Tập hợp

1. Tập hợp và phần tử

Tập hợp là một nhóm các đối tượng xác định. Mỗi đối tượng trong nhóm là một phần tử của tập hợp. Tên tập hợp thường là chữ in hoa.

• Ví dụ 1 (đời sống): H là tập hợp các màu của đèn giao thông: đỏ, vàng, xanh.
  Đỏ là phần tử của H → viết đỏ ∈ H (đọc: đỏ thuộc H). Tím không có trong H → tím ∉ H (đọc: tím không thuộc H).
• Ví dụ 2 (có bẫy): T = {3; 11; 20}. Số 1 có thuộc T không?
  → 1 ∉ T. Số 11 có chữ số 1, nhưng số 1 không phải phần tử của T.

2. Cách 1: liệt kê các phần tử

Viết các phần tử trong dấu ngoặc nhọn { }, cách nhau bởi dấu chấm phẩy ;. Mỗi phần tử chỉ viết một lần, thứ tự tuỳ ý.

• Ví dụ 1 (đời sống): hộp có 7 viên bi: đỏ, xanh, đỏ, vàng, xanh, đỏ, tím.
  Tập hợp các màu: {đỏ; xanh; vàng; tím}, chỉ có 4 phần tử vì màu lặp lại chỉ viết một lần.
• Ví dụ 2 (kí hiệu): {2; 4; 6} và {6; 2; 4} là cùng một tập hợp, vì đổi thứ tự không làm đổi tập hợp.

3. Tập ℕ và ℕ*

• ℕ = {0; 1; 2; 3; …} là tập hợp các số tự nhiên (không bao giờ hết).
• ℕ* = {1; 2; 3; …} là tập hợp các số tự nhiên khác 0.
• Vì vậy 0 ∈ ℕ nhưng 0 ∉ ℕ*.

4. Cách 2: chỉ ra tính chất đặc trưng

Nêu điểm chung mà mọi phần tử đều có, và phần tử nào ngoài tập hợp thì không có. Dấu | đọc là "sao cho".

• Ví dụ 1: Q là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 4:
  Q = {x ∈ ℕ | x < 4} = {0; 1; 2; 3}.
• Ví dụ 2 (có bẫy): {x ∈ ℕ* | x < 4} = {1; 2; 3}. Đổi ℕ thành ℕ* thì số 0 bị loại.

Cách 2 rất tiện khi tập hợp có nhiều phần tử, ví dụ {x ∈ ℕ | 9 < x < 100} là tập hợp các số có hai chữ số (90 phần tử!).

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Viết một phần tử hai lần: các chữ số của 2026 là {2; 0; 6}, không phải {2; 0; 2; 6}.
2. Nhầm chữ số với số: 4 ∉ {14; 40}.
3. Quên số 0: {1; 2; 3; …; 8} phải viết với ℕ*; nếu viết {x ∈ ℕ | x < 9} thì lọt cả số 0.
4. Dùng dấu phẩy thay dấu chấm phẩy: {1,5} dễ bị đọc là số thập phân 1,5. Hãy viết {1; 5}.
5. Đọc sai dấu |: | đọc là "sao cho", không phải "hoặc" hay "chia hết".

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Điền ∈ hoặc ∉

Cách làm: tìm phần tử trong dấu { }: có mặt thì ∈, vắng mặt thì ∉. Cẩn thận: số khác chữ số, và ℕ* không có số 0.

Bài 1. Cho K = {1; 8; 30; 81}. Điền ∈ hoặc ∉:
a) 8 … K b) 3 … K c) 18 … K d) 0 … ℕ e) 81 … ℕ*

Dạng 2. Viết tập hợp bằng cách liệt kê

Cách làm: tìm đủ phần tử (dùng tia số nếu cần), mỗi phần tử viết một lần, cách nhau bởi dấu ;.

Bài 2. Liệt kê các phần tử của:
a) Tập hợp các chữ số của số 5 055.
b) Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 45 và nhỏ hơn 50.
c) Tập hợp các số có hai chữ số mà tổng hai chữ số bằng 4.

Dạng 3. Viết tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng

Cách làm: tìm điểm chung của mọi phần tử → có số 0 thì dùng ℕ, không có thì dùng ℕ* → viết {x ∈ ℕ | tính chất}.

Bài 3. Viết bằng tính chất đặc trưng:
a) {0; 1; 2; …; 15} b) {1; 2; 3; …; 14} c) {51; 52; 53; …; 59}

Bài 4 (thực tế). Một tòa nhà có các tầng đánh số từ 1 đến 20. Thang máy A chỉ dừng ở các tầng chẵn lớn hơn 10. Gọi D là tập hợp các tầng thang máy A dừng.
a) Liệt kê các phần tử của D. b) Tầng 11 có thuộc D không?

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Túi bí mật"

Một người nghĩ ra một tính chất (ví dụ "số chẵn nhỏ hơn 10" hoặc "đồ vật bằng gỗ trong phòng") nhưng giữ bí mật. Người kia đoán từng thứ: "7 có thuộc không?", "cái bàn có thuộc không?". Người giữ bí mật chỉ trả lời ∈ hoặc ∉. Đoán ra tính chất trong ít lượt nhất thì thắng. Cuối lượt, cả hai cùng viết tập hợp đó bằng hai cách.