Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Thả một quả bóng từ độ cao 1 m, mỗi lần nảy lên chỉ cao bằng $\frac{3}{5}$ lần trước. Sau 3 lần nảy, bóng cao
$\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}$ mét. Viết gọn hơn: $\left(\frac{3}{5}\right)^3$. Bài này dạy bạn cách viết và tính những tích như vậy.

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Với $x$ là số hữu tỉ, $n$ là số tự nhiên lớn hơn 1:

$x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{n \text{ thừa số}}$

• $x$ là cơ số, $n$ là số mũ. Đọc: "x mũ n" hoặc "x lũy thừa n".
• Phân số: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$.
• Quy ước: $x^1 = x$; $x^0 = 1$ (với $x \neq 0$).

Ví dụ 1 (quả bóng nảy). $\left(\dfrac{3}{5}\right)^3 = \dfrac{3^3}{5^3} = \dfrac{27}{125}$ m, khoảng 22 cm.

Ví dụ 2. $(-1{,}2)^2 = (-1{,}2)\cdot(-1{,}2) = 1{,}44$ (hai số âm nhân nhau ra số dương). Còn $(-1{,}2)^0 = 1$.

2. Dấu của lũy thừa · lũy thừa của tích, thương

Cơ số âm: số mũ chẵn → kết quả dương, số mũ lẻ → kết quả âm.

Ví dụ 1 (quay đầu). Nhân với $-1$ giống như quay đầu. Quay 2 lần: nhìn lại hướng cũ, $(-1)^2 = 1$. Quay 3 lần: nhìn ngược lại, $(-1)^3 = -1$.

Ví dụ 2 (bẫy dấu ngoặc). $\left(-\dfrac{3}{7}\right)^2 = \dfrac{9}{49}$, nhưng $-\left(\dfrac{3}{7}\right)^2 = -\dfrac{9}{49}$: ở biểu thức thứ hai chỉ $\frac{3}{7}$ được bình phương, dấu trừ đứng ngoài.

Chú ý. $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$ và $\left(\dfrac{x}{y}\right)^n = \dfrac{x^n}{y^n}$ ($y \neq 0$). Dùng để tính nhanh:
$2{,}5^2 \cdot 4^2 = (2{,}5 \cdot 4)^2 = 10^2 = 100$.

3. Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số

$x^m \cdot x^n = x^{m+n} \qquad x^m : x^n = x^{m-n}\ \ (x \neq 0,\ m \geq n)$

Ví dụ 1 (thu nhỏ ảnh). Mỗi lần bấm nút, ảnh còn rộng một nửa. Bấm 3 lần rồi thêm 2 lần: chiều rộng còn
$\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}$ so với ban đầu.

Ví dụ 2 (bẫy chia số mũ). $(-0{,}4)^6 : (-0{,}4)^3 = (-0{,}4)^{6-3} = (-0{,}4)^3 = -0{,}064$, không phải $(-0{,}4)^2$ (đừng lấy $6 : 3$).

4. Lũy thừa của lũy thừa

$\left(x^m\right)^n = x^{m \cdot n}$

Ví dụ 1 (ô vuông nhỏ). Ô vuông cạnh 1 cm $= 0{,}01$ m $= 0{,}1^2$ m. Diện tích: $\left(0{,}1^2\right)^2 = 0{,}1^4 = 0{,}0001\ \text{m}^2$.

Ví dụ 2 (bẫy cộng số mũ). $\left[\left(-\frac{2}{5}\right)^2\right]^3 = \left(-\frac{2}{5}\right)^{2\cdot 3} = \left(-\frac{2}{5}\right)^6$, không phải mũ 5.
Cộng số mũ chỉ khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số: $\left(-\frac{2}{5}\right)^2 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)^3 = \left(-\frac{2}{5}\right)^5$.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Nhân cơ số với số mũ: $\left(\frac{1}{5}\right)^3 \neq \frac{1}{5} \cdot 3$. Lũy thừa là nhân cơ số với chính nó.
2. Quên dấu ngoặc: $\left(-\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{9}{49}$ khác $-\left(\frac{3}{7}\right)^2 = -\frac{9}{49}$.
3. Hỗn số: $\left(-1\frac{1}{2}\right)^2 \neq 1\frac{1}{4}$. Đổi ra phân số trước: $\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.
4. Chia thì chia số mũ: $1{,}2^9 : 1{,}2^3 = 1{,}2^6$, không phải $1{,}2^3$.
5. Lũy thừa của lũy thừa mà cộng số mũ: $(x^2)^3 = x^6$, không phải $x^5$.
6. Nhân/chia khác cơ số mà vẫn cộng/trừ số mũ: chỉ làm được khi cùng cơ số; khác cơ số nhưng cùng số mũ thì dùng lũy thừa của tích/thương.

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Tính giá trị lũy thừa

Cách làm: đổi số thập phân, hỗn số thành phân số nếu cần → xét dấu → lũy thừa tử và mẫu.

Bài 1. Tính: a) $\left(-\frac{3}{4}\right)^3$ · b) $\left(-1\frac{1}{2}\right)^2$ · c) $(-0{,}75)^4 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^4$ · d) $\left(-\frac{5}{8}\right)^0 - \left(\frac{1}{3}\right)^2$

Dạng 2: Viết dưới dạng một lũy thừa

Cách làm: đưa về cùng cơ số; nhân → cộng số mũ, chia → trừ số mũ, lũy thừa của lũy thừa → nhân số mũ.

Bài 2. a) $\left(-\frac{5}{6}\right)^4 \cdot \left(-\frac{5}{6}\right)^3$ · b) $1{,}2^9 : 1{,}2^3$ · c) $\left(\frac{4}{25}\right)^3$ theo cơ số $\frac{2}{5}$ · d) $0{,}3^5 \cdot 0{,}3^4 : \left(0{,}3^2\right)^3$

Dạng 3: Bài toán thực tế

Cách làm: mỗi lần đại lượng được nhân với số nào → n lần là lũy thừa mũ n → tính.

Bài 3. Bể cá có 500 mg chất bẩn; mỗi lần lọc, chất bẩn còn $\frac{1}{5}$ so với trước.
a) Sau 3 lần lọc còn bằng mấy phần ban đầu? b) Còn bao nhiêu mg? c) Cần ít nhất mấy lần lọc để còn dưới 1 mg?

Bài 4. Một cửa hàng giảm giá liên tiếp: mỗi tuần giá còn $\frac{3}{5}$ giá tuần trước. Giá ban đầu 250 nghìn đồng. Sau 3 tuần giá là bao nhiêu?

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Chẵn hay lẻ?"

Một người đọc một lũy thừa có cơ số âm, ví dụ "âm ba phần năm, mũ bảy". Người kia giơ ngón cái lên nếu kết quả dương,
ngón cái xuống nếu âm, trong vòng 3 giây. Đổi vai sau 5 câu. Mẹo thêm độ khó: đọc lẫn cả dạng không ngoặc như
"âm của ba phần năm bình phương" (luôn âm!).