anim.vn

Toán lớp 10 · Bài 6 · 8 phút

Hệ thức lượng trong tam giác

Tải bài tập về nhà (PDF, có lời giải)Xem trên YouTube

Mục lục video

  1. Mở đầu: Pythagore chịu thua
  2. Định lí già hơn chữ côsin
  3. Định lí côsin
  4. Định lí sin
  5. Công thức diện tích
  6. Dạng 1: Hai cạnh và góc xen giữa
  7. Dạng 2: Một cạnh và hai góc
  8. Dạng 3: Biết ba cạnh
  9. Dạng 4: Bài toán thực tế
  10. Kết bài

Định lí Pythagore chỉ dùng được cho tam giác vuông. Bài này cho bạn ba công cụ dùng được cho mọi tam giác: định lí côsin, định lí sin và các công thức diện tích. Có chúng, chỉ cần biết ba yếu tố (trong đó có ít nhất một cạnh) là tính được mọi thứ còn lại. Việc đó gọi là giải tam giác.

Quy ước. Trong tam giác ABC: cạnh a = BC đối diện góc A, cạnh b = CA đối diện góc B, cạnh c = AB đối diện góc C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp.

1. Định lí côsin

  • a² = b² + c² − 2bc · cos A
  • b² = c² + a² − 2ca · cos B
  • c² = a² + b² − 2ab · cos C

Nhớ bằng lời: bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia, trừ hai lần tích của chúng nhân côsin góc xen giữa.

Nếu A = 90° thì cos A = 0, "phần đuôi" biến mất và còn lại a² = b² + c²: định lí Pythagore chính là trường hợp riêng của định lí côsin.

Ví dụ 1. Hai que dài 3 và 5 ghim chung một đầu, mở góc 120°. Khoảng cách x giữa hai đầu que:
x² = 3² + 5² − 2 · 3 · 5 · cos 120° = 9 + 25 + 15 = 49, nên x = 7. (cos 120° = −½ nên "trừ" thành "cộng": góc tù làm cạnh đối diện dài ra.)

Đảo công thức lại, biết ba cạnh thì tính được góc:

  • cos A = (b² + c² − a²) : (2bc)

Ví dụ 2. Tam giác có ba cạnh 7, 13, 15. Góc đối diện cạnh 13 có côsin bằng (7² + 15² − 13²) : (2 · 7 · 15) = 105 : 210 = ½, nên góc đó bằng 60°.

2. Định lí sin

  • a : sin A = b : sin B = c : sin C = 2R

Mỗi cạnh luôn đi cặp với góc đối diện nó, và tỉ số nào cũng bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp.

Ví dụ 1. Tam giác có hai góc 45° và 30°; cạnh đối diện góc 30° dài 7. Cạnh x đối diện góc 45° thoả mãn x : sin 45° = 7 : sin 30° = 14, nên x = 14 · sin 45° = 7√2 ≈ 9,9.

Ví dụ 2. Tam giác đều cạnh 6: 2R = 6 : sin 60° = 4√3, nên R = 2√3 ≈ 3,5.

3. Công thức diện tích

Biết gìCông thức
Hai cạnh và góc xen giữaS = ½ · ab · sin C = ½ · bc · sin A = ½ · ca · sin B
Ba cạnhS = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) (công thức Heron), p = (a + b + c) : 2
Nửa chu vi và rS = p · r
Ba cạnh và RS = abc : (4R)

Vì sao có công thức đầu? Vì b · sin C chính là chiều cao hạ xuống cạnh a.

Ví dụ 1. Hai cạnh 6 và 10, góc xen giữa 30°: S = ½ · 6 · 10 · sin 30° = 15.

Ví dụ 2. Ba cạnh 9, 10, 17: p = 18, S = √(18 · 9 · 8 · 1) = √1296 = 36. Suy ra thêm r = S : p = 2.

Chọn công cụ nào?

Đề choDùng
Hai cạnh và góc xen giữaĐịnh lí côsin (tìm cạnh thứ ba)
Ba cạnhĐịnh lí côsin dạng cos A = … (tìm góc), Heron (diện tích)
Một cạnh và hai gócTính góc thứ ba, rồi định lí sin
Một cạnh, góc đối diện nó, hỏi RĐịnh lí sin: 2R = a : sin A

Lỗi hay gặp

  • Dùng Pythagore cho tam giác không vuông. Thiếu phần −2bc · cos A là sai ngay.
  • Sai dấu khi góc tù. cos của góc tù là số âm, nên −2bc · cos A thành số dương.
  • Ghép sai cặp trong định lí sin. Cạnh phải đi với góc đối diện nó, không phải góc kề. Đề cho một cạnh và hai góc thì thường phải tính góc thứ ba trước.
  • Lấy nhầm góc không xen giữa trong S = ½ · ab · sin C: góc C phải là góc tạo bởi hai cạnh a và b.
  • Quên p là NỬA chu vi trong công thức Heron.
  • Máy tính để nhầm chế độ radian. Bài này tính bằng độ: kiểm tra máy đang ở chế độ độ (D/DEG).
  • Bấm máy tìm góc từ sin chỉ ra góc nhọn, trong khi góc tù bù với nó cũng có cùng sin. Muốn biết góc tù hay nhọn, hãy tính côsin (côsin âm là góc tù).

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Biết hai cạnh và góc xen giữa

Bài 1. Tam giác MNP có MN = 8, MP = 15, góc M = 60°. Tính NP và diện tích tam giác.

Đáp án

NP² = 8² + 15² − 2 · 8 · 15 · cos 60° = 289 − 120 = 169, nên NP = 13. (Dùng Pythagore ra 17 là sai, vì góc M không vuông.)
S = ½ · 8 · 15 · sin 60° = 30√3 ≈ 52.

Bài 2. Tam giác có hai cạnh 5 và 16, góc xen giữa 120°. Tính cạnh thứ ba.

Đáp án

x² = 25 + 256 − 2 · 5 · 16 · (−½) = 281 + 80 = 361, nên x = 19.

Dạng 2. Biết một cạnh và hai góc

Bài 3. Tam giác DEF có góc D = 60°, góc E = 75°, DE = 10. Tính EF và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp.

Đáp án

Góc F = 180° − 60° − 75° = 45° (đối diện cạnh DE). Cạnh EF đối diện góc D:
EF : sin 60° = 10 : sin 45°, nên EF = 5√6 ≈ 12,2.
2R = 10 : sin 45° = 10√2, nên R = 5√2 ≈ 7,1.

Bài 4. Tam giác HIK có góc H = 45°, góc K = 30°, HI = 6. Tính IK.

Đáp án

HI đối diện góc K, IK đối diện góc H: IK : sin 45° = 6 : sin 30° = 12, nên IK = 6√2 ≈ 8,5.

Dạng 3. Biết ba cạnh

Bài 5. Tam giác có ba cạnh 4, 13, 15. a) Tam giác này nhọn, vuông hay tù? b) Tính diện tích. c) Tính đường cao ứng với cạnh dài nhất.

Đáp án

a) Góc lớn nhất đối diện cạnh 15: cos = (4² + 13² − 15²) : (2 · 4 · 13) = −40 : 104 = −5/13 < 0, nên đó là góc tù: tam giác tù.
b) p = 16; S = √(16 · 12 · 3 · 1) = √576 = 24.
c) S = ½ · 15 · h nên h = 48 : 15 = 3,2.

Bài 6. Tam giác RST có RS = 11, ST = 13, RT = 20. Gọi M là trung điểm của RT. Tính cos R và độ dài SM.

Đáp án

cos R = (11² + 20² − 13²) : (2 · 11 · 20) = 352 : 440 = 0,8.
Trong tam giác RSM (RS = 11, RM = 10, góc R xen giữa): SM² = 121 + 100 − 2 · 11 · 10 · 0,8 = 45, nên SM = 3√5 ≈ 6,71.

Dạng 4. Bài toán thực tế

Bài 7. Màn hình rạp chiếu phim rộng 6 m. Ghế của bạn cách mép trái màn hình 14 m, cách mép phải 10 m. Góc nhìn trọn màn hình của bạn là bao nhiêu độ? Nếu đổi sang ghế cách hai mép 8 m và 10 m thì sao?

Đáp án

Ghế 1: cos α = (14² + 10² − 6²) : (2 · 14 · 10) = 260 : 280 = 13/14, nên α ≈ 22°.
Ghế 2: cos β = (8² + 10² − 6²) : (2 · 8 · 10) = 128 : 160 = 0,8, nên β ≈ 37°. Ngồi gần hơn thì góc nhìn rộng hơn.

Bài 8. Một chiếc đèn bàn có hai đoạn cần nối nhau bằng khớp: đoạn dưới dài 30 cm, đoạn trên dài 40 cm. Khi khớp mở góc 120°, đầu đèn cách chân cần bao nhiêu xăng-ti-mét?

Đáp án

d² = 30² + 40² − 2 · 30 · 40 · cos 120° = 2500 + 1200 = 3700, nên d = 10√37 ≈ 60,8 cm.

Chuyện bên lề

Định lí côsin già hơn cả chữ "côsin". Khoảng năm 300 trước Công nguyên, trong bộ sách Cơ sở, Euclid đã viết hai mệnh đề (một cho tam giác tù, một cho tam giác nhọn) có nội dung đúng bằng định lí côsin. Nhưng thời đó chưa có lượng giác, nên ông phải phát biểu bằng hình học: hình vuông dựng trên cạnh này lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) tổng hai hình vuông kia đúng bằng hai lần một hình chữ nhật.

Al-Kashi và "Chìa khoá số học". Năm 1427, tại Samarkand (nay thuộc Uzbekistan), nhà toán học và thiên văn Jamshid al-Kashi hoàn thành cuốn Chìa khoá số học, trong đó ông trình bày cách giải tam giác từ nhiều kiểu dữ kiện khác nhau. Ba năm trước đó, cũng chính ông tính 2π chính xác tới 16 chữ số thập phân. Ở Pháp, có khi người ta vẫn gọi định lí côsin là "định lí Al-Kashi".

Kí hiệu như ngày nay đến muộn hơn nhiều. Người đầu tiên viết định lí bằng kí hiệu đại số là François Viète ở thế kỉ 16; dạng a² = b² + c² − 2bc · cos A quen thuộc chỉ có từ đầu thế kỉ 19. Còn định lí sin cho tam giác phẳng được Nasir al-Din al-Tusi phát biểu và chứng minh ở thế kỉ 13.

Đo cả một nước bằng tam giác. Muốn đo khoảng cách rất xa, người ta chỉ cần đo thật kĩ một cạnh rồi đo các góc: định lí sin cho ra mọi cạnh còn lại, tam giác này nối tiếp tam giác kia. Năm 1615, nhà toán học Hà Lan Willebrord Snell dùng một chuỗi 33 tam giác như thế để đo khoảng cách giữa hai thành phố cách nhau hơn một trăm ki-lô-mét. Cách làm này (gọi là tam giác đạc) được dùng để lập bản đồ suốt mấy trăm năm, cho tới khi các hệ thống vệ tinh định vị ra đời từ thập niên 1980.

Trò chơi ở nhà (5 phút)

Đoán rồi tính. Lấy hai cây bút (hoặc hai que) và một thước đo độ.

  1. Đo độ dài hai que. Chụm một đầu lại, mở một góc tuỳ ý và đo góc đó.
  2. Mỗi người đoán khoảng cách giữa hai đầu que.
  3. Tính bằng định lí côsin (bấm máy), rồi đo lại bằng thước. Ai đoán gần nhất thắng.
  4. Thử với một góc tù: khoảng cách dài hơn hay ngắn hơn so với khi mở góc vuông? Vì sao?