Vectơ trong mặt phẳng toạ độ

Một chiếc máy khắc laser không có mắt, nó không "nhìn" thấy mũi tên nào. Bạn chỉ đưa cho nó hai con số, ví dụ 4 và 3, và đầu khắc chạy đúng một đường xiên: sang phải 4, lên trên 3. Bài này cho bạn cách đổi mọi vectơ thành một cặp số. Từ đó, cộng, trừ, đo độ dài, kiểm tra thẳng hàng… đều chỉ còn là phép tính.

1. Toạ độ của vectơ

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, chọn hai vectơ đơn vị: $\vec{i}$ hướng theo trục hoành, $\vec{j}$ hướng theo trục tung, mỗi vectơ dài đúng 1 đơn vị.

Mỗi vectơ $\vec{u}$ đều viết được theo đúng một cách: $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$. Khi đó ta nói $\vec{u}$ có toạ độ $(x; y)$, viết $\vec{u} = (x; y)$. Số $x$ là hoành độ, số $y$ là tung độ.

• Ví dụ 1. Đầu bút của máy vẽ đi sang phải 4, lên trên 3. Vectơ dịch chuyển là $4\vec{i} + 3\vec{j}$, tức là $(4; 3)$.
• Ví dụ 2 (có bẫy). $\vec{w} = -5\vec{j}$. Không thấy $\vec{i}$ đâu, nghĩa là $0\vec{i}$. Vậy $\vec{w} = (0; -5)$, không phải $(-5; 0)$.

Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hoành độ và cùng tung độ.

2. Cộng, trừ, nhân với một số

Với $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x'; y')$:

• $\vec{u} + \vec{v} = (x + x';\ y + y')$
• $\vec{u} - \vec{v} = (x - x';\ y - y')$
• $k\vec{u} = (kx;\ ky)$

Hai vectơ cùng phương khi vectơ này bằng một số nhân với vectơ kia: $x' = kx$ và $y' = ky$.

• Ví dụ 1. $\vec{a} = (3; 1)$, $\vec{b} = (-1; 2)$. Khi đó $\vec{a} + \vec{b} = (2; 3)$, $\vec{a} - \vec{b} = (4; -1)$, $2\vec{a} = (6; 2)$. Bạn thử vẽ trên giấy ô li: nối đuôi $\vec{b}$ vào ngọn $\vec{a}$, mũi tên tổng đúng là "sang phải 2, lên 3".
• Ví dụ 2. $\vec{c} = (6; -4)$ và $\vec{d} = (-9; 6)$: $\dfrac{-9}{6} = \dfrac{6}{-4} = -\dfrac32$ nên $\vec{d} = -\dfrac32\vec{c}$. Hai vectơ cùng phương, và vì số nhân âm nên ngược hướng.

3. Toạ độ của điểm, độ dài, khoảng cách

• Điểm $M(x; y)$ thì $\overrightarrow{OM} = (x; y)$ và $|\overrightarrow{OM}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (định lí Pythagore).

• Vectơ nối hai điểm: $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\ y_B - y_A)$. Nhớ câu: cuối trừ đầu.

• Khoảng cách: $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

• Ví dụ 1. $M(-3; 4)$: $OM = \sqrt{9 + 16} = 5$.

• Ví dụ 2. $A(-2; 1)$, $B(4; 9)$: $\overrightarrow{AB} = (4 - (-2);\ 9 - 1) = (6; 8)$, $AB = \sqrt{36 + 64} = 10$.

4. Trung điểm và trọng tâm

• Trung điểm $K$ của đoạn $AB$: $K\left(\dfrac{x_A + x_B}{2};\ \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$.
• Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$: $G\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3};\ \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$.

Cả hai đều là trung bình cộng của các toạ độ.

• Ví dụ 1. $A(-2; 1)$, $B(4; 9)$: trung điểm $K(1; 5)$.
• Ví dụ 2. Thêm $C(1; -4)$: trọng tâm $G\left(\dfrac{-2 + 4 + 1}{3};\ \dfrac{1 + 9 - 4}{3}\right) = (1; 2)$.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Lấy đầu trừ cuối. $\overrightarrow{AB}$ là toạ độ của B trừ toạ độ của A. Trừ ngược lại thì bạn được $\overrightarrow{BA}$, ngược hướng.
2. Trừ số âm. $4 - (-3) = 7$, không phải 1. Cứ gặp toạ độ âm thì đóng ngoặc lại rồi mới trừ.
3. Thiếu một vectơ đơn vị. $\vec{w} = -5\vec{j}$ có toạ độ $(0; -5)$: thiếu $\vec{i}$ thì hoành độ bằng 0.
4. Nhầm toạ độ điểm với toạ độ vectơ. Chỉ khi vectơ có gốc tại O thì toạ độ của vectơ mới trùng toạ độ điểm ngọn.
5. Hình bình hành sai thứ tự đỉnh. $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ (hoặc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$), không phải $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.
6. Bình phương số âm. $(-3)^2 = 9$. Độ dài không bao giờ âm.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Phép toán vectơ theo toạ độ

Cách làm: nhân từng vectơ với số của nó, rồi cộng trừ hoành với hoành, tung với tung. Hỏi cùng phương thì so sánh hai tỉ số toạ độ.

Bài 1. Cho $\vec{u} = (2; -5)$ và $\vec{v} = (-1; 3)$.
a) Tính toạ độ của $2\vec{u} - 3\vec{v}$.
b) Tìm $m$ để $\vec{w} = (m; 6)$ cùng phương với $\vec{v}$.

Bài 2. Cho $\vec{a} = (-4; 3)$, $\vec{b} = (5; -2)$. Tính toạ độ của $\vec{a} + \vec{b}$ và $3\vec{a} - 2\vec{b}$.

Dạng 2. Thẳng hàng · hình bình hành

Cách làm: đổi điểm thành vectơ (cuối trừ đầu). Ba điểm thẳng hàng khi hai vectơ chung gốc cùng phương. Hình bình hành thì hai vectơ cạnh đối bằng nhau.

Bài 3. Cho $A(-3; -1)$, $B(1; 2)$, $C(3; -2)$.
a) Ba điểm A, B, C có thẳng hàng không?
b) Tìm điểm D để ABCD là hình bình hành.

Bài 4. Cho $E(-4; 2)$, $F(2; -1)$, $H(6; -3)$. Chứng tỏ ba điểm thẳng hàng.

Dạng 3. Bài toán thực tế

Cách làm: gắn hệ trục toạ độ, đổi quãng đường thành vectơ, rồi viết điều kiện của đề thành một đẳng thức vectơ.

Bài 5. Đầu khắc laser ở $A(-5; -2)$, chạy thẳng tới $B(7; 7)$ (đơn vị: cm). Máy khoan một lỗ tại điểm M trên đoạn AB, cách A đúng 1/3 quãng đường. Tính độ dài đường khắc AB và tìm toạ độ điểm M.

Bài 6. Ba cột đèn ở $A(-10; -20)$, $B(50; 10)$, $C(20; 40)$ (đơn vị: mét). Vòi phun nước đặt tại trọng tâm G của tam giác ABC. Tìm toạ độ G và khoảng cách từ G tới cột đèn B.

Chuyện bên lề: khi máy tính bắt đầu vẽ bằng toạ độ

Đầu những năm 1960, muốn "nói chuyện" với máy tính thì phải gõ lệnh hoặc đưa thẻ đục lỗ. Năm 1963, ở Mỹ, nghiên cứu sinh Ivan Sutherland hoàn thành chương trình Sketchpad làm luận án tiến sĩ. Người dùng cầm một cây bút sáng, vẽ thẳng lên màn hình.

Với chiếc máy, hình vẽ không phải là "bức tranh". Mỗi điểm sáng trên màn hình được ghi lại bằng toạ độ của nó. Vì thế, muốn dời một hình, phóng to hay xoay nó, máy chỉ việc tính lại trên các con số, đúng kiểu phép toán vectơ theo toạ độ mà bạn vừa học.

Sketchpad được coi là tổ tiên của các phần mềm thiết kế trên máy tính (CAD). Năm 1988, Ivan Sutherland nhận giải Turing, giải thưởng danh giá nhất của ngành khoa học máy tính.

Ngày nay, bản vẽ một ngôi nhà hay một chiếc ô tô trên máy tính đều được lưu thành toạ độ của các điểm. Máy cắt điều khiển số và máy in 3D cũng nhận lệnh bằng toạ độ: bộ điều khiển đọc từng dòng lệnh để biết động cơ phải đi tới đâu.

Trò chơi ở nhà (5 phút)

Truy tìm kho báu trên giấy ô li. Hai người, mỗi người một tờ giấy ô li có vẽ sẵn hệ trục Oxy.

1. Người A bí mật chấm một điểm "kho báu" K có toạ độ nguyên, rồi đọc cho người B một chuỗi 3 vectơ, ví dụ $(3; 2)$, $(-5; 1)$, $(4; -6)$.
2. Người B xuất phát từ gốc O, đi lần lượt theo ba vectơ và phải nói được toạ độ điểm đến mà không cần vẽ (chỉ cộng toạ độ).
3. Trúng kho báu thì đổi vai. Nâng cấp: người A chỉ cho biết điểm xuất phát và kho báu, người B phải tìm vectơ cần đi và độ dài đường đi thẳng.