Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Ở lớp 9 bạn đã biết sin, cos, tan, cot của góc nhọn trong tam giác vuông. Nhưng tam giác thật ngoài đời có cả góc tù. Bài này mở rộng bốn giá trị ấy cho mọi góc từ 0° đến 180°, và giải thích vì sao máy tính cho cos 120° = −0,5.

1. Nửa đường tròn đơn vị

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ nửa đường tròn tâm O, bán kính 1, nằm phía trên trục hoành. Đó là nửa đường tròn đơn vị.

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) có đúng một điểm M(x₀; y₀) trên nửa đường tròn sao cho góc giữa tia Ox và tia OM bằng α. Khi đó:

• sin α = y₀ (tung độ của M)
• cos α = x₀ (hoành độ của M)

Với góc nhọn, định nghĩa này trùng với lớp 9: tam giác vuông có cạnh huyền OM = 1 nên "đối chia huyền" = y₀ : 1 = y₀.

Ví dụ 1. α = 90°: M nằm ở đỉnh nửa đường tròn, M(0; 1). Vậy sin 90° = 1, cos 90° = 0.

Ví dụ 2. α = 180°: M nằm ở đầu bên trái, M(−1; 0). Vậy sin 180° = 0, cos 180° = −1.

2. Tan, cot và dấu của góc tù

• tan α = sin α : cos α (khi cos α ≠ 0, tức α ≠ 90°)
• cot α = cos α : sin α (khi sin α ≠ 0, tức α ≠ 0° và α ≠ 180°)

Ví dụ 1. tan 90° không xác định (vì cos 90° = 0). cot 0° và cot 180° cũng không xác định (vì sin bằng 0).

Khi α là góc tù, điểm M nằm bên trái trục tung nhưng vẫn ở phía trên trục hoành, nên:

Ví dụ 2. α = 150°. Tia OM hợp với phần bên trái của trục hoành một góc 30°. Tam giác vuông có cạnh huyền 1 nên M cao ½ và cách trục tung √3/2 về bên trái: M(−√3/2; ½). Vậy sin 150° = ½, cos 150° = −√3/2, tan 150° = −√3/3, cot 150° = −√3.

3. Hai góc bù nhau

Hai góc bù nhau có tổng bằng 180° (α và 180° − α). Hai điểm của chúng trên nửa đường tròn đơn vị đối xứng nhau qua trục tung: cùng tung độ, hoành độ đối nhau. Vì thế:

• sin(180° − α) = sin α
• cos(180° − α) = −cos α
• tan(180° − α) = −tan α (α ≠ 90°)
• cot(180° − α) = −cot α (0° < α < 180°)

Nhớ gọn: "sin bù" (hai góc bù nhau thì sin bằng nhau, ba giá trị còn lại đối nhau).

Ví dụ 1. cos 120° = −cos 60° = −½ (đúng con số máy tính cho).

Ví dụ 2. tan 135° = −tan 45° = −1.

Bảng giá trị nên nhớ

(‖ = không xác định.) Chỉ cần nhớ ba cột 30°, 45°, 60°; ba cột 120°, 135°, 150° suy ra bằng "sin bù".

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Quên dấu trừ của góc tù: viết cos 120° = ½. Góc tù thì cos, tan, cot đều âm; chỉ sin dương.
2. Đổi dấu cả sin: viết sin 150° = −½. Sin của hai góc bù nhau bằng nhau.
3. Bình phương mà vẫn để âm: cos² 150° = (−√3/2)² = ¾, không phải −¾.
4. Lẫn "bù" với "phụ": phụ nhau (tổng 90°) thì sin góc này bằng cos góc kia; bù nhau (tổng 180°) thì sin bằng sin.
5. Tin máy tính khi tìm góc từ sin: bấm tìm x từ sin x = 0,5 máy chỉ trả 30°, nhưng 150° cũng thoả mãn. Phải tự xét góc nhọn hay tù.
6. Tính tan 90°, cot 0°, cot 180°: các giá trị này không xác định (máy báo lỗi).
7. Máy tính để nhầm đơn vị: phải ở chế độ "độ" (chữ D trên màn hình).

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Tính giá trị biểu thức

Cách làm: đưa góc tù về góc nhọn bù với nó → đặt đúng dấu → thay số trong bảng.

Bài 1. Tính:
a) sin 150° + cos 120°
b) cos² 150° − tan 135°
c) 2sin 135° · cos 135° + cot 90°

Dạng 2. Rút gọn biểu thức

Cách làm: tìm các cặp góc có tổng 180° → sin bằng nhau; cos, tan, cot đối nhau → rút gọn.

Bài 2. Rút gọn:
a) cos 35° + cos 145° + sin 130° − sin 50°
b) sin(180° − α) · cot α − 2cos(180° − α), với 0° < α < 90°

Dạng 3. Biết tan (hoặc cot), tính giá trị biểu thức

Cách làm: chia cả tử và mẫu cho cos α (hoặc sin α) để chỉ còn tan α (hoặc cot α), rồi thay số.

Bài 3. Cho tan α = −2. Tính P = (sin α + 4cos α) : (3sin α − cos α).

Dạng 4. Bài toán thực tế về chuyển động tròn

Cách làm: đặt gốc toạ độ ở tâm quay → tìm góc đã quay → độ cao so với tâm = bán kính · sin α; chiều ngang so với tâm = bán kính · cos α.

Bài 4. Một tua-bin gió có trục cao 80 m, cánh dài 40 m. Đầu cánh xuất phát ở vị trí nằm ngang bên phải, quay ngược chiều kim đồng hồ, 12 giây một vòng.
a) Sau 5 giây, đầu cánh ở độ cao bao nhiêu mét?
b) Lúc đó đầu cánh cách cột theo phương ngang bao nhiêu mét, về phía nào?

Chuyện bên lề

Chữ "sin" là một lần đọc nhầm. Lượng giác sinh ra từ thiên văn, và ngay từ đầu nó gắn với đường tròn, không phải tam giác vuông. Thế kỉ 2 trước Công nguyên, Hipparchus (Hy Lạp) lập bảng độ dài dây cung; bảng dây cung của Ptolemy sau đó đã đi tới cung 180°. Khoảng năm 500, nhà toán học Ấn Độ Aryabhata lập bảng nửa dây cung, tiện hơn nhiều, và nửa dây cung chia cho bán kính chính là sin ngày nay. Tiếng Phạn gọi dây cung là jya ("dây của cây cung").

Sang tiếng Ả Rập, jya được phiên âm thành một chữ vô nghĩa, rồi về sau bị đọc thành jaib, một từ có nghĩa là "nếp gấp". Thế kỉ 12, khi dịch sách Ả Rập sang tiếng Latin, người châu Âu dịch luôn "nếp gấp" thành sinus. Chữ sin ta dùng hôm nay là kết quả của chuỗi phiên âm rồi dịch nhầm đó.

Tên gọi "lượng giác" (trigonometry) thì trẻ hơn nhiều: nó xuất hiện lần đầu năm 1595, trên bìa một cuốn sách của Bartholomaeus Pitiscus. Đến năm 1748, Leonhard Euler đưa sin, cos vào giải tích, coi chúng là những hàm số như ta học ở lớp 11.

Ngày nay dùng vào đâu? Mỗi lần một nhân vật trong game xoay người, máy tính tính toạ độ mới bằng x′ = x cos θ − y sin θ và y′ = x sin θ + y cos θ, với θ là góc bất kì chứ không riêng góc nhọn. Định vị vệ tinh, đo đạc bản đồ cũng phải giải những tam giác có góc tù; bài sau (định lí côsin, định lí sin) sẽ cần đúng các giá trị bạn vừa học.

Trò chơi ở nhà 5 phút: "Đồng hồ lượng giác"

Vẽ nửa đường tròn bán kính 10 cm trên giấy kẻ ô (coi 10 cm là 1 đơn vị), dùng thước đo góc đánh dấu các góc 30°, 60°, 100°, 135°, 160°.

1. Một người đọc một góc; người kia đo tung độ và hoành độ của điểm tương ứng (chia cho 10) rồi đoán sin, cos.
2. Kiểm tra bằng máy tính. Sai dưới 0,05 thì được 1 điểm.
3. Câu hỏi thưởng: tìm hai góc khác nhau có cùng sin. Ai giải thích được bằng hình thì được 2 điểm.