Tập hợp các số hữu tỉ

Câu đố mở đầu: −1/3 và −1/4, số nào lớn hơn? Nếu bạn định trả lời "−1/3, vì 1/3 > 1/4" thì đọc hết bài này nhé.

1. Số hữu tỉ là gì?

1/5, 2/10 và 0,2 là ba cách viết của cùng một số. Các phân số bằng nhau là những cách viết khác nhau của một số, số đó gọi là số hữu tỉ.

Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số a/b với a, b ∈ ℤ, b ≠ 0.
Tập hợp các số hữu tỉ kí hiệu là ℚ.

Số nguyên, số thập phân, hỗn số đều viết được thành phân số, nên đều là số hữu tỉ: −5 = −5/1; 1,7 = 17/10; 2 1/3 = 7/3.

Ví dụ 1 (thợ lặn). Một thợ lặn ở độ sâu 4,5 m dưới mực nước biển. Lấy mực nước biển là 0, độ cao của anh là −4,5 m.
−4,5 = −45/10 = −9/2, nên −4,5 ∈ ℚ.

Ví dụ 2 (bẫy dấu). −3/4 và 3/(−4) có khác nhau không?
Chuyển dấu trừ ở mẫu lên tử: 3/(−4) = −3/4. Hai cách viết, cùng một số hữu tỉ. Còn (−4)/(−9) = 4/9 là số dương (tử, mẫu cùng âm).

2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số · số đối

Muốn biểu diễn a/b (b > 0): chia đoạn đơn vị thành b phần bằng nhau (mỗi phần là 1/b, gọi là đơn vị mới), rồi từ gốc 0 đếm đủ a phần: số dương sang phải, số âm sang trái.

Ví dụ 1 (trạm xe buýt). Trạm xe buýt là gốc 0, chiều dương là phía đông. Nhà An ở phía đông cách trạm 4/3 km → điểm 4/3 (sang phải 4 phần, mỗi phần 1/3). Nhà Bình ở phía tây cách trạm 4/3 km → điểm −4/3 (sang trái 4 phần).

4/3 và −4/3 là hai số đối nhau: nằm hai phía của gốc và cách gốc bằng nhau. Số đối của a là −a. Số đối của 0 là 0.

Ví dụ 2 (bẫy). Biểu diễn −7/4: chia mỗi đơn vị thành 4 phần, đi sang trái 7 phần. Vì 7/4 > 1 nên điểm nằm giữa −2 và −1, không phải giữa −1 và 0.

3. So sánh hai số hữu tỉ

• Viết hai số thành phân số cùng mẫu dương rồi so sánh tử. (Hai số thập phân thì so sánh trực tiếp.)
• Trên trục số, số nhỏ hơn nằm bên trái. Số âm nằm trước gốc, số dương nằm sau gốc; số 0 không âm, cũng không dương.
• Bắc cầu: nếu a < b và b < c thì a < c. Ví dụ −3/7 < 0 < 1/9 nên −3/7 < 1/9.

Ví dụ 1 (hai thợ lặn). Một người ở −2,7 m, người kia ở −2,65 m. Phần nguyên bằng nhau, 0,7 > 0,65 nên −2,7 < −2,65: người ở −2,7 m sâu hơn.

Ví dụ 2 (câu đố). −1/3 = −4/12 và −1/4 = −3/12. Vì −4 < −3 nên −1/3 < −1/4.
Với hai số âm, số nào xa gốc hơn thì nhỏ hơn.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. So sánh số âm như số dương: "1/3 > 1/4 nên −1/3 > −1/4" — sai. Với số âm, thứ tự đảo ngược.
2. Quên phân số có tử và mẫu cùng âm là số dương: (−4)/(−9) = 4/9 > 0, nên số đối của nó là −4/9 chứ không phải 4/9.
3. Hiểu sai hỗn số âm: −1 2/5 = −(1 + 2/5) = −7/5, không phải −1 + 2/5 = −3/5.
4. Biểu diễn trên trục số mà quên chia lại đơn vị: mẫu là b thì phải chia mỗi đoạn đơn vị thành b phần.
5. Nhầm hỗn số với số thập phân: 2 1/4 = 2,25 chứ không phải 2,4.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Viết số hữu tỉ, tìm số đối

Cách làm: đưa về phân số tối giản có mẫu dương; số đối thì chỉ đổi dấu.

Bài 1. a) Viết −0,35 thành phân số tối giản rồi tìm số đối. b) Tìm số đối của (−4)/(−9).

Bài 2. Phân số nào không bằng −0,4: −2/5; 4/(−10); (−8)/(−20); 6/(−15)?

Dạng 2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Cách làm: mẫu b → chia đoạn đơn vị thành b phần; số dương sang phải, số âm sang trái, đếm số phần bằng tử.

Bài 3. Trên trục số chia mỗi đơn vị thành 5 phần: a) biểu diễn 3/5; b) biểu diễn −1 2/5; c) điểm P bên trái gốc, cách gốc 4 phần: P là số nào, số đối của nó ở đâu?

Dạng 3. So sánh hai số hữu tỉ

Cách làm: một âm một dương → số âm nhỏ hơn; cùng dấu → quy đồng mẫu dương rồi so sánh tử.

Bài 4. So sánh: a) −2/7 và −0,3; b) −7/9 và 1/100.

Dạng 4. Bài toán thực tế

Bài 5. Một quầy nước ghi kết quả 4 tháng (triệu đồng): tháng 1 lãi 2,4; tháng 2 lỗ 4/5; tháng 3 lỗ 0,85; tháng 4 lãi 2 1/4.
a) Viết mỗi kết quả thành số hữu tỉ. b) Tháng nào lỗ nhiều nhất? c) Sắp xếp các tháng theo kết quả từ thấp đến cao.

Làm thêm: in bài tập về nhà (PDF) (9 bài, 4 dạng như trên, lời giải ở các trang sau).

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Ai đứng bên trái?"

1. Dán một đoạn băng dính dài trên sàn làm trục số, đánh dấu 0 ở giữa, −1 và 1 cách 0 bốn viên gạch (mỗi viên gạch = 1/4).
2. Một người đọc một số: −3/4, 1 1/4, −0,5, 2/4, −1 1/2…; người kia phải bước tới đúng chỗ.
3. Hai người cùng đứng trên trục: ai đứng bên trái thì là số nhỏ hơn, và phải nói to vì sao (quy đồng hoặc "xa gốc hơn").
4. Thưởng một điểm cho ai chỉ ra được số đối của số vừa đứng (bước sang phía bên kia gốc, cùng số viên gạch).