Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bạn cầm 60 nghìn đồng xuống căng tin. Trà sữa 15 nghìn một ly, bánh mì 10 nghìn một cái.
Mua được mấy ly, mấy cái? Hai ly và ba cái thì vừa hết tiền. Một ly và một cái cũng được. Bốn ly không bánh cũng được.
Câu hỏi này không có một đáp án mà có cả một vùng đáp án. Bài này cho bạn cách viết và cách vẽ vùng đó.

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Gọi $x$ là số ly trà sữa, $y$ là số bánh mì. Số tiền phải trả là $15x + 10y$ (nghìn đồng), không được vượt quá $60$:

$15x + 10y \le 60 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x + 2y \le 12 \ \ (\text{chia hai vế cho } 5).$

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$, $y$ có dạng

$ax + by \le c \quad (\text{hoặc } ax + by < c,\ ax + by > c,\ ax + by \ge c),$

trong đó $a$, $b$, $c$ là các số đã cho, $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$.

Ví dụ 1 (căng tin). $3x + 2y \le 12$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với $a = 3$, $b = 2$, $c = 12$.

Ví dụ 2 (nhận biết, có bẫy).

• $x - 4y > 3$: có.
• $2x \ge 5$: vẫn có. Viết lại là $2x + 0y \ge 5$: $b = 0$ nhưng $a = 2 \ne 0$.
• $x^2 + y < 1$: không, vì có $x^2$.
• $xy \le 4$: không, vì có tích $xy$.

2. Nghiệm là một cặp số

Cặp số $(x_0; y_0)$ là một nghiệm của $ax + by \le c$ nếu thay $x = x_0$, $y = y_0$ vào ta được khẳng định đúng.

Ví dụ 1 (căng tin). Với $3x + 2y \le 12$:

• $(2; 3)$: $3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12 \le 12$, đúng. Là nghiệm (vừa hết tiền).
• $(3; 2)$: $3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 13 \le 12$, sai. Không phải nghiệm (thiếu tiền).

Ví dụ 2 (bẫy dấu bằng). Với $x - 4y > 3$:

• $(7; 1)$: $7 - 4 = 3 > 3$ là sai (bằng nhau thì không phải "lớn hơn"). Không phải nghiệm.
• $(1; -1)$: $1 + 4 = 5 > 3$, đúng. Là nghiệm.

Mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm. Không liệt kê hết được, nên ta vẽ.

3. Miền nghiệm: ba bước vẽ

Mỗi cặp số $(x; y)$ là một điểm trên mặt phẳng toạ độ. Tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm gọi là miền nghiệm.

Đường thẳng $d$: $ax + by = c$ chia mặt phẳng thành hai nửa. Trên một nửa, mọi điểm đều cho $ax + by < c$; trên nửa kia, mọi điểm đều cho $ax + by > c$. Vì vậy chỉ cần thử một điểm là biết cả nửa.

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d$: $ax + by = c$.
Bước 2. Lấy một điểm không nằm trên $d$ (dễ nhất là gốc $O$), thay vào bất phương trình.
Bước 3. Đúng thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm đó; sai thì là nửa còn lại.
Dấu $\le$, $\ge$: lấy cả bờ, vẽ nét liền. Dấu $<$, $>$: không lấy bờ, vẽ nét đứt.

Ví dụ 1. $3x + 2y \le 12$.
Bước 1: $d$: $3x + 2y = 12$ đi qua $(4; 0)$ và $(0; 6)$.
Bước 2: thử $O(0; 0)$: $0 \le 12$, đúng.
Bước 3: miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa $O$, kể cả bờ.
Điểm $(2; 3)$ nằm ngay trên bờ, điểm $(3; 2)$ nằm ở nửa bên kia. Khớp với mục 2.

Ví dụ 2 (đường thẳng đi qua gốc toạ độ). $x - 2y > 0$.
Bước 1: $d$: $x - 2y = 0$ đi qua $O$ và $(2; 1)$.
Bước 2: $O$ nằm trên $d$ nên không dùng để thử được. Thử $(1; 0)$: $1 - 0 = 1 > 0$, đúng.
Bước 3: miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa điểm $(1; 0)$. Dấu $>$ không có dấu bằng nên bờ vẽ nét đứt.

Bảng kí hiệu và cách nói

Lỗi hay gặp

• Tưởng thiếu một ẩn thì không phải hai ẩn. $2x \ge 5$ vẫn là bất phương trình bậc nhất hai ẩn ($b = 0$). Chỉ khi cả $a$ và $b$ bằng $0$ mới không phải.
• Quên dấu bằng. $3 > 3$ là sai, $3 \ge 3$ là đúng. Điểm nằm trên bờ chỉ là nghiệm khi bất phương trình có dấu bằng.
• Thử điểm nằm trên đường thẳng. Khi $c = 0$, đường thẳng đi qua $O$, phải thử điểm khác như $(1; 0)$ hoặc $(0; 1)$.
• Cứ thấy dấu $\le$ là tô nửa "bên dưới". Không có quy tắc trên/dưới: phải thử điểm. Ví dụ $x - 2y \le 0$ có miền nghiệm nằm phía trên đường thẳng.
• Quên nét đứt khi dấu là $<$ hoặc $>$.
• Bài thực tế quên điều kiện $x \ge 0$, $y \ge 0$ (số ly, số hộp không âm) nên tô thừa.
• Lẫn quy ước tô và gạch. Có sách tô miền nghiệm, có sách gạch bỏ phần không phải miền nghiệm. Vẽ kiểu nào cũng được, miễn ghi rõ.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Nhận biết · kiểm tra nghiệm

Cách làm: $x$, $y$ chỉ có bậc một, không nhân với nhau, không nằm ở mẫu. Kiểm tra nghiệm thì thay số vào.

Bài 1. Bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
a) $6x - y \ge 2$ b) $x + y^3 < 4$ c) $5y > -1$ d) $x(y + 1) \le 3$

Bài 2. Trong các cặp số $(2; 1)$, $(3; 4)$, $(0; -7)$, $(1; -5)$, cặp nào là nghiệm của $4x - y \le 7$?

Dạng 2. Biểu diễn miền nghiệm

Cách làm: vẽ đường thẳng, thử một điểm, chọn nửa mặt phẳng. Có dấu bằng thì bờ nét liền, không có thì nét đứt.

Bài 3. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng toạ độ:
a) $x + y \le 3$ b) $3x - y > 0$ c) $y \ge 2$

Bài 4 (ngược lại). Một miền nghiệm có bờ là đường thẳng nét liền đi qua $(3; 0)$ và $(0; -2)$, và không chứa gốc toạ độ. Viết bất phương trình.

Dạng 3. Bài toán thực tế

Cách làm: gọi $x$, $y$; viết bất phương trình; thay số hoặc vẽ miền nghiệm.

Bài 5. Buổi tối bạn có 90 phút làm bài. Mỗi bài Toán mất 15 phút, mỗi bài Tiếng Anh mất 10 phút. Gọi $x$ là số bài Toán, $y$ là số bài Tiếng Anh.
a) Viết bất phương trình. b) Làm 4 bài Toán và 3 bài Tiếng Anh có kịp không? 5 và 2 thì sao? c) Đã làm 2 bài Toán thì làm thêm được nhiều nhất mấy bài Tiếng Anh?

Bài 6. Trong một trận bóng rổ, đội bạn ném được $x$ quả 2 điểm và $y$ quả 3 điểm. Muốn có ít nhất 60 điểm thì $x$, $y$ phải thoả mãn điều kiện gì? Ném 15 quả 2 điểm và 10 quả 3 điểm có đạt không? 12 và 11 thì sao?

Chuyện bên lề

Hai "nguyên liệu" ra đời cách nhau sáu năm. Bài này cần hai thứ: dấu để viết "nhỏ hơn, lớn hơn", và cách biến một điều kiện đại số thành hình vẽ. Cả hai đều xuất hiện ở châu Âu trong vòng sáu năm, 1631 và 1637.

Dấu $<$ và $>$ (1631). Hai dấu này lần đầu xuất hiện trong một cuốn sách đại số in ở Luân Đôn năm 1631, mang tên nhà toán học Anh Thomas Harriot. Lúc đó ông đã mất được mười năm. Điều thú vị là trong các bản thảo viết tay còn lại, chính Harriot không viết đúng hai dấu ấy: dạng ta dùng ngày nay là do người biên tập cuốn sách, một người bạn cũ của ông, sắp chữ. Harriot còn là người vẽ bản đồ Mặt Trăng qua kính viễn vọng vào tháng 8 năm 1609; theo ghi chép còn lại thì sớm hơn Galileo vài tháng.

Dấu $\le$ và $\ge$ (1734). Phải hơn một trăm năm sau, nhà khoa học Pháp Pierre Bouguer, người chuyên nghiên cứu tàu thuỷ, mới dùng dấu "nhỏ hơn hoặc bằng" và "lớn hơn hoặc bằng". Hồi đó chúng có hai gạch ngang bên dưới. Trước đó, năm 1670, John Wallis đã thử một dạng có gạch nằm phía trên.

Đại số gặp hình học (1637). Năm 1637, René Descartes in một cuốn sách nối đại số với hình học: một phương trình hai ẩn ứng với một đường. Cùng thời gian đó, Pierre de Fermat cũng tự nghĩ ra ý tưởng ấy, nhưng bản thảo của ông chỉ được chuyền tay và tới năm 1679 mới in thành sách. Hệ trục vuông góc gọn gàng như bạn vẽ hôm nay thì chưa có trong cuốn sách của Descartes; người đời sau hoàn thiện dần.

Ghép lại. Phương trình $ax + by = c$ cho một đường thẳng. Đổi dấu $=$ thành dấu $<$ thì bạn không còn một đường, mà có cả một nửa mặt phẳng. Đó chính là miền nghiệm trong bài này.

Ngày nay. Mọi hình 3D trong game đều được ghép từ các tam giác. Để tô một tam giác lên màn hình, bộ xử lí đồ hoạ xét từng điểm ảnh: với mỗi cạnh, nó tính một biểu thức bậc nhất $ax + by + c$ rồi xem dấu, tức là xem điểm ảnh nằm ở nửa mặt phẳng nào. Điểm ảnh nào nằm đúng phía của cả ba cạnh thì thuộc tam giác và được tô màu. Mỗi giây, máy làm phép thử này hàng triệu lần.

Nguồn và độ chắc chắn của từng chi tiết: xem lich-su.md.

Trò chơi ở nhà (5 phút)

"Điểm này bên nào?" Hai người, một tờ giấy kẻ ô.

1. Người thứ nhất vẽ hệ trục và một đường thẳng bất kì, ví dụ $x + y = 4$, rồi viết một bất phương trình có bờ là đường đó (ví dụ $x + y < 4$).
2. Người thứ hai chấm 5 điểm tuỳ ý. Với mỗi điểm, đoán trước "nghiệm" hay "không", rồi thay số kiểm tra. Đoán đúng được 1 điểm.
3. Đổi vai. Lượt sau thử đường thẳng đi qua gốc toạ độ để xem ai nhớ "không được thử điểm $O$".