Vectơ: các khái niệm mở đầu

Quả bóng bay về phía khung thành với tốc độ 90 km/h. Thủ môn biết con số ấy vẫn chưa bắt được bóng, vì còn phải biết bóng bay theo hướng nào. Có những đại lượng cần cả độ lớn lẫn hướng. Vectơ là công cụ toán học ghi cả hai thứ ấy bằng một mũi tên.

Trong bài này, kí hiệu vectơ viết bằng chữ: "vectơ AB", "vectơ u". Khi viết tay, bạn viết AB hoặc u rồi thêm một mũi tên phía trên.

1. Vectơ là gì, độ dài của vectơ

• Vectơ là một đoạn thẳng có hướng: trong hai đầu mút, ta nói rõ đâu là điểm đầu, đâu là điểm cuối.
• Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B gọi là vectơ AB. Khi vẽ, đầu mũi tên đặt ở điểm cuối B.
• Khi không cần nêu hai đầu mút, ta gọi vectơ bằng một chữ thường: vectơ a, vectơ u, vectơ v…
• Độ dài của vectơ là khoảng cách từ điểm đầu tới điểm cuối. Kí hiệu bằng hai gạch đứng: |vectơ AB| = AB.

Ví dụ 1. Với hai điểm A và B có hai vectơ khác nhau: vectơ AB và vectơ BA. Chúng dài bằng nhau nhưng đi ngược nhau.

Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại B, AB = 6, BC = 8. Theo định lí Pythagore, AC = √(6² + 8²) = 10. Vậy |vectơ AC| = 10.

2. Cùng phương, cùng hướng, ngược hướng

• Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ gọi là giá của vectơ đó.
• Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai vectơ đã cùng phương thì chỉ có hai khả năng: cùng hướng hoặc ngược hướng.

Ví dụ 1. Trong trung tâm thương mại có hai thang cuốn đặt song song, một cái đi lên, một cái đi xuống. Hai vectơ vận tốc cùng phương nhưng ngược hướng.

Ví dụ 2. Trên giấy kẻ ô, vectơ u đi "sang phải 2 ô, lên 1 ô", vectơ v đi "sang phải 4 ô, lên 2 ô", đặt ở hai chỗ khác nhau. Hai giá song song và cả hai cùng chỉ lên bên phải nên u, v cùng hướng, dù v dài gấp đôi. Vectơ x đi "sang phải 3 ô, xuống 3 ô" thì không cùng phương với u. Khi đó ta không nói x cùng hướng hay ngược hướng với u.

3. Hai vectơ bằng nhau, vectơ-không

• Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Không cần chung điểm đầu: trượt một vectơ đi chỗ khác, giữ nguyên hướng và độ dài, ta vẫn được chính vectơ đó.
• Cho vectơ u và một điểm O, có đúng một điểm A sao cho vectơ OA bằng vectơ u.
• Vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối (vectơ AA, vectơ BB…) gọi là vectơ-không. Nó có độ dài 0 và được quy ước là cùng hướng (nên cùng phương) với mọi vectơ. Mọi vectơ-không đều bằng nhau, dùng chung một kí hiệu: số 0 có mũi tên phía trên.

Ví dụ 1. Hình bình hành MNPQ: vectơ MN và vectơ QP cùng hướng, cùng độ dài nên bằng nhau. Nhưng vectơ MN và vectơ PQ không bằng nhau vì ngược hướng.

Ví dụ 2. Vẽ vectơ u bất kì và một điểm O. Đặt thước song song với u, từ O kẻ theo đúng hướng của u một đoạn dài bằng u, ta được điểm A. Chỉ có một điểm A như thế.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Coi vectơ AB và vectơ BA là một. Điểm đầu đọc và viết trước, điểm cuối đọc và viết sau. Đổi thứ tự là đổi hướng.
2. Thấy dài bằng nhau là kết luận bằng nhau. Còn phải cùng hướng. Hai cạnh đối của hình bình hành dài bằng nhau, nhưng viết sai thứ tự chữ là thành hai vectơ ngược hướng.
3. Nói "ngược hướng" cho hai vectơ không cùng phương. Chỉ khi cùng phương mới xét cùng hướng hay ngược hướng.
4. Nghĩ rằng cùng hướng thì bằng nhau. Cùng hướng mà độ dài khác nhau thì vẫn khác nhau.
5. Vẽ lực, vận tốc mà không theo tỉ lệ. Độ dài mũi tên phải tỉ lệ với độ lớn: lực 60 N phải dài gấp rưỡi lực 40 N.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Xác định vectơ, tính độ dài

Cách làm: chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối; độ dài vectơ là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm ấy.

Bài 1. Hình thoi ABCD có hai đường chéo AC = 16, BD = 12, cắt nhau tại O.
a) Tính độ dài vectơ AB.
b) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có hai đầu mút là đỉnh của hình thoi?

Bài 2. Tam giác DEF vuông tại D có DE = 9, DF = 12. Tính độ dài vectơ EF và vectơ FE.

Dạng 2. Tìm vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau

Cách làm: tìm các đường thẳng song song hoặc trùng với giá → xét hướng → so độ dài.

Bài 3. Lục giác đều ABCDEF, tâm O.
a) Tìm các vectơ bằng vectơ AB, có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh hoặc tâm.
b) Vectơ AB và vectơ DE có bằng nhau không?

Bài 4. Trên giấy kẻ ô, vectơ a đi "sang phải 3 ô, lên 1 ô". Vectơ nào sau đây cùng hướng với a, vectơ nào ngược hướng, vectơ nào bằng a: b "sang phải 6 ô, lên 2 ô"; c "sang trái 3 ô, xuống 1 ô"; d "sang phải 1 ô, lên 3 ô"; e "sang phải 3 ô, lên 1 ô"?

Dạng 3. Dùng vectơ diễn đạt quan hệ hình học

Cách làm: vẽ hình; với mỗi đẳng thức vectơ, kiểm tra hai điều: cùng hướng và cùng độ dài.

Bài 5. I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
a) Vectơ AI bằng vectơ IB.
b) Vectơ IA bằng vectơ IB.
c) Vectơ AI và vectơ AB cùng hướng.

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho vectơ BE bằng vectơ AB. Chứng minh tứ giác BECD là hình bình hành.

Dạng 4. Biểu diễn lực, vận tốc bằng vectơ

Cách làm: chọn tỉ lệ; vẽ mũi tên theo đúng hướng của đại lượng; độ dài mũi tên tỉ lệ với độ lớn.

Bài 7. Bạn Minh đẩy một cái tủ sang phải với lực 60 N. Sàn nhà cản lại bằng lực ma sát 40 N. Quy ước 1 ô ứng với 20 N.
a) Vẽ hai vectơ lực.
b) Hai vectơ ấy có cùng phương, cùng hướng, bằng nhau không?

Bài 8. Hai bạn An và Bình cùng kéo một chiếc xe chở hàng về bên phải: An kéo 80 N, Bình kéo 120 N. Quy ước 1 ô ứng với 40 N. Hai vectơ lực dài mấy ô? Chúng có bằng nhau không?

Chuyện bên lề

Vectơ không do một người nghĩ ra trong một ngày. Khái niệm này hình thành dần trong hơn 200 năm, từ nhu cầu của vật lí và thiên văn: lực, vận tốc đều có cả độ lớn lẫn hướng.

Một người tự học và ý tưởng "coi như là một". Năm 1835, Giusto Bellavitis, một người Ý tự học toán trong lúc làm việc cho chính quyền thị trấn quê mình, công bố bài viết về các đoạn thẳng "tương đẳng": hai đoạn thẳng song song, dài bằng nhau và cùng hướng thì được coi như nhau. Đó chính là định nghĩa hai vectơ bằng nhau mà bạn vừa học.

Cái tên "vectơ". Khoảng năm 1843, nhà toán học Ai-len William Rowan Hamilton bắt đầu dùng chữ "vector" theo nghĩa ngày nay. Trong tiếng La-tinh, chữ này nghĩa là "người chuyên chở": vectơ AB "chở" điểm A tới điểm B. Cũng năm 1843, ngày 16 tháng 10, khi đang đi bộ cùng vợ dọc một con kênh ở Dublin, Hamilton nghĩ ra công thức cho một loại số mới và lấy dao nhíp khắc ngay lên thành cầu.

Ngày nay. Trong trò chơi điện tử, mỗi nhân vật, mỗi quả bóng đều mang một vectơ vận tốc. Ở mỗi khung hình, máy tính dời vật đi đúng theo vectơ ấy: vị trí mới = vị trí cũ + vectơ vận tốc. Trong vật lí, lực, vận tốc, gia tốc đều được biểu diễn bằng vectơ.

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Truy tìm vectơ bằng nhau"

Cần: một tờ giấy kẻ ô, hai cây bút khác màu, hai người chơi.

1. Người thứ nhất vẽ một mũi tên bất kì nối hai giao điểm của lưới (ví dụ sang phải 3 ô, lên 2 ô).
2. Người thứ hai có 10 giây để vẽ ở chỗ khác trên tờ giấy: một vectơ bằng nó, một vectơ ngược hướng với nó, và một vectơ không cùng phương với nó.
3. Vẽ đúng cả ba được 1 điểm, rồi đổi vai. Ai được 5 điểm trước thì thắng.

Mẹo kiểm tra: hai vectơ bằng nhau khi đếm thấy "sang ngang bấy nhiêu ô, lên (xuống) bấy nhiêu ô" giống hệt nhau.