Định lí và chứng minh định lí

Vẽ hai đường thẳng song song, kẻ một đường cắt qua rồi đo hai góc so le trong: $62^\circ$ và $62^\circ$. Xoay đường cắt, đo lại được $40^\circ$ và $40^\circ$. Đo bao nhiêu lần cũng thấy bằng nhau. Nhưng thước đo chỉ cho kết quả gần đúng, mà hình vẽ thì có vô số. Muốn chắc chắn một điều đúng với mọi hình, ta phải chứng minh.

1. Định lí. Giả thiết và kết luận

Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết. Định lí thường viết theo mẫu:

Nếu … thì …

• Phần giữa chữ "nếu" và chữ "thì" là giả thiết (điều đã cho).
• Phần sau chữ "thì" là kết luận (điều phải suy ra).

• Ví dụ 1 (đời sống). "Nếu một con vật là con mèo thì nó có bốn chân."
  Giả thiết: con vật là con mèo. Kết luận: nó có bốn chân.
• Ví dụ 2 (câu chưa có chữ "nếu"). "Hai góc cùng bù với một góc thì bằng nhau."
  Viết lại: "Nếu hai góc cùng bù với một góc thì hai góc đó bằng nhau."
  Giả thiết: hai góc cùng bù với một góc. Kết luận: hai góc đó bằng nhau.

2. Vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận bằng kí hiệu

Trước khi chứng minh, ta vẽ hình, đặt tên, rồi viết giả thiết (GT) và kết luận (KL) bằng kí hiệu vào một bảng: GT ở trên, KL ở dưới.

• Ví dụ 1. "Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau."

  GT	$d_1, d_2$ phân biệt; $d_1 \parallel d_3$; $d_2 \parallel d_3$
  KL	$d_1 \parallel d_2$

• Ví dụ 2. "Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau."
  Vẽ $u \parallel v$; đường thẳng $t$ cắt $u$ tại $H$, cắt $v$ tại $K$; $\widehat{H_1}$ và $\widehat{K_1}$ là hai góc so le trong.

  GT	$u \parallel v$; $t$ cắt $u$ tại $H$, cắt $v$ tại $K$; $\widehat{H_1}, \widehat{K_1}$ so le trong
  KL	$\widehat{H_1} = \widehat{K_1}$

3. Chứng minh định lí

Chứng minh một định lí là dùng lập luận: từ giả thiết và những điều đúng đã biết, suy ra kết luận. Mỗi bước phải có căn cứ — trả lời được câu "vì sao?".

• Ví dụ 1. Chứng minh: hai góc cùng bù với một góc thì bằng nhau.

  GT: $\widehat{1} + \widehat{3} = 180^\circ$, $\widehat{2} + \widehat{3} = 180^\circ$. KL: $\widehat{1} = \widehat{2}$.

  Bước	Vì sao
  $\widehat{1} = 180^\circ - \widehat{3}$	vì $\widehat{1} + \widehat{3} = 180^\circ$ (giả thiết)
  $\widehat{2} = 180^\circ - \widehat{3}$	vì $\widehat{2} + \widehat{3} = 180^\circ$ (giả thiết)
  $\widehat{1} = \widehat{2}$	vì cùng bằng $180^\circ - \widehat{3}$

• Ví dụ 2. Dùng lại hình ở mục 2 ($u \parallel v$, $t$ cắt tại $H$, $K$). Gọi $\widehat{K_2}$ là góc kề bù với $\widehat{K_1}$ (nằm cùng phía với $\widehat{H_1}$ so với $t$). Chứng minh $\widehat{H_1} + \widehat{K_2} = 180^\circ$.

  Bước	Vì sao
  $\widehat{H_1} = \widehat{K_1}$	vì $u \parallel v$, hai góc so le trong (định lí ở mục 2)
  $\widehat{K_1} + \widehat{K_2} = 180^\circ$	vì hai góc kề bù
  $\widehat{H_1} + \widehat{K_2} = 180^\circ$	thay $\widehat{K_1}$ bằng $\widehat{H_1}$

  Định lí đã chứng minh trước đó trở thành căn cứ cho định lí mới.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Nhầm giả thiết với kết luận. Đổi chỗ hai phần là thành một câu khác, có thể sai: "Nếu con vật có bốn chân thì nó là con mèo" — sai, con chó cũng có bốn chân.
2. Lấy kết luận để chứng minh chính nó. Viết "Vì $\widehat{H_1} + \widehat{K_2} = 180^\circ$ nên …" khi đó chính là điều đang phải chứng minh. Như vậy là đi vòng tròn.
3. Đo trên hình rồi coi là chứng minh. Thước đo chỉ gần đúng và chỉ cho biết về một hình. Chứng minh thì đúng cho mọi hình.
4. Viết bước mà không có lí do. Mỗi dòng phải trả lời được "vì sao?": vì giả thiết, vì một định nghĩa, hay vì một định lí đã biết.
5. Tưởng câu đảo cũng đúng. Câu đúng mà đổi chỗ giả thiết và kết luận chưa chắc còn đúng. Muốn chỉ ra một câu sai, chỉ cần một phản ví dụ.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Tìm giả thiết, kết luận

Cách làm: đưa câu về dạng "Nếu … thì …"; phần giữa "nếu" và "thì" là giả thiết, phần sau "thì" là kết luận.

Bài 1. Chỉ ra giả thiết và kết luận.

a) Nếu hai góc kề bù thì tổng số đo của chúng bằng $180^\circ$.

b) Hai tia phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau.

c) Đổi chỗ giả thiết và kết luận của câu a. Câu mới có đúng không?

Bài 2 (thêm). Viết dưới dạng "Nếu … thì …" rồi chỉ ra GT, KL: "Số chia hết cho 6 thì chia hết cho 3."

Dạng 2. Vẽ hình, ghi giả thiết – kết luận bằng kí hiệu

Cách làm: vẽ hình, đặt tên điểm, tia, đường thẳng; dịch từng ý của giả thiết thành kí hiệu; kết luận ghi ở ô dưới. Điều phải chứng minh không được ghi vào GT.

Bài 3. a) Vẽ hình, ghi GT, KL của định lí ở Bài 1b.

b) "Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng và tạo ra một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song." Một bạn ghi: GT: $p \parallel q$, $t$ cắt $p$ tại $I$, cắt $q$ tại $K$, $\widehat{I_1} = \widehat{K_1}$. Bạn sai ở đâu?

Dạng 3. Chứng minh định lí

Cách làm: đi từ giả thiết; mỗi bước ghi "vì …" (giả thiết, định nghĩa, định lí đã biết); ra đúng kết luận thì dừng.

Bài 4. Với hình ở Bài 3a:

a) Tính $\widehat{uOb}$ và $\widehat{bOv}$ theo $\widehat{aOb}$, $\widehat{bOc}$.

b) Chứng minh $Ou \perp Ov$.

c) Bạn Nam đo trên hình thấy $\widehat{uOv} = 90^\circ$ rồi viết "Vậy $Ou \perp Ov$". Như vậy đã là chứng minh chưa?

Bài 5 (thêm). Hai đường thẳng $xx'$ và $yy'$ cắt nhau tại $O$, $\widehat{xOy} = 90^\circ$. Chứng minh ba góc còn lại đều vuông.

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Đảo câu, bắt lỗi"

Một người nói một câu "Nếu … thì …" đúng về đời sống hoặc về toán (VD: "Nếu hôm nay là thứ Hai thì mai là thứ Ba", "Nếu một số chia hết cho 4 thì nó là số chẵn"). Người kia:

1. Chỉ ra giả thiết và kết luận (1 điểm).
2. Đổi chỗ thành câu đảo và nói câu đảo đúng hay sai (1 điểm).
3. Nếu sai, đưa ra một phản ví dụ (thêm 1 điểm). VD câu đảo "Nếu là số chẵn thì chia hết cho 4" sai vì số 6.

Ai được 10 điểm trước thì thắng.