Tới nội dung

Toán lớp 7 · Bài 5 · 8 phút

Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn

Tải bài tập về nhà (PDF, có lời giải)Xem trên YouTube

Mục lục video

Rót đều 2 lít nước chanh vào 3 cốc, mỗi cốc được $2 : 3$ lít. Bấm máy tính: $0{,}6666\ldots$ , số 6 cứ hiện mãi không hết.
Còn 3 lít rót vào 4 cốc thì mỗi cốc đúng $0{,}75$ lít, phép chia dừng lại. Vì sao lại khác nhau? Bài này giải thích điều đó.

1. Số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn

Muốn viết phân số $\dfrac{a}{b}$ dưới dạng số thập phân, ta đặt tính chia $a$ cho $b$ .

Nếu tới lúc nào đó số dư bằng 0, phép chia dừng lại: ta được số thập phân hữu hạn.
Nếu một số dư lặp lại, thì từ đó các chữ số của thương cũng lặp lại mãi: ta được số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ 1 (rót nước). $3 : 4$ : số dư lần lượt là 3, 2, 0. Phép chia dừng, $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ là số thập phân hữu hạn.

Ví dụ 2 (số dư lặp). $5 : 12$ : số dư lần lượt là 5, 2, 8, 8, 8… Số dư 8 lặp lại nên chữ số 6 của thương lặp mãi:
$\dfrac{5}{12} = 0{,}41666\ldots$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

2. Chu kì và cách viết gọn

Phần chữ số lặp đi lặp lại gọi là chu kì. Viết gọn bằng cách ghi chu kì một lần, đặt trong ngoặc tròn.

Ví dụ 1. $0{,}666\ldots = 0{,}(6)$ , chu kì là 6. Đọc: "không phẩy, sáu trong ngoặc".

Ví dụ 2 (chu kì nhiều chữ số). $\dfrac{4}{11} = 0{,}363636\ldots = 0{,}(36)$ , chu kì là 36. Số âm cũng vậy: $-\dfrac{4}{11} = -0{,}(36)$ .

Bẫy. $0{,}41666\ldots$ chỉ có chữ số 6 lặp, còn 4 và 1 không lặp. Viết đúng: $0{,}41(6)$ . Viết $0{,}4(16)$ là sai,
vì $0{,}4(16) = 0{,}416161\ldots$ , một số khác hẳn.

3. Khi nào phép chia dừng lại?

Chia cho 12 thì số dư chỉ có thể là $0, 1, 2, \ldots, 11$ , tức 12 khả năng. Chia mãi thì hoặc gặp dư 0 (dừng),
hoặc sớm muộn phải gặp lại một số dư cũ (lặp). Vì thế:

Mọi phân số (số hữu tỉ) đều viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

Mẹo đoán trước: rút gọn phân số, cho mẫu dương, rồi phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố.

Mẫu chỉ có thừa số 2 và 5 → hữu hạn.
Mẫu có thừa số nguyên tố khác 2 và 5 → vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ 1. $\dfrac{7}{20}$ : $20 = 2^2 \cdot 5$ → hữu hạn, $\dfrac{7}{20} = 0{,}35$ .

Ví dụ 2. $\dfrac{7}{15}$ : $15 = 3 \cdot 5$ có thừa số 3 → vô hạn tuần hoàn, $\dfrac{7}{15} = 0{,}4(6)$ .

Bẫy. $\dfrac{9}{15}$ có mẫu chứa 3, nhưng rút gọn $\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$ lại là số hữu hạn. Luôn rút gọn trước.

4. Làm tròn theo độ chính xác cho trước

Số vô hạn tuần hoàn làm tròn giống hệt số thập phân thường: nhìn chữ số ngay sau hàng làm tròn, nhỏ hơn 5 thì bỏ, từ 5 trở lên thì cộng 1 vào hàng làm tròn. Kí hiệu $\approx$ đọc là "xấp xỉ".

Độ chính xác. Làm tròn đến một hàng thì kết quả lệch số thật không quá một nửa đơn vị của hàng đó. Con số này gọi là độ chính xác.

Hàng làm tròn	nghìn	trăm	chục	đơn vị	phần mười	phần trăm	phần nghìn
Độ chính xác	500	50	5	0,5	0,05	0,005	0,0005

Đề cho độ chính xác → tra bảng tìm hàng → làm tròn đến hàng đó.

Ví dụ 1 (cốc nước chanh). $0{,}(6)$ lít làm tròn đến hàng phần trăm: $0{,}66|6\ldots$ , chữ số sau là 6 ≥ 5 nên $0{,}(6) \approx 0{,}67$ lít, độ chính xác $0{,}005$ .

Ví dụ 2 (khán giả). Sân vận động có 23 748 khán giả. Làm tròn với độ chính xác 50 → hàng trăm: $23\,7|48$ , chữ số sau là 4 < 5, nên $23\,748 \approx 23\,700$ .

Bảng kí hiệu

Viết	Đọc / nghĩa
$0{,}(6)$	không phẩy, sáu trong ngoặc = $0{,}666\ldots$
$0{,}41(6)$	không phẩy bốn mươi mốt, sáu trong ngoặc = $0{,}41666\ldots$
$(36)$	chu kì 36
$\approx$	xấp xỉ (kết quả làm tròn)

Lỗi hay gặp

Đưa cả phần không lặp vào ngoặc: $0{,}1666\ldots$ viết thành $0{,}(16)$ . Đúng: $0{,}1(6)$ . Mẹo: viết lại số theo cách gọn rồi khai triển ra, xem có khớp số ban đầu không.
Chu kì ghi thiếu hoặc thừa: $0{,}363636\ldots$ viết $0{,}(3)$ hay $0{,}(363)$ . Chu kì là khối nhỏ nhất lặp lại: 36.
Nghĩ phân số nào cũng ra số thập phân hữu hạn, rồi dừng phép chia giữa chừng. Nhìn mẫu (sau khi rút gọn) để biết trước.
Quên rút gọn trước khi xét mẫu, như $\dfrac{9}{15}$ .
Độ chính xác 0,05 mà làm tròn đến hàng phần trăm. Tra bảng: 0,05 ứng với hàng phần mười.

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Viết phân số dưới dạng số thập phân

Cách làm: rút gọn → đặt tính chia tử cho mẫu → dư 0 thì dừng (hữu hạn); gặp lại số dư cũ thì tìm chu kì, viết gọn.

Bài 1. Viết dưới dạng số thập phân: a) $\dfrac{9}{8}$ b) $-\dfrac{5}{6}$ c) $\dfrac{13}{37}$

Đáp án

a) Số dư 1, 2, 4, 0 → dừng: $\dfrac{9}{8} = 1{,}125$ (hữu hạn).
b) $5 : 6$ : số dư 5, 2, 2… → $0{,}8333\ldots$ , nên $-\dfrac{5}{6} = -0{,}8(3)$ (không phải $-0{,}(83)$ ).
c) $13 : 37$ : số dư 13, 19, 5, rồi lại 13 → chu kì 3 chữ số: $\dfrac{13}{37} = 0{,}(351)$ .

Bài 2. Không đặt tính, cho biết phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn: $\dfrac{3}{16}$ ; $\dfrac{5}{24}$ ; $\dfrac{14}{35}$ .

Đáp án

$16 = 2^4$ → hữu hạn ( $0{,}1875$ ). $24 = 2^3 \cdot 3$ → vô hạn tuần hoàn ( $0{,}208(3)$ ). $\dfrac{14}{35} = \dfrac{2}{5}$ → hữu hạn ( $0{,}4$ ).

Dạng 2: Nhận biết, tìm chu kì, viết gọn

Bài 3. a) Xếp các số sau vào hai nhóm hữu hạn / vô hạn tuần hoàn: $2{,}35$ ; $0{,}(7)$ ; $-1{,}2(05)$ ; $6{,}125$ .
b) Viết gọn: $3{,}272727\ldots$ và $-0{,}58383\ldots$
c) Tìm chữ số thứ 10 sau dấu phẩy của $0{,}(376)$ .

Đáp án

a) Hữu hạn: $2{,}35$ ; $6{,}125$ . Vô hạn tuần hoàn: $0{,}(7)$ ; $-1{,}2(05)$ .
b) $3{,}(27)$ ; $-0{,}5(83)$ (chữ số 5 không lặp).
c) Chu kì 3 chữ số; $10 = 3 \cdot 3 + 1$ nên chữ số thứ 10 là chữ số đầu của chu kì: 3.

Dạng 3: Làm tròn

Bài 4. a) Làm tròn $7{,}(26)$ đến hàng phần trăm.
b) Làm tròn $4{,}1(8)$ với độ chính xác $0{,}05$ .
c) Ba bạn góp chung rồi chia đều 100 000 đồng tiền thưởng. Mỗi bạn được bao nhiêu? Làm tròn với độ chính xác 500.

Đáp án

a) $7{,}26|26\ldots$ , chữ số sau là 2 < 5: $7{,}(26) \approx 7{,}26$ .
b) Độ chính xác $0{,}05$ → hàng phần mười. $4{,}1|888\ldots$ , chữ số sau là 8 ≥ 5: $\approx 4{,}2$ (không phải $4{,}19$ ).
c) $100\,000 : 3 = 33\,333{,}(3)$ đồng. Độ chính xác 500 → hàng nghìn: $33\,|333{,}3\ldots \approx 33\,000$ đồng.

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Đoán trước khi chia"

Mỗi người viết một phân số có mẫu từ 2 tới 20 lên giấy. Người kia phải đoán trước (chỉ nhìn mẫu sau khi rút gọn) là "dừng" hay "lặp", rồi cả hai cùng đặt tính (hoặc bấm máy tính) để kiểm tra. Đoán đúng được 1 điểm, tìm đúng chu kì được thêm 1 điểm. Thử những mẫu như 7, 13, 25, 40 để thấy chu kì có thể dài tới mức nào.