Số vô tỉ. Căn bậc hai số học

Bạn có hai tấm thảm hình vuông, mỗi tấm rộng $1$ m². Cắt mỗi tấm theo một đường chéo được $4$ mảnh tam giác vuông;
xếp $4$ góc vuông chụm vào giữa, ta được một tấm thảm vuông lớn có diện tích $2$ m². Cạnh tấm thảm lớn dài bao nhiêu?
Không có phân số nào trả lời được câu hỏi này — ta cần một loại số mới.

1. Số vô tỉ

Gọi cạnh là $x$ (m) thì $x^2 = 2$. Thử dần:

Thử mãi vẫn không trúng: không có số hữu tỉ nào bình phương bằng đúng $2$. Các chữ số của $x$ chạy mãi
$x = 1{,}41421356237\ldots$, không dừng, cũng không lặp lại theo chu kì nào.

• Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
• Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là $\mathbb{I}$.

Ví dụ 1 (tấm thảm). Cạnh tấm thảm $2$ m² là một số vô tỉ, $x = 1{,}41421356\ldots$

Ví dụ 2 (so sánh hai số).

• $0{,}121212\ldots$ lặp mãi cụm "12": số thập phân vô hạn tuần hoàn, nên là số hữu tỉ ($= \dfrac{4}{33}$).
• $0{,}123456789101112\ldots$ (viết liền các số tự nhiên $1, 2, 3, \ldots$): không có cụm nào lặp mãi, nên là số vô tỉ.

Làm tròn. Số vô tỉ làm tròn như số thập phân thường: cạnh tấm thảm $x \approx 1{,}41$ m (làm tròn đến hàng phần trăm).

2. Căn bậc hai số học

Tìm cạnh hình vuông biết diện tích $a$ là tìm số $x \geq 0$ sao cho $x^2 = a$.

$\sqrt{a} = x \quad\Longleftrightarrow\quad x \geq 0 \ \text{ và } \ x^2 = a \qquad (a \geq 0)$

$\sqrt{a}$ đọc là "căn bậc hai số học của $a$". Cạnh tấm thảm lớn là $\sqrt{2}$ m.

Ví dụ 1 (bàn cờ vua). Bàn cờ hình vuông có $64$ ô bằng nhau. Mỗi cạnh có $8$ ô vì $8^2 = 64$: $\sqrt{64} = 8$.

Ví dụ 2 (thập phân, phân số, số 0). $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ vì $0{,}5^2 = 0{,}25$; $\ \sqrt{\dfrac{4}{9}} = \dfrac{2}{3}$; $\ \sqrt{0} = 0$.

Chú ý.

1. $3^2 = 9$ và $(-3)^2 = 9$, nhưng căn bậc hai số học chỉ lấy số không âm: $\sqrt{9} = 3$ (không phải $\pm 3$).
   Tổng quát $\sqrt{a^2} = a$ với $a \geq 0$, chẳng hạn $\sqrt{7^2} = 7$.
2. Bình phương của mọi số đều không âm, nên số âm không có căn bậc hai số học: $\sqrt{-9}$ không có nghĩa.

3. Tính căn bậc hai bằng máy tính cầm tay

Bấm phím $\sqrt{\ }$, nhập số, bấm $=$.

Màn hình chỉ hiện được một số chữ số, nên kết quả vô hạn đã được máy làm tròn.
Ghi nhớ: căn bậc hai số học của một số tự nhiên không chính phương luôn là số vô tỉ ($\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \ldots$).

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

• Viết $\sqrt{9} = \pm 3$. Căn bậc hai số học luôn không âm: $\sqrt{9} = 3$.
• Nghĩ căn của số âm có giá trị. $\sqrt{-25}$ không có nghĩa. Nhưng $-\sqrt{25} = -5$ thì đúng (dấu trừ ở ngoài dấu căn).
• Tách căn của một tổng. $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$, còn $\sqrt{36} + \sqrt{64} = 14$. Vậy $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• Đếm sai chữ số thập phân. $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ chứ không phải $0{,}07$ (vì $0{,}07^2 = 0{,}0049$). Luôn thử lại bằng cách bình phương.
• Làm tròn sai hàng. Muốn làm tròn đến hàng phần trăm thì nhìn chữ số hàng phần nghìn.
• Khó hình dung "vô hạn không tuần hoàn": hãy so một số có cụm lặp ($0{,}121212\ldots$) với một số "viết liền các số tự nhiên" ($0{,}123456789101112\ldots$).

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Tính căn bậc hai số học

Cách làm: tìm số không âm mà bình phương lên bằng số dưới dấu căn; thử lại bằng cách bình phương.

Bài 1. Tính: a) $\sqrt{169}$   b) $\sqrt{0{,}49}$   c) $\sqrt{\dfrac{36}{25}}$   d) $\sqrt{1{,}44}$   e) $\sqrt{15^2}$

Dạng 2. Đúng hay sai?

Cách làm: tính riêng từng vế rồi so sánh.

Bài 2. a) $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{36} + \sqrt{64}$   b) $-\sqrt{25} = -5$   c) $\sqrt{-25} = -5$   d) $\sqrt{4} = \pm 2$

Dạng 3. Dùng máy tính cầm tay và làm tròn

Cách làm: bấm $\sqrt{\ }$, nhập số, bấm $=$; nhìn chữ số ngay sau hàng cần giữ ($\geq 5$ thì tăng $1$, $< 5$ thì giữ nguyên).

Bài 3. a) $\sqrt{7}$ (làm tròn đến hàng phần trăm)   b) $\sqrt{2025}$   c) Trong $\sqrt{7}$, $\sqrt{2025}$, $\sqrt{5{,}29}$, số nào là số vô tỉ?

Dạng 4. Bài toán thực tế

Cách làm: cạnh hình vuông $= \sqrt{\text{diện tích}}$, rồi tính tiếp điều đề hỏi.

Bài 4. Một mảnh vườn hình vuông có diện tích $225$ m².
a) Cạnh vườn dài bao nhiêu mét?
b) Rào lưới quanh vườn, chừa một lối vào rộng $1$ m. Cần bao nhiêu mét lưới?
c) Nếu vườn rộng $200$ m² thì cạnh dài bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần mười)?

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Đoán cạnh"

Chuẩn bị giấy kẻ ô vuông và máy tính cầm tay.

1. Một người nói một diện tích (ví dụ $50$ ô, $81$ ô, $30$ ô). Người kia đoán cạnh hình vuông có diện tích đó, lấy hai số nguyên kẹp giữa
   (ví dụ $50$ ô: "giữa $7$ và $8$" vì $49 < 50 < 64$).
2. Bấm máy $\sqrt{\ }$ để kiểm tra. Đoán đúng khoảng được $1$ điểm; nếu diện tích là số chính phương mà đoán đúng hẳn thì được $2$ điểm.
3. Sau mỗi lượt, cả hai cùng trả lời: căn đó là số hữu tỉ hay số vô tỉ?