Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Lớp bạn mở quầy cây cảnh ở hội chợ trường. Chỉ có 60 cái chậu và 900 nghìn đồng tiền vốn. Một chậu sen đá tốn 10 nghìn vốn, lãi 5 nghìn. Một chậu xương rồng tốn 20 nghìn vốn, lãi 8 nghìn. Nên trồng mỗi loại bao nhiêu chậu để lãi nhiều nhất?

Trồng toàn xương rồng thì hết vốn trước khi hết chậu. Trồng toàn sen đá thì lãi ít. Đáp án nằm ở đâu đó giữa hai cách ấy, và bài này cho bạn công cụ để tìm ra nó.

1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cặp số (x₀; y₀) là nghiệm của hệ khi nó là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ. Sai một cái là không phải nghiệm.

Ví dụ 1 (quầy cây cảnh). Gọi x là số chậu sen đá, y là số chậu xương rồng.

• Số chậu không âm: x ≥ 0, y ≥ 0.
• Chỉ có 60 cái chậu: x + y ≤ 60.
• Vốn 900 nghìn: 10x + 20y ≤ 900, chia hai vế cho 10 được x + 2y ≤ 90.

Bốn bất phương trình này đi cùng nhau, tạo thành một hệ:

 ⎧ x ≥ 0
 ⎪ y ≥ 0
 ⎨ x + y ≤ 60
 ⎩ x + 2y ≤ 90

Thử cặp (20; 30), tức 20 chậu sen đá và 30 chậu xương rồng: 20 + 30 = 50 ≤ 60, và 20 + 2 · 30 = 80 ≤ 90. Cả bốn bất phương trình đều đúng, nên (20; 30) là một nghiệm.

Ví dụ 2. Hệ gồm x + 2y ≤ 8 và 3x − y > 2.

• Cặp (2; 3): 2 + 6 = 8 ≤ 8 (đúng, vì có dấu bằng); 6 − 3 = 3 > 2 (đúng). Là nghiệm.
• Cặp (1; 1): 1 + 2 = 3 ≤ 8 (đúng); nhưng 3 − 1 = 2, mà 2 > 2 là sai. Không phải nghiệm.

2. Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng toạ độ

Tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của hệ gọi là miền nghiệm của hệ. Miền nghiệm của hệ là giao (phần chung) các miền nghiệm của từng bất phương trình.

Cách làm:

1. Với mỗi bất phương trình, vẽ đường thẳng bờ (có dấu bằng thì nét liền, không có thì nét đứt).
2. Thử một điểm (thường là gốc toạ độ O) để biết nửa nào là nghiệm, rồi gạch bỏ nửa còn lại.
3. Làm hết các bất phương trình. Phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Ví dụ 1. Hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 6.

• x ≥ 0: gạch bỏ bên trái trục tung.
• y ≥ 0: gạch bỏ bên dưới trục hoành.
• Bờ x + 2y = 6 đi qua (6; 0) và (0; 3). Thử O: 0 ≤ 6, đúng, nên giữ phía có O, gạch bỏ phía kia.

Còn lại miền tam giác với ba đỉnh O(0; 0), A(6; 0), B(0; 3), tính cả ba cạnh.

Ví dụ 2. Hệ x − y < 2, y ≤ 3.

• Bờ x − y = 2 vẽ nét đứt (dấu < không lấy bờ). Thử O: 0 < 2, đúng, giữ phía có O.
• Bờ y = 3 vẽ nét liền, giữ phía dưới.

Miền nghiệm lần này là một góc kéo dài mãi, không khép kín. Đỉnh góc là điểm (5; 3), nhưng điểm này không thuộc miền nghiệm vì nó nằm trên bờ nét đứt.

3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên miền nghiệm

Miền nghiệm có vô số điểm, không thể thử hết. Nhưng người ta chứng minh được:

Trên một miền đa giác, biểu thức F = ax + by đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của đa giác.

Vậy chỉ cần tính F tại từng đỉnh rồi so sánh.

Ví dụ 1. F = 2x + y trên miền tam giác O(0; 0), A(6; 0), B(0; 3).

Lớn nhất là 12 (tại A), nhỏ nhất là 0 (tại O).

Ví dụ 2. Cùng miền đó, G = x + 4y.

Lần này lớn nhất lại ở đỉnh B. Đỉnh nào "thắng" là tuỳ biểu thức, nên phải tính đủ mọi đỉnh.

Trở lại quầy cây cảnh. Miền nghiệm của hệ ở mục 1 là tứ giác O(0; 0), A(0; 45), B(30; 30), C(60; 0). Đỉnh B là giao của x + y = 60 và x + 2y = 90: trừ vế với vế được y = 30, suy ra x = 30. Tiền lãi (nghìn đồng) là F = 5x + 8y:

Nên trồng 30 chậu sen đá và 30 chậu xương rồng, lãi 390 nghìn đồng.

Bảng tóm tắt

Lỗi hay gặp

• Chỉ thử một bất phương trình rồi kết luận. Nghiệm của hệ phải thoả mãn tất cả.
• Quên dấu bằng. 7 ≤ 7 là đúng, nhưng 2 > 2 là sai.
• Gạch nhầm phía. Luôn thử một điểm cụ thể (gốc O nếu O không nằm trên bờ) trước khi gạch.
• Bờ nét đứt mà vẫn vẽ nét liền. Với dấu < hoặc >, các điểm trên bờ không thuộc miền nghiệm.
• Thấy 5²x hay 2³y thì bảo "không phải bậc nhất". 5² chỉ là số 25. Phải nhìn số mũ của ẩn.
• Chỉ tính ở một hai đỉnh. Đỉnh nào lớn nhất còn tuỳ biểu thức, phải tính đủ.
• Bài thực tế quên điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0. Số chậu, số sản phẩm không thể âm.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Nhận biết hệ · kiểm tra nghiệm

Bài 1. Hệ nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 2x − y ≤ 1 và x + 4y > 0 b) x − y³ < 2 và x + y ≥ 0 c) 2²x + y ≤ 7 và x ≥ 0

Bài 2. Cho hệ x + y ≤ 5 và 2x − y ≥ 1. Cặp nào là nghiệm: (2; 3), (1; 2), (4; 2)?

Dạng 2. Biểu diễn miền nghiệm

Bài 3. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ trên mặt phẳng toạ độ.

a) x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 5 b) x + y > 1, x − y ≤ 3

Dạng 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất · bài toán thực tế

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của F = x + 3y trên miền tam giác ở bài 3a.

Bài 5. Một tiệm bánh nhỏ làm bánh quy và bánh bông lan theo mẻ. Mỗi mẻ bánh quy cần 2 kg bột, mỗi mẻ bông lan cần 3 kg bột; tiệm có 24 kg bột. Lò chỉ nướng được tối đa 10 mẻ một ngày. Mỗi mẻ bánh quy lãi 60 nghìn, mỗi mẻ bông lan lãi 80 nghìn. Nên làm mỗi loại mấy mẻ để lãi nhiều nhất?

Chuyện bên lề

Xưởng gỗ dán năm 1939. Cuối những năm 1930, một phòng thí nghiệm của ngành gỗ dán ở Leningrad (Liên Xô) nhờ nhà toán học Leonid Kantorovich một việc nghe rất đời thường: xưởng có nhiều loại máy, làm ra nhiều loại sản phẩm, vậy chia máy nào cho việc nào để làm ra nhiều hàng nhất? Ông viết mọi giới hạn về máy móc thành các bất phương trình bậc nhất, rồi tìm phương án tốt nhất. Năm 1939 ông in kết quả thành một cuốn sách mỏng.

Cách giải nhanh năm 1947. Ở Mỹ, George Dantzig tìm ra phương pháp đơn hình, một cách đi từ đỉnh này sang đỉnh khác của miền nghiệm để tới đỉnh tốt nhất mà không cần thử hết. Ý "đáp án nằm ở đỉnh" bạn vừa học chính là nền của phương pháp ấy.

Vì sao gọi là "quy hoạch"? Tên tiếng Anh của ngành này có chữ programming, nhưng không phải lập trình máy tính. Thời đó trong quân đội Mỹ, chữ này nghĩa là lập kế hoạch: lịch huấn luyện, tiếp tế.

Giải Nobel. Năm 1975, Kantorovich cùng Tjalling Koopmans được trao giải Nobel Kinh tế vì đóng góp cho lí thuyết phân bổ tối ưu tài nguyên.

Bài toán khẩu phần ăn. Nhà kinh tế George Stigler từng đặt câu hỏi: chọn trong 77 loại thực phẩm sao cho đủ chất mà rẻ nhất. Ông ước lượng bằng tay được 39,93 đô la một năm (giá năm 1939). Sau này, khi có phương pháp đơn hình, đáp số chính xác là 39,69 đô la. Ông chỉ lệch 24 xu.

Ngày nay. Hãng bay xếp lịch bay và tổ bay, công ty giao hàng chia tuyến xe, nhà máy phối trộn nguyên liệu đều giải bài toán "nhiều giới hạn bậc nhất, tìm phương án tốt nhất", chỉ khác là có hàng nghìn tới hàng triệu ẩn. Ngành toán này tên là quy hoạch tuyến tính.

(Nguồn và độ chắc chắn của từng chi tiết: xem lich-su.md.)

Trò chơi ở nhà (5 phút)

Săn đỉnh. Hai người chơi, cần giấy kẻ ô.

1. Người A vẽ hai trục toạ độ và tự nghĩ ra hai đường thẳng cắt nhau trong góc phần tư thứ nhất (ví dụ x + y = 6 và x + 3y = 12), rồi gạch bỏ để còn lại một tứ giác.
2. Người B nghĩ ra một biểu thức "điểm số", ví dụ F = 3x + 2y.
3. Mỗi người đoán trước đỉnh nào cho F lớn nhất, ghi ra giấy.
4. Cùng tính F tại bốn đỉnh. Ai đoán đúng được 1 điểm. Đổi vai, chơi 3 ván.

Chơi vài ván bạn sẽ thấy: đổi biểu thức là đỉnh thắng đổi theo.