Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

Câu đố mở đầu: −1/2 + 1/3 bằng bao nhiêu? Có bạn cộng tử với tử, mẫu với mẫu và ra 0/5 = 0. Nhưng nợ nửa cái bánh mà mới trả được một phần ba cái thì bạn vẫn còn nợ. Kết quả đúng là −1/6.

1. Cộng, trừ số hữu tỉ

Viết hai số thành phân số có cùng một mẫu dương, rồi cộng (hoặc trừ) các tử, giữ nguyên mẫu:

a/m + b/m = (a + b)/m (m > 0)

• Mẫu âm thì chuyển dấu lên tử: 5/(−6) = −5/6.
• Trừ một số là cộng với số đối của nó: a − b = a + (−b).
• Hai số đều là số thập phân thì tính luôn như số thập phân.

Ví dụ 1 (tủ đông). Tủ đông đang ở −18,5 °C, mất điện nên nhiệt độ tăng 4,75 °C:
−18,5 + 4,75 = −13,75 °C. Vẫn còn lạnh.

Ví dụ 2 (câu đố). −1/2 + 1/3 = −3/6 + 2/6 = −1/6 (không phải 0). Chỉ cộng tử, không bao giờ cộng mẫu.

2. Tính chất phép cộng và quy tắc dấu ngoặc

• Giao hoán: a + b = b + a. Kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c). Nhờ vậy được đổi chỗ, nhóm tùy ý.
• Hai số đối nhau cộng lại bằng 0: a + (−a) = 0.
• Trước ngoặc là dấu "−" thì khi bỏ ngoặc phải đổi dấu mọi số hạng trong ngoặc: a − (b − c) = a − b + c.

Ví dụ 1 (sổ chi tiêu, nghìn đồng). Thu 35,5; chi 12,25; thu 14,5; chi 7,75.
35,5 + (−12,25) + 14,5 + (−7,75) = (35,5 + 14,5) + [(−12,25) + (−7,75)] = 50 + (−20) = 30 nghìn.

Ví dụ 2 (bẫy dấu ngoặc). 3/5 − (2/5 − 1/4) = 3/5 − 2/5 + 1/4 = 1/5 + 1/4 = 9/20.
Nếu quên đổi dấu, bạn sẽ ra −1/20, sai.

3. Nhân, chia số hữu tỉ

• Nhân: a/b · c/d = (a · c)/(b · d) (tử nhân tử, mẫu nhân mẫu).
• Số nghịch đảo của a/b là b/a (a, b ≠ 0). Chia cho một số là nhân với số nghịch đảo của nó: a/b : c/d = a/b · d/c.
• Dấu: khác dấu thì kết quả âm, cùng dấu thì dương.

Ví dụ 1 (công thức bánh). Công thức cần 3/4 cốc đường, bạn chỉ làm 2/3 công thức: 3/4 · 2/3 = 6/12 = 1/2 cốc.

Ví dụ 2 (bẫy quên đảo). 5/6 : (−10/9) = 5/6 · (−9/10) = −45/60 = −3/4.
Nếu quên đảo mà nhân luôn với −10/9 thì sai.

4. Tính chất phân phối

a · b + a · c = a · (b + c) (phép nhân cũng có giao hoán, kết hợp).

Ví dụ 1. Táo và lê cùng giá 40 nghìn/kg, mua 2,5 kg táo và 1,5 kg lê: 40 · 2,5 + 40 · 1,5 = 40 · 4 = 160 nghìn.

Ví dụ 2. 5/8 · 11/3 − 5/8 · 2/3 = 5/8 · (11/3 − 2/3) = 5/8 · 3 = 15/8.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Cộng cả mẫu: 1/2 + 1/3 ≠ 2/5. Phải quy đồng rồi chỉ cộng tử.
2. Để mẫu âm rồi quy đồng nhầm dấu: luôn chuyển dấu lên tử trước.
3. Trừ số âm mà quên đổi thành cộng: a − (−b) = a + b.
4. Bỏ ngoặc có dấu "−" mà chỉ đổi dấu số hạng đầu, hoặc không đổi dấu số nào.
5. Chia mà quên đảo số chia, hoặc đảo nhầm số bị chia.
6. Hỗn số âm: −1 1/5 = −(1 + 1/5) = −6/5, không phải −1 + 1/5.
7. Làm tròn sai trong bài thực tế: 5,4 cốc đầy chỉ là 5 cốc đầy, không làm tròn lên 6.

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Tính

Cách làm: đổi về phân số mẫu dương → trừ thì cộng số đối, chia thì nhân nghịch đảo → tính, rút gọn.

a) 7/(−10) + 4/15 b) −0,75 − (−2/3) c) −1 1/5 : (−9/10)

Thêm: d) 3/(−8) − 1/6 e) −2,5 · 4/15

Dạng 2: Tính hợp lí

Cách làm: nhóm các số đối nhau, các số cùng mẫu; bỏ ngoặc có dấu "−" thì đổi dấu; có thừa số chung thì đặt ra ngoài.

a) 4/9 + (−3/7) + 5/9 + 3/7 b) 7/12 − (5/8 + 7/12) c) 3/4 · 1,8 − 3/4 · 5,8

Dạng 3: Bài toán thực tế

Bình nước có 1,5 lít. Rót ra 3 cốc, mỗi cốc 1/4 lít, rồi đổ thêm vào bình 0,6 lít.
a) Trong bình còn bao nhiêu lít? b) Nước còn lại rót được nhiều nhất bao nhiêu cốc đầy?

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Ví âm dương"

Hai người, mỗi người một tờ giấy ghi số tiền ban đầu là 0. Lần lượt rút một thẻ (tự viết trước 10 thẻ như "+2,5", "−3/4", "·(−2)", ": 1/2", "−(−1,5)"…) và áp vào số của mình. Người kia kiểm tra phép tính; tính đúng được 1 điểm. Sau 6 lượt, ai có số lớn hơn thì được thêm 2 điểm. Nhớ: nhân với số âm là đổi dấu, chia cho 1/2 là nhân 2.