Tập hợp các số thực

Một viên gạch vuông cạnh 1 dm. Đường chéo của nó dài bao nhiêu? Và có "chỗ" nào trên trục số cho độ dài ấy không?
Nhiều bạn nghĩ số không viết được thành phân số thì không nằm được trên trục số. Bài này cho bạn thấy: có chỗ, và rất chính xác.

Bài có 4 ý: số thực là gì · trục số thực · so sánh số thực · giá trị tuyệt đối.

1. Số thực là gì?

• Số hữu tỉ viết được thành số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn: $\frac{2}{3} = 0{,}666\ldots = 0{,}(6)$.
• Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn: $\sqrt{3} = 1{,}7320508\ldots$, $\pi = 3{,}14159\ldots$
• Số hữu tỉ và số vô tỉ gọi chung là số thực. Tập hợp các số thực kí hiệu là $\mathbb{R}$.

Các tập số lồng vào nhau như búp bê Nga:

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Phần của $\mathbb{R}$ nằm ngoài $\mathbb{Q}$ là các số vô tỉ (tập $\mathbb{I}$).

Ví dụ 1 (cặp sách). 5 quyển vở: $5 \in \mathbb{N}$. Ngăn đá tủ lạnh $-6\,^\circ\mathrm{C}$: $-6 \in \mathbb{Z}$. Chai nước 1,5 lít: $1{,}5 \in \mathbb{Q}$. Số $\pi$ là số vô tỉ. Cả bốn số đều thuộc $\mathbb{R}$.

Ví dụ 2 (bẫy dấu căn). $\sqrt{49}$ có phải số vô tỉ? Không: $\sqrt{49} = 7 \in \mathbb{N}$. Có dấu căn chưa chắc là số vô tỉ. Còn $\sqrt{5} = 2{,}2360679\ldots$ không ra số đẹp, nên $\sqrt{5} \notin \mathbb{Q}$ nhưng $\sqrt{5} \in \mathbb{R}$.

2. Trục số thực

Tìm đường chéo viên gạch. Ghép 4 viên gạch cạnh 1 thành hình vuông lớn $2 \times 2$. Nối 4 đường chéo, bạn được một hình vuông nghiêng gồm đúng 4 nửa viên gạch, nên diện tích bằng $4 \cdot \frac{1}{2} = 2$. Cạnh của hình vuông nghiêng (cũng là đường chéo viên gạch) dài $\sqrt{2}$.

Ví dụ 1: đặt $\sqrt{2}$ lên trục số. Đặt viên gạch lên trục, cạnh dưới từ 0 đến 1. Vẽ đường chéo từ gốc O. Lấy compa tâm O, bán kính bằng đường chéo, quay xuống trục: điểm chạm trục là $\sqrt{2} \approx 1{,}414$.

Ví dụ 2: $-\sqrt{2}$. Quay compa sang trái, được điểm $-\sqrt{2}$. Hai điểm $\sqrt{2}$ và $-\sqrt{2}$ cách đều gốc, ở hai phía: chúng là hai số đối nhau. Mỗi số thực $a$ có số đối là $-a$.
Bẫy: $-\sqrt{2}$ không nằm giữa $-1$ và $0$. Nó cách gốc 1,414 đơn vị, nên nằm giữa $-2$ và $-1$.

Mỗi số thực ứng với đúng một điểm trên trục số, và mỗi điểm trên trục số ứng với một số thực. Các số thực lấp kín trục số, nên trục số còn gọi là trục số thực.

3. So sánh hai số thực

• Viết hai số dưới dạng số thập phân rồi so từng hàng, từ trái sang phải (như số thập phân đã học).
• Trên trục số thực, số nhỏ hơn nằm bên trái. Số âm nằm trước 0, số dương nằm sau 0.
• Với hai số dương: $a < b$ thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ (ví dụ $\sqrt{11} < \sqrt{13}$).
• Hai số âm: số nào xa gốc hơn thì nhỏ hơn.

Ví dụ 1 (sợi dây). Mảnh vườn vuông rộng $7\ \mathrm{m^2}$ có cạnh $\sqrt{7}$ m. Sợi dây dài 2,65 m có căng đủ một cạnh không?
$\sqrt{7} = 2{,}645\ldots$ So với $2{,}650$: đến hàng phần trăm, $4 < 5$. Vậy $\sqrt{7} < 2{,}65$: dây đủ dài.

Ví dụ 2 (bẫy "xấp xỉ"). So sánh $-\sqrt{3}$ và $-1{,}7$.
"$\sqrt{3} \approx 1{,}7$ nên hai số bằng nhau" là sai: $\sqrt{3} = 1{,}732\ldots > 1{,}7$. Hai số âm thì số xa gốc hơn lại nhỏ hơn, nên $-\sqrt{3} < -1{,}7$.

4. Giá trị tuyệt đối

Ví dụ 1 (thang máy). Tòa nhà có tầng hầm $-6$ và tầng $6$. Từ tầng trệt (0), đi xuống $-6$ hay đi lên $6$, thang máy đều đi 6 tầng.

Khoảng cách từ điểm $a$ đến gốc O gọi là giá trị tuyệt đối của $a$, kí hiệu $|a|$. Khoảng cách không bao giờ âm.

$|a| = \begin{cases} a & \text{nếu } a > 0 \\ -a & \text{nếu } a < 0 \\ 0 & \text{nếu } a = 0 \end{cases}$

Chẳng hạn $|-3{,}8| = 3{,}8$; $\left|\frac{2}{7}\right| = \frac{2}{7}$; $|0| = 0$.

Ví dụ 2 (bẫy). Bạn Hà viết $|-\sqrt{7}| = -\sqrt{7}$. Sai: $-\sqrt{7} < 0$ nên $|-\sqrt{7}| = \sqrt{7}$.
Chỗ dễ nhầm: công thức "$|a| = -a$ khi $a < 0$". Ở đây $-a$ là số dương, vì $a$ đã âm sẵn (ví dụ $a = -5$ thì $-a = 5$).

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Thấy dấu căn là cho vô tỉ. $\sqrt{49} = 7$, $-\sqrt{36} = -6$ đều là số hữu tỉ. Luôn rút gọn trước.
2. Nghĩ số vô tỉ không đặt được lên trục số. Mỗi số thực có đúng một điểm; $\sqrt{2}$ dựng được bằng compa.
3. Đặt sai số âm vô tỉ: $-\sqrt{2}$ nằm giữa $-2$ và $-1$, không phải giữa $-1$ và $0$.
4. So sánh bằng số làm tròn. $\sqrt{3} \approx 1{,}7$ không có nghĩa $\sqrt{3} = 1{,}7$. Lấy thêm chữ số cho tới khi thấy hàng khác nhau.
5. Quên đảo chiều với số âm: $\sqrt{8} < 2{,}83$ nhưng $-\sqrt{8} > -2{,}83$.
6. Viết $|-a| = -a$. Giá trị tuyệt đối không bao giờ âm: $|-\sqrt{10}| = \sqrt{10}$.
7. Tìm $x$ khi biết $|x|$ mà chỉ ghi một đáp số. $|x| = 1{,}8$ có hai nghiệm $\pm 1{,}8$; còn $|x| = -2$ thì không có $x$ nào.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Phân loại số thực, tìm số đối

Rút gọn trước (nhất là số có dấu căn). Viết được thành phân số → hữu tỉ; còn lại → vô tỉ. Số đối: chỉ đổi dấu.

Bài 1. Cho các số $-3{,}6$; $\sqrt{11}$; $0{,}(45)$; $-\sqrt{36}$; $\frac{5}{13}$; $\pi$.
a) Số nào là số hữu tỉ, số nào là số vô tỉ?
b) Tìm số đối của $-\sqrt{36}$ và của $\sqrt{11}$.

Bài 2. Đúng hay sai? a) $\sqrt{64} \in \mathbb{I}$ b) $-\sqrt{3} \in \mathbb{R}$ c) $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ d) $0{,}1010010001\ldots$ (sau mỗi số 1, số chữ số 0 tăng thêm 1) là số hữu tỉ.

Dạng 2. Biểu diễn số thực trên trục số

Tìm đoạn thẳng dài đúng bằng số đó (thường là đường chéo). Compa tâm O quay xuống trục: số dương sang phải, số âm sang trái.

Bài 3. Biết đường chéo hình chữ nhật có hai cạnh 2 và 1 dài $\sqrt{5}$. Vẽ điểm biểu diễn $-\sqrt{5}$. Điểm đó nằm giữa hai số nguyên nào?

Bài 4. Không cần vẽ, cho biết điểm $\sqrt{2}$ nằm giữa hai vạch nào trên trục số chia từng $0{,}01$ đoạn từ 1,4 đến 1,5.

Dạng 3. So sánh, sắp xếp số thực

Viết dạng thập phân, đủ chữ số, so từng hàng. Hai số âm: xa gốc hơn thì nhỏ hơn.

Bài 5. So sánh: a) $\sqrt{19}$ và $4{,}4$ b) $-\sqrt{8}$ và $-2{,}83$.

Bài 6. Sắp xếp tăng dần: $-1{,}5$; $\sqrt{2}$; $-\sqrt{3}$; $1{,}4$; $0$.

Dạng 4. Giá trị tuyệt đối

Xét dấu trước. Số không âm: giữ nguyên; số âm: bỏ dấu trừ. Kết quả không bao giờ âm.

Bài 7. Tính: a) $|-4{,}7|$ b) $\left|\frac{5}{9}\right|$ c) $|-\sqrt{10}|$.

Bài 8. Trên cây thước có vạch 0 ở chính giữa, một con kiến đứng cách vạch 0 là 1,8 cm. Con kiến ở vạch nào? Nếu có bạn bảo "con kiến cách vạch 0 là $-2$ cm" thì sao?

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Đứng đúng chỗ"

Dán một băng giấy dài làm trục số trên sàn (mỗi bước chân là 1 đơn vị, gốc 0 ở giữa). Người lớn đọc một số: $\sqrt{9}$, $-\sqrt{2}$, $1{,}5$, $-\sqrt{5}$, $|{-2}|$, $\pi$… Bạn phải nhảy tới đúng chỗ (ước lượng) và nói to: số đó là hữu tỉ hay vô tỉ, cách gốc bao nhiêu. Nói đúng cả hai được 1 điểm. Đổi vai sau 5 lượt.