Góc ở vị trí đặc biệt. Tia phân giác của một góc

Mở một chiếc kéo: hai lưỡi và hai tay cầm tạo ra bốn góc quanh con ốc. Mở rộng hay khép lại thì các góc đều đổi, nhưng góc giữa hai lưỡi luôn bằng góc giữa hai tay cầm. Bài này giải thích vì sao, và học thêm cách chia đôi một góc.

1. Hai góc kề bù

Hai góc kề bù là hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau.

Tính chất: hai góc kề bù có tổng số đo bằng $180^\circ$.

Vẽ đường thẳng qua $O$ được hai tia đối nhau $Oa$, $Ob$; kẻ thêm tia $Oc$. Khi đó $\widehat{aOc}$ và $\widehat{cOb}$ kề bù: $\widehat{aOc} + \widehat{cOb} = 180^\circ$.

• Ví dụ 1 (cầu trượt). Máng cầu trượt chạm mặt sân, góc phía dưới máng là $32^\circ$. Mặt sân hai bên là hai tia đối nhau, máng là cạnh chung, nên góc phía ngoài là $180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$.
• Ví dụ 2 (coi chừng). Hai góc $104^\circ$ và $76^\circ$ vẽ ở hai chỗ khác nhau có tổng đúng $180^\circ$. Chúng bù nhau nhưng không kề nhau (không có cạnh chung), nên không phải hai góc kề bù.

2. Hai góc đối đỉnh

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia. Hai đường thẳng cắt nhau tạo ra hai cặp góc đối đỉnh.

Tính chất: hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Vì sao? Hai đường thẳng $aa'$ và $bb'$ cắt nhau tại $O$:
$\widehat{aOb} + \widehat{bOa'} = 180^\circ$ (kề bù) và $\widehat{a'Ob'} + \widehat{bOa'} = 180^\circ$ (kề bù).
Hai góc cùng bù với $\widehat{bOa'}$ nên $\widehat{aOb} = \widehat{a'Ob'}$.

• Ví dụ 1 (cái kéo). Hai lưỡi kéo mở $28^\circ$. Góc giữa hai tay cầm đối đỉnh với góc đó nên cũng bằng $28^\circ$.
• Ví dụ 2 (coi chừng). Ba tia chung gốc $O$ tạo hai góc cùng $42^\circ$ nằm cạnh nhau. Chúng bằng nhau nhưng có chung cạnh, không phải tia đối của nhau, nên không đối đỉnh. Bằng nhau chưa chắc đã là đối đỉnh.

3. Tia phân giác của một góc

Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau.

Tính chất: nếu $Oc$ là tia phân giác của $\widehat{aOb}$ thì $\widehat{aOc} = \widehat{cOb} = \frac{1}{2}\widehat{aOb}$.

Đường thẳng chứa tia phân giác gọi là đường phân giác của góc.

• Ví dụ 1 (quạt giấy). Quạt giấy xoè $110^\circ$. Nan chính giữa chia đôi, mỗi bên $110^\circ : 2 = 55^\circ$.
• Ví dụ 2 (coi chừng). Góc $96^\circ$ có một tia bên trong tạo ra hai góc $40^\circ$ và $56^\circ$. Tia đó nằm trong góc nhưng hai góc không bằng nhau, nên không phải tia phân giác. Tia phân giác phải tạo hai góc $48^\circ$.

4. Cách vẽ tia phân giác

Cách 1: thước đo góc. Ví dụ góc $\widehat{aOb} = 76^\circ$.

1. Tính một nửa: $76^\circ : 2 = 38^\circ$.
2. Đặt tâm thước trùng đỉnh $O$, vạch $0$ nằm trên cạnh $Oa$; chấm một điểm ở vạch $38^\circ$.
3. Kẻ tia từ $O$ qua điểm vừa chấm: đó là tia phân giác.

Cách 2: gấp giấy. Cắt một góc bằng giấy, gấp sao cho hai cạnh của góc trùng khít lên nhau. Mở ra, nếp gấp chính là tia phân giác.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Thấy tổng $180^\circ$ là kết luận kề bù. Phải có thêm cạnh chung và hai cạnh kia là tia đối nhau.
2. Thấy hai góc bằng nhau là kết luận đối đỉnh. Phải kiểm tra từng cạnh có là tia đối của cạnh góc kia không.
3. Lẫn góc kề bù với góc đối đỉnh khi tính. Góc đối đỉnh thì bằng góc đã biết; góc kề bù thì lấy $180^\circ$ trừ đi.
4. Biết một nửa mà lại chia đôi. Biết góc nhỏ do tia phân giác tạo ra thì phải nhân đôi mới ra cả góc.
5. Tia nằm trong góc là phân giác. Chỉ đúng khi hai góc tạo ra bằng nhau.
6. Đọc tên góc sai thứ tự. Tên đỉnh luôn nằm giữa: $\widehat{aOb}$, không viết $\widehat{Oab}$.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Nhận biết cặp góc

Cách làm: tìm đỉnh chung, cạnh chung; xem các cạnh còn lại có phải tia đối nhau không.

Bài 1. Hai đường thẳng $pp'$ và $qq'$ cắt nhau tại $K$.
a) Kể tên hai cặp góc đối đỉnh.
b) $\widehat{pKq}$ kề bù với những góc nào?
c) Hai góc cùng $52^\circ$, chung đỉnh $O$, chung cạnh $Ot$. Bạn Hà nói chúng đối đỉnh. Đúng không?

Bài 2. Đúng hay sai: "Hai góc có chung đỉnh và có tổng $180^\circ$ thì kề bù"?

Dạng 2. Tính góc kề bù, góc đối đỉnh

Cách làm: góc kề bù $= 180^\circ -$ góc đã biết; góc đối đỉnh $=$ góc đã biết.

Bài 3. Hai đường thẳng $uu'$ và $vv'$ cắt nhau tại $O$, $\widehat{uOv} = 47^\circ$.
a) Tính $\widehat{u'Ov'}$. b) Tính $\widehat{vOu'}$. c) Hai góc kề bù, góc này lớn hơn góc kia $24^\circ$. Tính mỗi góc.

Bài 4. Hai đường thẳng cắt nhau, một trong bốn góc tạo thành bằng $61^\circ$. Tính ba góc còn lại.

Dạng 3. Tia phân giác

Cách làm: biết cả góc thì chia đôi; biết một nửa thì nhân đôi; có tia đối thì dùng kề bù trước.

Bài 5. Tia $Oc$ là tia phân giác của $\widehat{aOb}$.
a) $\widehat{aOb} = 124^\circ$. Tính $\widehat{aOc}$.
b) $\widehat{bOc} = 41^\circ$. Tính $\widehat{aOb}$.
c) $\widehat{aOb} = 64^\circ$, $Od$ là tia đối của $Oa$, $Ot$ là tia phân giác của $\widehat{bOd}$. Tính $\widehat{bOt}$.

Bài 6. Một cánh cửa hai cánh mở ra, hai cánh tạo với nhau góc $134^\circ$. Tấm thảm đặt theo tia phân giác của góc đó. Mỗi cánh tạo với mép thảm góc bao nhiêu độ?

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Săn góc bằng nhau"

1. Lấy hai chiếc đũa (hoặc hai cây bút), bắt chéo nhau như cái kéo. Một người mở đũa một góc bất kì, người kia chỉ ra hai cặp góc đối đỉnh và bốn cặp góc kề bù. Dùng thước đo góc kiểm tra xem hai góc đối đỉnh có bằng nhau không.
2. Cắt một mẩu giấy hình góc bất kì, gấp đôi cho hai cạnh trùng nhau để được tia phân giác. Đo hai nửa: ai có hai nửa lệch nhau ít nhất thì thắng.
3. Đi quanh nhà tìm ví dụ: kéo, kẹp phơi quần áo, ngã tư vạch kẻ trên sàn… Mỗi ví dụ đúng về góc đối đỉnh hoặc kề bù được 1 điểm.