Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Lớp bạn có 40 người. 25 bạn mê phim hoạt hình, 20 bạn mê truyện tranh. Nhưng 25 + 20 = 45, nhiều hơn cả sĩ số lớp. 5 bạn "thừa" ở đâu ra?
Không ai đếm sai cả: có những bạn mê cả hai nên bị đếm hai lần. Học xong bài này, bạn sẽ đếm đúng những trường hợp như thế.

1. Tập hợp, phần tử, tập rỗng

Một tập hợp gồm các phần tử. Có hai cách mô tả một tập hợp.

Cách 1: liệt kê các phần tử (viết trong ngoặc nhọn, cách nhau bằng dấu chấm phẩy).

• Ví dụ 1: tập các nốt nhạc S = {Đô; Rê; Mi; Pha; Son; La; Si}. Số phần tử của S là 7, viết n(S) = 7.
• Ví dụ 2: tập các chữ số lẻ L = {1; 3; 5; 7; 9}, n(L) = 5.

Cách 2: chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.

• Ví dụ 1: B = {x ∈ ℕ | x là ước của 12}. Liệt kê ra: B = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. Ta có 4 ∈ B, còn 5 ∉ B.
• Ví dụ 2: K = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x < 3} = {−2; −1; 0; 1; 2}. Chú ý −2 được lấy (dấu ≤), còn 3 thì không (dấu <).

Tập rỗng (kí hiệu ∅) là tập không có phần tử nào.

• Ví dụ 1: tập các tháng có 32 ngày.
• Ví dụ 2: tập nghiệm thực của phương trình x² = −4.

2. Tập con, hai tập hợp bằng nhau

Nếu mọi phần tử của T đều thuộc S thì T là tập con của S, viết T ⊂ S.

• Ví dụ 1: T = {Đô; Mi; Son} là tập con của tập bảy nốt nhạc S.
• Ví dụ 2: với B = {1; 2; 3; 4; 6; 12} thì {1; 2; 3} ⊂ B, nhưng {1; 5} ⊄ B vì 5 ∉ B.

Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp: ∅ ⊂ A.

Hai tập hợp bằng nhau nếu chúng có đúng những phần tử như nhau (thứ tự liệt kê không quan trọng).

• Ví dụ 1: {x ∈ ℤ | x² = 9} = {−3; 3}.
• Ví dụ 2: {−3; 3} = {3; −3}; tập các ước tự nhiên của 4 bằng {1; 2; 4}.

3. Các tập hợp số. Khoảng, đoạn, nửa khoảng

Các tập hợp số lồng vào nhau như búp bê Nga: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

• Ví dụ 1: −5 ∈ ℤ nhưng −5 ∉ ℕ.
• Ví dụ 2: √5 ∈ ℝ nhưng √5 ∉ ℚ.

Với số thực, ta hay dùng khoảng, đoạn, nửa khoảng:

Ngoặc vuông: có lấy đầu mút. Ngoặc tròn: không lấy. Ở −∞ và +∞ luôn dùng ngoặc tròn.

• Ví dụ 1: ngăn mát tủ lạnh giữ từ 2 °C đến 8 °C, tính cả hai đầu: đó là đoạn [2; 8]. Bỏ hai đầu mút đi thì thành khoảng (2; 8).
• Ví dụ 2: các số từ −1 đến dưới 3 là nửa khoảng [−1; 3). Mọi số lớn hơn −1 là khoảng (−1; +∞).

4. Ba phép toán: giao, hợp, hiệu

Khi B ⊂ A, hiệu A ∖ B còn gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu C_AB.

• Ví dụ 1: A = {An; Bảo; Chi; Duy} là nhóm mê phim, B = {Chi; Duy; Giang} là nhóm mê truyện.
  A ∩ B = {Chi; Duy} · A ∪ B = {An; Bảo; Chi; Duy; Giang} · A ∖ B = {An; Bảo} · B ∖ A = {Giang}.
• Ví dụ 2 (khoảng, đoạn): [1; 5] ∩ (3; 7) = (3; 5] · [1; 5] ∪ (3; 7) = [1; 7) · phần bù của (−∞; 2) trong ℝ là [2; +∞).

Mẹo với khoảng và đoạn: vẽ từng tập lên trục số. Giao là phần được phủ hai lần, hợp là phần được phủ ít nhất một lần. Sau đó xét riêng từng đầu mút.

5. Đếm số phần tử của hợp

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

Cộng n(A) với n(B) thì phần chung bị đếm hai lần, nên phải trừ bớt một lần.

• Ví dụ 1 (câu đố đầu bài): nếu cả lớp ai cũng mê ít nhất một thứ thì 40 = 25 + 20 − n(A ∩ B), suy ra có 5 bạn mê cả hai.
• Ví dụ 2: một nhóm có 12 bạn biết đàn, 9 bạn biết hát, 4 bạn biết cả hai. Số bạn biết ít nhất một thứ là 12 + 9 − 4 = 17.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Lẫn ∈ với ⊂. Số 3 là một phần tử nên viết 3 ∈ B. Muốn dùng ⊂ thì phải là tập hợp: {3} ⊂ B.
2. Viết lặp phần tử khi lấy hợp. Phần tử chung chỉ viết một lần.
3. Nghĩ A ∖ B và B ∖ A giống nhau. Đổi thứ tự là ra tập khác.
4. Sai ngoặc ở đầu mút. ℝ ∖ [4; +∞) = (−∞; 4), không phải (−∞; 4]: số 4 đã bị bỏ đi.
5. Quên tập rỗng và chính nó khi liệt kê các tập con.
6. Cộng thẳng n(A) + n(B) mà quên trừ phần giao.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Viết tập hợp, dùng kí hiệu

Cách làm: đọc kĩ điều kiện rồi liệt kê. Phần tử dùng ∈, ∉; tập hợp dùng ⊂.

Bài 1. Cho C = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x < 3}.
a) Liệt kê các phần tử của C. b) Điền ∈, ∉ hoặc ⊂: 3 ▢ C; 0 ▢ C; {−1; 1} ▢ C.

Bài 2. Viết tập D = {x ∈ ℕ | x là bội của 4, x < 25} bằng cách liệt kê. D có bao nhiêu phần tử?

Dạng 2. Giao, hợp, hiệu của hai tập hữu hạn

Cách làm: liệt kê từng tập, vẽ biểu đồ Ven, đọc kết quả theo từng vùng.

Bài 3. A là tập các số nguyên tố nhỏ hơn 12, B là tập các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 10. Tìm a) A ∩ B; b) A ∪ B; c) A ∖ B.

Bài 4. Cho E = {a; b; c; d}, F = {c; d; e}. Tìm E ∩ F, E ∪ F, E ∖ F, F ∖ E.

Dạng 3. Phép toán với khoảng và đoạn

Cách làm: vẽ từng tập lên trục số. Giao lấy phần phủ hai lần, hợp lấy phần phủ ít nhất một lần.

Bài 5. Cho A = (−2; 3], B = [1; 5). Tìm a) A ∩ B; b) A ∪ B; c) ℝ ∖ [4; +∞).

Bài 6. Tìm (−∞; 2] ∩ [−1; 6) và [0; 3) ∪ [3; 8].

Dạng 4. Bài toán đếm trong thực tế

Cách làm: vẽ biểu đồ Ven, rồi dùng n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).

Bài 7. Một câu lạc bộ có 45 bạn. 28 bạn biết bơi, 23 bạn biết chơi ghi ta, 6 bạn không biết cả hai. Hỏi bao nhiêu bạn biết cả hai?

Bài 8. Trong 36 khách của một quán, 20 người gọi phở, 15 người gọi bún, 7 người gọi cả hai. Bao nhiêu người không gọi món nào trong hai món đó?

Chuyện bên lề

Hai vòng tròn mang tên người không đặt tên cho nó. Năm 1880, nhà lô-gích người Anh John Venn (1834–1923) đưa kiểu hình các vòng tròn chồng lên nhau vào một bài báo. Chính ông lại gọi chúng là "vòng tròn Euler", vì Leonhard Euler đã dùng vòng tròn để minh hoạ lập luận từ năm 1768. Phải đến năm 1918, nhà lô-gích Clarence Irving Lewis mới gọi là "biểu đồ Venn" (sách tiếng Việt viết là biểu đồ Ven). Điểm riêng của Venn: hình của ông luôn vẽ đủ mọi vùng chồng nhau có thể có, rồi mới xét vùng nào rỗng.

Lí thuyết tập hợp từng bị công kích dữ dội. Georg Cantor mở đầu lí thuyết tập hợp hiện đại bằng một bài báo năm 1874. Leopold Kronecker phản đối gay gắt, gọi Cantor là "kẻ làm hư hỏng thanh niên". Nhiều năm sau, năm 1926, David Hilbert bênh vực: "Không ai đuổi được chúng ta ra khỏi thiên đường mà Cantor đã tạo ra."

Kí hiệu còn khá trẻ. ∩ và ∪ do Giuseppe Peano đưa ra năm 1888, ∈ năm 1889. Kí hiệu ∅ được nhóm Bourbaki in lần đầu năm 1939; André Weil lấy nó từ chữ Ø trong bảng chữ cái Na Uy.

Ngày nay. Mỗi lần bạn lọc sản phẩm ("giày" VÀ "dưới 500 nghìn") hay gõ tìm kiếm có VÀ, HOẶC, máy tính đang lấy giao và hợp của các tập hợp. Trong cơ sở dữ liệu, ba phép giao, hợp, hiệu có hẳn ba lệnh riêng.

(Nguồn và độ chắc chắn của từng chi tiết: xem lich-su.md.)

Trò chơi ở nhà (5 phút)

Biểu đồ Ven của gia đình. Vẽ hai vòng tròn chồng nhau trên giấy: vòng A là "món mình thích", vòng B là "món bố (hoặc mẹ) thích". Mỗi người kể 5 món, rồi cùng xếp từng món vào đúng vùng.

• Đọc to A ∩ B (món cả hai cùng thích: tối nay ăn món này!), A ∖ B, B ∖ A.
• Đếm n(A), n(B), n(A ∩ B) rồi kiểm tra công thức n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
• Thử thêm vòng thứ ba cho một người nữa: có mấy vùng tất cả? (8 vùng, tính cả vùng bên ngoài.)