Tổng và hiệu của hai vectơ

Bạn đi bộ 3 km về hướng đông rồi rẽ lên hướng bắc 4 km. Bạn đã đi 7 km, nhưng chỉ cách chỗ xuất phát 5 km. "3 + 4 = 5" nghe vô lí, cho tới khi bạn nhận ra mình vừa cộng hai vectơ chứ không cộng hai con số. Bài này cho bạn hai quy tắc để cộng, một quy tắc để trừ, và hai kết quả đẹp về trung điểm, trọng tâm.

Quy ước trong bài đọc này: viết "vectơ AB" cho vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B; "vectơ-không" là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối; |vectơ AB| là độ dài của vectơ AB.

1. Tổng của hai vectơ: quy tắc ba điểm

Cho hai vectơ u và v. Lấy một điểm A bất kì, vẽ vectơ AB bằng u, rồi từ B vẽ tiếp vectơ BC bằng v. Vectơ AC (đi thẳng từ điểm đầu tới điểm cuối) gọi là tổng của u và v, kí hiệu u + v. Chọn điểm A ở đâu thì kết quả vẫn là những vectơ bằng nhau.

Quy tắc ba điểm: với ba điểm A, B, C bất kì,

vectơ AB + vectơ BC = vectơ AC

Mẹo nhớ: hai chữ giống nhau đứng cạnh nhau (…B + B…) thì nối lại, chỉ còn chữ đầu và chữ cuối.

Ví dụ 1. Con kiến bò từ M tới N, rồi từ N tới hạt đường ở P. Cả chuyến đi, nó dịch chuyển đúng bằng vectơ MP: vectơ MN + vectơ NP = vectơ MP. Quãng đường bò thì dài hơn, nhưng độ dịch chuyển chỉ tính từ đầu tới cuối.

Ví dụ 2. Tính vectơ PQ + vectơ KP. Hai chữ P chưa đứng cạnh nhau, nhưng phép cộng vectơ giao hoán nên đổi chỗ được: vectơ KP + vectơ PQ = vectơ KQ.

2. Quy tắc hình bình hành

Khi hai vectơ chung gốc (như hai lực cùng kéo một vật), ta dựng hình bình hành trên hai vectơ đó.

Quy tắc hình bình hành: nếu ABCD là hình bình hành thì

vectơ AB + vectơ AD = vectơ AC

Tổng là đường chéo xuất phát từ gốc chung. Lí do: vectơ AD bằng vectơ BC, nên trượt AD sang cạnh BC là quay về quy tắc ba điểm.

Ví dụ 1. Hai chú chó cùng kéo một chiếc xe trượt, mỗi chú một hướng. Xe không chạy theo hướng của chú nào mà chạy theo đường chéo của hình bình hành dựng trên hai lực kéo.

Ví dụ 2. Trong hình bình hành MNPQ: vectơ MN + vectơ MQ = vectơ MP. Không phải vectơ NQ: đường chéo NQ không xuất phát từ gốc chung M.

Tính chất (giống phép cộng số): với ba vectơ a, b, c tuỳ ý,

• giao hoán: a + b = b + a;
• kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c), nên được viết a + b + c không cần ngoặc;
• cộng với vectơ-không: a + vectơ-không = a.

3. Vectơ đối và hiệu của hai vectơ

Bạn đi từ nhà A đến trường B rồi quay về: vectơ AB + vectơ BA = vectơ-không. Hai vectơ cùng độ dài, ngược hướng như thế gọi là hai vectơ đối nhau. Vectơ đối của a kí hiệu là −a. Vậy −(vectơ AB) = vectơ BA, và hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng vectơ-không.

Trừ một vectơ là cộng với vectơ đối của nó: a − b = a + (−b).

Quy tắc hiệu: với ba điểm O, M, N bất kì,

vectơ ON − vectơ OM = vectơ MN

Mẹo nhớ: hai vectơ chung gốc O; kết quả là "điểm cuối trước, điểm đầu sau", tức đi từ M tới N.

Ví dụ 1. Ở sân trường, cột cờ là điểm O, bạn Mai đứng ở M, bạn Nam đứng ở N. Đường đi từ Mai sang Nam là vectơ MN = vectơ ON − vectơ OM.

Ví dụ 2. vectơ DA − vectơ DC = vectơ CA (chứ không phải vectơ AC: viết ngược thứ tự là ra vectơ đối).

4. Trung điểm và trọng tâm

• Nếu I là trung điểm của đoạn AB thì vectơ IA + vectơ IB = vectơ-không (hai vectơ này đối nhau).
• Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì vectơ GA + vectơ GB + vectơ GC = vectơ-không.

Vì sao có kết quả thứ hai? Dựng hình bình hành GBDC trên hai vectơ GB và GC. Đường chéo GD đi qua trung điểm của BC và dài gấp đôi đoạn từ G tới trung điểm ấy, tức dài bằng GA nhưng ngược hướng. Vậy vectơ GB + vectơ GC = vectơ GD = −(vectơ GA).

Ví dụ 1. M là trung điểm của đoạn PQ thì vectơ MP + vectơ MQ = vectơ-không.

Ví dụ 2. Cắt một tấm bìa hình tam giác, vẽ ba đường trung tuyến, đặt giao điểm của chúng (trọng tâm) lên đầu bút chì: tấm bìa nằm thăng bằng.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Cộng độ dài thay vì cộng vectơ. |a + b| nói chung không bằng |a| + |b|; chỉ bằng khi hai vectơ cùng hướng. Luôn có |a + b| ≤ |a| + |b|.
2. Trừ độ dài thay vì trừ vectơ. Hình chữ nhật có hai cạnh 12 và 5 thì |vectơ MN − vectơ MQ| = 13, không phải 12 − 5 = 7.
3. Quy tắc ba điểm mà hai chữ ở giữa không trùng nhau. vectơ AB + vectơ CB không rút gọn ngay được; phải có dạng …B + B….
4. Viết ngược quy tắc hiệu. vectơ ON − vectơ OM = vectơ MN, không phải vectơ NM.
5. Lấy nhầm đường chéo. Với hai vectơ chung gốc: tổng là đường chéo đi từ gốc chung, hiệu là đường chéo còn lại.
6. Quên rằng muốn cộng phải "đặt lại" vectơ. Hai vectơ không chung gốc, không nối đuôi thì thay một vectơ bằng vectơ bằng nó cho thuận tiện.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Rút gọn và chứng minh đẳng thức vectơ

Cách làm: xếp các vectơ nối đuôi nhau để dùng quy tắc ba điểm; gặp phép trừ hai vectơ chung gốc thì dùng quy tắc hiệu; khi chứng minh, biến đổi để hai vế cùng bằng một vectơ.

Bài 1.
a) Rút gọn: vectơ MN + vectơ PQ + vectơ NP.
b) Với bốn điểm A, B, C, D bất kì, chứng minh: vectơ AB + vectơ CD = vectơ AD + vectơ CB.
c) Rút gọn: vectơ AB − vectơ CB.

Dạng 2. Tính độ dài của vectơ tổng, vectơ hiệu

Cách làm: thu tổng hoặc hiệu về một vectơ, rồi mới tính độ dài của đoạn thẳng đó.

Bài 2. Hình chữ nhật MNPQ có MN = 12, MQ = 5. Tính độ dài của:
a) vectơ MN + vectơ MQ;
b) vectơ MN − vectơ MQ;
c) vectơ MN + vectơ NP.

Dạng 3. Bài toán hợp lực

Cách làm: vẽ các lực chung gốc, dựng hình bình hành, hợp lực là đường chéo. Vật đứng yên khi tổng các lực bằng vectơ-không.

Bài 3. Một ô tô sa lầy được hai xe cứu hộ kéo bằng hai dây cáp vuông góc với nhau, lực kéo là 6 000 N và 8 000 N.
a) Tính độ lớn hợp lực của hai lực kéo.
b) Ô tô vẫn đứng yên. Tìm lực cản của bùn lầy.

Bài 4. Hai con trâu kéo một khúc gỗ theo hai hướng vuông góc với nhau, lực kéo 300 N và 400 N. Hợp lực có độ lớn bao nhiêu?

Thêm bài để luyện: xem file bài tập về nhà (PDF) đi kèm video.

Chuyện bên lề

Người ta biết cộng hai lực bằng hình vẽ từ rất lâu trước khi có chữ "vectơ".

Năm 1586, Simon Stevin, một kĩ sư và nhà toán học làm việc ở Hà Lan (ông từng tư vấn xây cối xay gió, âu thuyền, bến cảng), in một cuốn sách về tĩnh học, môn học về các vật đứng cân bằng. Cuốn sách nổi tiếng vì chứa định lí tam giác lực.

Năm 1687, quy tắc hình bình hành của lực có mặt trong cuốn sách nổi tiếng của Isaac Newton về các định luật chuyển động, và cùng năm ấy trong một cuốn sách của nhà toán học Pháp Pierre Varignon. Varignon còn nhận ra rằng cả môn tĩnh học (đòn bẩy, ròng rọc, mặt nghiêng) có thể dựng trên một phép toán duy nhất: phép hợp lực.

Chuyện "chứng minh" quy tắc hình bình hành bằng toán học thuần tuý đã gây tranh cãi lâu dài; theo một số tài liệu, ngày nay người ta coi nó là một sự thật rút ra từ thực nghiệm.

Ngày nay, kĩ sư vẫn cộng lực trên từng sợi cáp của cầu dây văng theo đúng quy tắc ấy. Máy bay gặp gió ngang cũng phải cộng vectơ vận tốc của mình với vectơ vận tốc của gió để biết hướng bay thật.

Trò chơi ở nhà 5 phút: "Kho báu trên giấy kẻ ô"

Cần: một tờ giấy kẻ ô vuông và hai cây bút.

1. Người thứ nhất chấm một điểm xuất phát, rồi bí mật chọn điểm "kho báu" cách đó vài ô.
2. Người thứ nhất đọc hai mũi tên nối đuôi nhau dẫn tới kho báu, ví dụ: "sang phải 5 ô, lên 2 ô" rồi "sang trái 1 ô, lên 3 ô".
3. Người thứ hai không được vẽ hai mũi tên đó, mà phải nói ngay một mũi tên duy nhất đi thẳng từ điểm xuất phát tới kho báu (ở đây: sang phải 4 ô, lên 5 ô). Vẽ ra kiểm tra bằng quy tắc ba điểm.
4. Đổi vai. Nâng cấp: đọc ba mũi tên; hoặc cho biết mũi tên tổng và một mũi tên, hỏi mũi tên còn lại (đó chính là phép trừ vectơ).