Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song

Qua một điểm, bạn vẽ được vô số đường thẳng. Nhưng nếu đòi đường thẳng ấy phải song song với một đường thẳng cho trước thì còn bao nhiêu? Câu trả lời là đúng một, và từ đó ta suy ra được các góc bằng nhau mà không cần đo.

1. Tiên đề Euclid (đọc là "Ơ-clít")

Tiên đề Euclid: qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Hình dung: cho đường thẳng $d$ và điểm $P$ nằm ngoài $d$. Kẻ một đường thẳng qua $P$ rồi xoay nó quanh $P$. Hầu hết các vị trí, nó cắt $d$. Xoay dần thì giao điểm chạy ra xa mãi, và chỉ có đúng một vị trí không còn giao điểm: lúc đó nó song song với $d$. Xoay tiếp, giao điểm lại xuất hiện ở phía bên kia.

• Ví dụ 1 (kệ sách). Tầng dưới của kệ đã lắp xong. Muốn lắp một thanh ngang đi qua con vít $P$ và song song với tầng dưới thì chỉ có đúng một cách đặt thanh.
• Ví dụ 2 (coi chừng). Nếu $P$ nằm trên $d$ thì mọi đường thẳng khác qua $P$ đều cắt $d$ tại $P$; không có đường nào qua $P$ song song với $d$. Vì vậy tiên đề phải nói rõ: điểm nằm ngoài đường thẳng.

Hệ quả: nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cắt luôn đường thẳng còn lại. (Nếu không cắt thì qua giao điểm sẽ có hai đường cùng song song với đường kia, trái tiên đề.)

2. Tính chất của hai đường thẳng song song

Tính chất: nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

• hai góc so le trong bằng nhau;
• hai góc đồng vị bằng nhau.

Vì sao dễ tin: xoay góc tại giao điểm trên nửa vòng quanh trung điểm của đoạn nối hai giao điểm, nó chồng khít lên góc so le trong với nó. Trượt góc dọc theo đường cắt từ giao điểm trên xuống giao điểm dưới, nó chồng khít lên góc đồng vị.

• Ví dụ 1 (cổng sắt). Hai thanh ngang của cánh cổng song song, thanh chéo tạo với thanh trên góc $55^\circ$. Góc so le trong ở thanh dưới cũng bằng $55^\circ$, không cần đo.
• Ví dụ 2 (coi chừng chiều suy luận). Nếu hai đường thẳng không song song thì hai góc so le trong có thể là $62^\circ$ và $75^\circ$, không bằng nhau. Tính chất chỉ dùng được khi đã biết hai đường thẳng song song.

3. Hai nhận xét

1. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia. Góc vuông ở trên và góc ở dưới là hai góc đồng vị nên góc dưới cũng bằng $90^\circ$.
   • Ví dụ: cây cột đứng của kệ sách vuông góc với tầng trên thì cũng vuông góc với tầng dưới.
   • Ví dụ kí hiệu: $a \parallel b$ và $c \perp a$ thì $c \perp b$.
2. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
   • Ví dụ: vạch kẻ bên trái và vạch kẻ bên phải cùng song song với vạch giữa đường thì song song với nhau.
   • Vì sao: nếu hai vạch cắt nhau tại một điểm thì qua điểm đó có hai đường thẳng cùng song song với vạch giữa, trái với tiên đề.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

• Dùng tính chất khi chưa biết song song. Hai góc so le trong chỉ bằng nhau khi hai đường thẳng song song. Phải ghi rõ "vì $a \parallel b$" trước khi suy ra.
• Lẫn dấu hiệu với tính chất. Dấu hiệu: góc bằng nhau ⇒ song song. Tính chất: song song ⇒ góc bằng nhau. Hai chiều khác nhau.
• Nhầm vị trí góc. Hai góc cùng nằm giữa hai đường thẳng nhưng ở cùng một phía của đường cắt thì không phải so le trong, nên không bằng nhau. Thường phải đi qua góc kề bù ($180^\circ -$ góc).
• Quên điều kiện "ở ngoài". Tiên đề nói về điểm nằm ngoài đường thẳng.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Vận dụng tiên đề Euclid

Cách làm: kiểm tra điểm có nằm ngoài đường thẳng không; đường thẳng qua điểm đó song song với đường đã cho chỉ có một.

Bài 1. Mỗi câu sau đúng hay sai?

a) Qua điểm $P$ nằm ngoài $d$, vẽ được đúng một đường thẳng song song với $d$.

b) Bạn Tú nói: qua điểm $P$ nằm ngoài $d$, bạn vẽ được hai đường thẳng khác nhau cùng song song với $d$.

c) $d \parallel d'$, đường thẳng $u$ cắt $d$ tại $I$. Khi đó $u$ cũng cắt $d'$.

Bài 2. Cho ba điểm $E$, $F$, $G$ không thẳng hàng. Qua $E$ vẽ được bao nhiêu đường thẳng song song với $FG$? Qua $F$ vẽ được bao nhiêu đường thẳng song song với $EG$?

Dạng 2. Tính số đo góc

Cách làm: (1) xác định hai góc là so le trong hay đồng vị; (2) kiểm tra hai đường thẳng song song; (3) kết luận hai góc bằng nhau. Góc ở cùng phía thì đi qua góc kề bù.

Bài 3. $AB \parallel CD$. Đường thẳng $IK$ cắt $AB$ tại $I$, cắt $CD$ tại $K$ ($A$, $C$ ở bên trái; $T$ là một điểm trên tia đối của tia $KI$), $\widehat{AIK} = 38^\circ$.

a) Tính $\widehat{IKD}$. b) Tính $\widehat{CKT}$. c) Tính $\widehat{IKC}$.

Bài 4. Hai thanh ngang của một cái thang gấp song song với nhau. Chân thang tạo với thanh trên một góc $67^\circ$ (góc nằm giữa hai thanh). Góc so le trong với nó ở thanh dưới bằng bao nhiêu? Góc kề bù với góc đó bằng bao nhiêu?

Dạng 3. Chứng tỏ song song rồi dùng tính chất

Cách làm: dùng dấu hiệu (so le trong hoặc đồng vị bằng nhau) để có hai đường thẳng song song, rồi dùng tính chất để tính góc hoặc chứng tỏ vuông góc.

Bài 5. Đường thẳng $AB$ cắt $g$ tại $A$, cắt $h$ tại $B$, hai góc đồng vị tại $A$ và $B$ đều bằng $72^\circ$. Đường thẳng $CD$ ($C \in g$, $D \in h$) tạo với $g$ góc $125^\circ$; góc $x$ tại $D$ so le trong với góc $125^\circ$ đó. Đường thẳng $p$ vuông góc với $g$.

a) Vì sao $g \parallel h$? b) Tính $x$. c) $p$ có vuông góc với $h$ không?

Bài 6. Ba sợi dây phơi $a$, $b$, $c$ phân biệt. Biết $a \parallel c$ và $b \parallel c$. Hai sợi $a$ và $b$ có song song không? Một cây sào vuông góc với $a$ thì có vuông góc với $b$ không?

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Chỉ một đường thôi"

1. Kẻ một đường thẳng dài trên tờ giấy, chấm một điểm $P$ ở ngoài.
2. Đặt một chiếc que (đũa, bút) qua $P$ rồi xoay từ từ. Mỗi lần que cắt đường thẳng thì đánh dấu giao điểm.
3. Thi xem ai tìm được vị trí duy nhất que không cắt đường thẳng (dùng thước đo khoảng cách hai đầu que tới đường thẳng cho bằng nhau).
4. Vẽ thêm một đường cắt cả hai, đo một cặp góc so le trong bằng thước đo góc: có bằng nhau không?