Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

Hai thanh ray tàu hoả chạy dài hàng trăm cây số. Không ai đi hết đường ray để xem chúng có gặp nhau không, vậy mà ta vẫn biết chúng song song. Bí quyết: chỉ cần nhìn các góc tạo bởi một đường thẳng cắt ngang qua cả hai.

0. Nhắc lại: hai đường thẳng song song

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung nào. Kí hiệu $p \parallel q$ (đọc: p song song với q).

Khó ở chỗ: đường thẳng dài vô tận, ta không thể kéo dài mãi để kiểm tra. Nên ta cần một dấu hiệu dễ kiểm tra hơn.

1. Tám góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng

Đường thẳng $t$ cắt hai đường thẳng $p$ và $q$ lần lượt tại $O$ và $V$. Ở mỗi giao điểm có 4 góc, đánh số $1, 2, 3, 4$ theo cùng một cách (ở đây: 1 trên-phải, 2 trên-trái, 3 dưới-trái, 4 dưới-phải).

• Các góc trong: nằm giữa $p$ và $q$: $\widehat{O_3}, \widehat{O_4}, \widehat{V_1}, \widehat{V_2}$.
• Các góc ngoài: nằm ngoài dải giữa $p$ và $q$: $\widehat{O_1}, \widehat{O_2}, \widehat{V_3}, \widehat{V_4}$.

Hai góc so le trong

Hai góc cùng nằm trong và ở hai phía khác nhau của $t$ (so le = lệch nhau). Có 2 cặp:
$\widehat{O_3}$ và $\widehat{V_1}$; $\widehat{O_4}$ và $\widehat{V_2}$.

Mẹo nhớ: nối hai cạnh của cặp so le trong sẽ thấy hình chữ Z (hoặc chữ Z ngược).

• Ví dụ 1 (cổng sắt). Cổng có hai thanh ngang và một thanh chéo nối từ đầu thanh trên xuống cuối thanh dưới. Góc giữa thanh chéo và thanh trên, góc giữa thanh chéo và thanh dưới, cùng nằm giữa hai thanh, ở hai bên thanh chéo: chúng là cặp so le trong (thanh cổng vẽ đúng hình chữ Z).
• Ví dụ 2 (coi chừng). $\widehat{O_3}$ và $\widehat{V_2}$ đều nằm trong, nhưng cùng một phía của $t$. Chúng không phải so le trong (người ta gọi là cặp góc trong cùng phía).

Hai góc đồng vị

Hai góc ở cùng một vị trí so với giao điểm của mình (cùng "trên-phải", cùng "dưới-trái"…). Có 4 cặp:
$\widehat{O_1}$ và $\widehat{V_1}$; $\widehat{O_2}$ và $\widehat{V_2}$; $\widehat{O_3}$ và $\widehat{V_3}$; $\widehat{O_4}$ và $\widehat{V_4}$.

Mẹo nhớ: trượt cụm 4 góc ở $O$ dọc theo $t$ xuống $V$, góc nào đè lên góc nào thì hai góc đó đồng vị. Cặp đồng vị tạo hình chữ F.

• Ví dụ 1 (bậc cầu thang). Nhìn nghiêng, thanh tay vịn cắt mép hai bậc thang. Góc phía trên-phải ở bậc dưới và góc phía trên-phải ở bậc trên là cặp đồng vị.
• Ví dụ 2 (coi chừng). $\widehat{O_1}$ và $\widehat{V_4}$ cùng ở bên phải $t$, nhưng một góc ở trên $p$, một góc ở dưới $q$: khác vị trí, không đồng vị.

2. Khi một cặp so le trong bằng nhau

Nếu $\widehat{O_3} = \widehat{V_1} = 65^\circ$ thì:

• $\widehat{O_4} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ và $\widehat{V_2} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ (kề bù): cặp so le trong còn lại cũng bằng nhau;
• $\widehat{O_1} = \widehat{O_3} = 65^\circ$ (đối đỉnh) $= \widehat{V_1}$: các cặp đồng vị cũng bằng nhau.

3. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Nếu đường thẳng $t$ cắt hai đường thẳng phân biệt $p$, $q$ và tạo ra một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì $p \parallel q$.

Thử tưởng tượng: giữ $\widehat{O_3} = 65^\circ$, xoay đường $q$ quanh $V$. Khi $\widehat{V_1}$ lớn hơn hay nhỏ hơn $65^\circ$, hai đường nghiêng về phía nhau và sẽ cắt nhau ở đâu đó. Đúng lúc $\widehat{V_1} = 65^\circ$, hai đường "thẳng hàng song song", không bao giờ gặp nhau.

• Ví dụ 1 (vạch đỗ xe). Các vạch chéo ở bãi đỗ xe đều tạo với mép đường một góc $55^\circ$, ở cùng vị trí (đồng vị). Nên các vạch song song với nhau.
• Ví dụ 2 (coi chừng). Hai góc cùng bằng $58^\circ$ nhưng ở vị trí trong cùng phía. Chúng không phải so le trong, cũng không phải đồng vị, nên không dùng được dấu hiệu. Hình vẽ cho thấy hai đường thẳng này thật ra đang chụm lại.

Nhận xét: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song (vì có cặp góc đồng vị cùng bằng $90^\circ$).

4. Vẽ đường thẳng song song bằng êke và thước

Cho đường thẳng $p$ và điểm $T$ nằm ngoài $p$. Vẽ đường thẳng qua $T$ song song với $p$:

Cách 1: trượt êke dọc thước.

1. Đặt một cạnh của êke trùng với $p$.
2. Áp thước thẳng sát cạnh huyền của êke, giữ chặt thước.
3. Trượt êke dọc theo thước cho tới khi cạnh lúc nãy đi qua $T$.
4. Kẻ đường thẳng theo cạnh đó. Hai góc của êke ở hai vị trí là cặp đồng vị bằng nhau, nên đường vừa kẻ song song với $p$.

Cách 2: dùng góc vuông. Kẻ qua $T$ đường thẳng vuông góc với $p$, rồi kẻ qua $T$ đường thẳng vuông góc với đường vừa kẻ. Hai đường cùng vuông góc với một đường thẳng nên song song.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Lẫn so le trong với đồng vị. So le trong: cả hai góc ở trong, hai phía $t$ (chữ Z). Đồng vị: cùng vị trí ở hai giao điểm (chữ F).
2. Thấy hai góc bằng nhau là kết luận song song. Phải kiểm tra hai góc đó có đúng là cặp so le trong hoặc đồng vị không. Hai góc bằng nhau ở vị trí trong cùng phía thì không dùng được dấu hiệu.
3. Chọn góc ở cùng một giao điểm. Cặp so le trong / đồng vị luôn gồm một góc ở mỗi giao điểm.
4. Đề cho góc ở vị trí khác. Dùng kề bù ($180^\circ$ trừ đi) hoặc đối đỉnh (bằng nhau) để đưa về cặp so le trong / đồng vị rồi mới so sánh.
5. Nghĩ rằng phải có hai đường song song mới có góc so le trong, đồng vị. Các cặp góc này có với bất kì hai đường thẳng nào bị một đường thẳng cắt; song song hay không là chuyện của số đo.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Nhận biết cặp góc so le trong, đồng vị

Cách làm: tìm hai góc ở hai giao điểm khác nhau; cả hai ở trong và ở hai phía của đường cắt → so le trong; cùng vị trí → đồng vị.

Bài 1. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác lần lượt tại $T$ và $U$ ($T$ ở trên). Các góc đánh số như trong video (1 trên-phải, 2 trên-trái, 3 dưới-trái, 4 dưới-phải).

a) Kể tên hai cặp góc so le trong.
b) Góc nào đồng vị với $\widehat{T_3}$?
c) Bạn An nói $\widehat{T_1}$ và $\widehat{U_3}$ là cặp so le trong. Đúng không?

Bài 2. Với hình ở Bài 1, cặp $\widehat{T_4}$ và $\widehat{U_1}$ là cặp gì? Cặp $\widehat{T_2}$ và $\widehat{U_2}$?

Dạng 2. Giải thích vì sao hai đường thẳng song song

Cách làm: chỉ ra một cặp so le trong (hoặc đồng vị) bằng nhau; nếu đề cho góc ở vị trí khác thì dùng kề bù / đối đỉnh để đổi trước.

Bài 3. Hình chữ Z: $X, O$ trên đường trên, $T, V$ trên đường dưới, đoạn $OT$ nối hai đường. Biết $\widehat{XOT} = \widehat{OTV} = 62^\circ$. Vì sao $XO \parallel TV$?

Bài 4. Đường thẳng $t$ cắt $p$, $q$ tại $O$, $V$. Biết $\widehat{O_2} = 124^\circ$, $\widehat{V_3} = 56^\circ$. Vì sao $p \parallel q$?

Bài 5 (bẫy). Biết $\widehat{O_3} = \widehat{V_2} = 75^\circ$. Bạn Bình kết luận $p \parallel q$. Đúng không?

Dạng 3. Vận dụng thực tế

Cách làm: vẽ sơ đồ bằng các đường thẳng, gọi tên cặp góc, rồi dùng dấu hiệu.

Bài 6.
a) Hai cột đèn cùng vuông góc với mặt đường. Vì sao hai cột đèn song song?
b) Thanh chéo của một kệ tạo với thanh ngang trên một góc $64^\circ$. Góc ở đầu dưới (vị trí so le trong) phải bằng bao nhiêu để hai thanh ngang song song?
c) Chú thợ đo góc ở đầu dưới nhưng ở phía bên kia thanh chéo (vị trí trong cùng phía) được $116^\circ$. Có bạn nói "$116^\circ \ne 64^\circ$ nên không song song". Đúng không?

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Săn chữ Z, chữ F"

1. Lấy tờ giấy kẻ ô, kẻ hai dòng kẻ ngang (song song sẵn) và một đường chéo cắt qua cả hai.
2. Một người tô một góc bất kì. Người kia phải tô nhanh góc so le trong với nó (nếu góc đó ở trong) hoặc góc đồng vị với nó, rồi nói hình tạo thành là chữ Z hay chữ F.
3. Đổi vai. Ai đoán sai 3 lần thì thua.
4. Nâng cao: ra ngoài đường tìm 3 chỗ có "hai đường song song bị một đường cắt" (vạch kẻ đường, song cửa sổ, cầu thang) và chỉ ra một cặp đồng vị.