boole dùng được để thiết kế mạch điện đóng–ngắt. Mọi chip trong máy tính, điện thoại đều dựng từ các "cổng logic" như thế. Khi lập trình, bạn gặp lại đúng những thứ trong bài này: if … then, and, or, not, kiểu dữ liệu bool (đặt theo tên Boole).

Nguồn và độ chắc chắn của từng chi tiết: xem lich-su.md.

Trò chơi ở nhà (5 phút)

"Bắt lỗi lời hứa". Một người nói một câu "nếu… thì…" (ví dụ: "Nếu trời mưa thì mình ở nhà"). Người kia kể một tình huống (trời nắng, vẫn ở nhà) và hỏi: "Lời hứa có bị phá không?". Ai trả lời sai thì mất lượt. Nhớ: lời hứa chỉ bị phá khi vế "nếu" xảy ra mà vế "thì" không xảy ra.

"Nói ngược". Một người nói câu có chữ "mọi" hoặc "có một" ("Mọi con mèo đều sợ nước"), người kia phải nói câu phủ định đúng trong 5 giây ("Có một con mèo không sợ nước").