Thứ tự thực hiện các phép tính. Quy tắc chuyển vế

Tính $6 + 4 \cdot 2{,}5$: bạn An bấm lần lượt từ trái sang phải được $25$, bạn Bình được $16$. Ai đúng?
Còn nếu "một số cộng 15 bằng 42", làm sao tìm nhanh số đó? Bài này trả lời cả hai câu.

1. Thứ tự thực hiện phép tính (không có ngoặc)

Với số hữu tỉ, thứ tự y như với số tự nhiên:

$\text{lũy thừa} \;\rightarrow\; \text{nhân, chia} \;\rightarrow\; \text{cộng, trừ}$

Nếu biểu thức chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia thì làm từ trái sang phải.

Ví dụ 1 (khu vui chơi). Vé vào cổng 6 nghìn, thêm 4 lượt chơi, mỗi lượt 2,5 nghìn:
$6 + 4 \cdot 2{,}5 = 6 + 10 = 16$ nghìn. Bạn Bình đúng. Bạn An cộng trước, $(6 + 4) \cdot 2{,}5 = 25$, tức là tính như thể có 10 lượt chơi.

Ví dụ 2 (có bẫy). $5 - 2^3 : 4 \cdot 0{,}5 = 5 - 8 : 4 \cdot 0{,}5 = 5 - 2 \cdot 0{,}5 = 5 - 1 = 4$.
Nhân và chia đứng liền nhau thì đi từ trái sang phải; nếu nhân $4 \cdot 0{,}5$ trước sẽ ra $5 - 8 : 2 = 1$, sai.

2. Biểu thức có dấu ngoặc

Làm trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau: $(\;) \rightarrow [\;] \rightarrow \{\;\}$. Trong mỗi ngoặc vẫn theo thứ tự ở mục 1.

Ví dụ 1 (đi chợ). Mẹ mua 2 kg táo giá 45 nghìn/kg và cam hết 30 nghìn, đưa 200 nghìn. Tiền trả lại:
$200 - (2 \cdot 45 + 30) = 200 - (90 + 30) = 200 - 120 = 80$ nghìn.

Ví dụ 2 (ngoặc lồng nhau).
$\left[\left(\frac{1}{2} - \frac{3}{4}\right) \cdot 8 + 5\right] : 3 = \left[-\frac{1}{4} \cdot 8 + 5\right] : 3 = [-2 + 5] : 3 = 3 : 3 = 1$.

3. Đẳng thức · quy tắc chuyển vế

Viết $A = B$ ta được một đẳng thức: $A$ là vế trái, $B$ là vế phải.
Nếu $A = B$ thì $B = A$, và $A + C = B + C$ (cộng cùng một số vào hai vế, hai vế vẫn bằng nhau).

Quy tắc chuyển vế: chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia thì phải đổi dấu của nó: "+" thành "−", "−" thành "+".

$a + b = c \;\Rightarrow\; a = c - b \qquad\qquad a - b = c \;\Rightarrow\; a = c + b$

Ví dụ 1 (heo đất). Heo đất của Nam có $x$ nghìn; bỏ thêm 15 nghìn thì có 42 nghìn: $x + 15 = 42$.
Cộng $(-15)$ vào hai vế: $x + 15 + (-15) = 42 + (-15)$, tức $x = 42 - 15 = 27$ nghìn.
Để ý: số hạng $+15$ đã "nhảy" sang vế phải và thành $-15$. Đó chính là chuyển vế.

Ví dụ 2 (bẫy quên đổi dấu). $x - \frac{2}{3} = -\frac{1}{6}$.
Viết $x = -\frac{1}{6} - \frac{2}{3}$ là sai (quên đổi dấu). Đúng: $x = -\frac{1}{6} + \frac{2}{3} = -\frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

4. Hai chú ý khi chuyển vế

Chú ý 1: chỉ số hạng mới chuyển vế đổi dấu. Số đang nhân với $x$ là thừa số, muốn bỏ nó thì chia.

Ví dụ 1 (cây kem). 2 cây kem giá 6 nghìn, mỗi cây $x$ nghìn: $2x = 6$.
Viết $x = 6 - 2$ là sai. Vì $2x = 2 \cdot x$ nên $x = 6 : 2 = 3$ nghìn.

Chú ý 2: $x$ đứng sau dấu trừ. Chuyển $-x$ sang vế kia thành $+x$ cho khỏi nhầm dấu.

Ví dụ 2. $1{,}5 - x = 0{,}4$. Chuyển $-x$ sang phải thành $+x$, chuyển $0{,}4$ sang trái thành $-0{,}4$:
$1{,}5 - 0{,}4 = x$, vậy $x = 1{,}1$.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Tính trái sang phải, bỏ qua ưu tiên: $6 + 4 \cdot 2{,}5 \neq 25$. Nhân chia làm trước cộng trừ.
2. Nhân trước chia khi hai phép đứng liền: $\frac{3}{4} : \frac{3}{2} \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$, không phải $\frac{3}{4} : 6 = \frac{1}{8}$.
3. Chuyển vế quên đổi dấu: $x - 1{,}25 = -0{,}5$ cho $x = -0{,}5 + 1{,}25 = 0{,}75$, không phải $-1{,}75$.
4. Chuyển thừa số như số hạng: $2x = 6$ thì $x = 6 : 2$, không phải $x = 6 - 2$.
5. $x$ đứng sau dấu trừ mà vội kết luận: $\frac{2}{3} - x = \frac{5}{6}$ không phải $x = \frac{5}{6} - \frac{2}{3}$; đúng là $x = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} = -\frac{1}{6}$.
6. Nhầm "đẳng thức" với "biểu thức": đẳng thức phải có dấu "=" và hai vế bằng nhau thật sự; $2 + 3 = 6$ là một đẳng thức sai.

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức

Cách làm: ngoặc $(\;) \rightarrow [\;] \rightarrow \{\;\}$; trong mỗi phần: lũy thừa → nhân, chia → cộng, trừ; cùng mức thì từ trái sang phải.

Bài 1. Tính: a) $4{,}5 - 1{,}5 \cdot 2^2$ · b) $\frac{3}{4} : \frac{3}{2} \cdot 4$ · c) $10 - \left[(0{,}5 - 2)^2 \cdot 4 - 1\right]$ · d) $\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 : \frac{1}{4}$

Dạng 2: Tìm x bằng quy tắc chuyển vế

Cách làm: giữ $x$ ở một vế → chuyển các số hạng khác sang vế kia và đổi dấu → tính, rút gọn.

Bài 2. Tìm $x$: a) $x + \frac{3}{5} = \frac{1}{10}$ · b) $x - 1{,}25 = -0{,}5$ · c) $\frac{2}{3} - x = \frac{5}{6}$ · d) $-0{,}6 + x = 1{,}4$

Dạng 3: Tìm x qua hai bước · bài toán thực tế

Cách làm: tính trong ngoặc trước → chuyển vế các số hạng → số đang nhân với $x$ thì chia.

Bài 3. Tìm $x$: a) $x - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \frac{5}{6}$ · b) $4x + 1{,}2 = 4$ · c) $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Bài 4. Chai nước 1,5 lít. Rót đầy 3 cốc như nhau thì chai còn 0,3 lít. Mỗi cốc chứa bao nhiêu lít?

Bài 5. Một tấm vải dài 12 m, may 5 bộ quần áo như nhau thì còn thừa 1,5 m. Mỗi bộ dùng bao nhiêu mét vải?

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Nhảy qua dấu bằng"

Kẻ một vạch trên sàn làm dấu "=". Mỗi người cầm vài tấm giấy ghi số hạng có dấu, ví dụ "+3", "−1,5", "+½".
Một người đọc một đẳng thức (ví dụ "x cộng ba bằng mười"), người kia cầm tấm "+3" nhảy qua vạch và phải lật
tấm giấy, đọc to số hạng mới ("trừ ba!") rồi nói đáp số $x$. Ai quên đổi dấu thì đổi vai.
Nâng độ khó: thêm câu có thừa số như "hai x bằng tám": lúc này không được nhảy, phải hô "chia!".