Đơn thức

Câu hỏi mở đầu: một hộp quà hình hộp chữ nhật dài 3x, rộng 2x, cao y. Thể tích là 3x · 2x · y. Có bạn lại viết gọn là 6x²y. Hai cách viết này khác nhau, hay thật ra chỉ là một? Đọc hết bài là bạn trả lời được: chỉ là một, cách sau là dạng thu gọn.

1. Đơn thức là gì?

Đơn thức là biểu thức chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc tích của những số và biến.

Ví dụ 1 (mua vở). Mua x quyển vở, mỗi quyển 8 nghìn đồng, số tiền là 8 · x = 8x nghìn đồng. 8x là một đơn thức.

Ví dụ 2 (cái nào là đơn thức?).

• 7, −y, x/4 đều là đơn thức (x/4 chính là ¼ · x: chia cho một số thì vẫn là nhân).
• (√7 − 1)x² vẫn là đơn thức: √7 − 1 chỉ là một số, dù trông có dấu trừ.
• y − 5x không phải: có phép trừ giữa các biến.
• 6/x không phải: có phép chia cho biến.

2. Đơn thức thu gọn, hệ số, phần biến

Đơn thức thu gọn: chỉ có một số (viết đầu tiên), và mỗi biến xuất hiện một lần, dưới dạng lũy thừa.
Muốn thu gọn: nhân các số với nhau, rồi gom các lũy thừa cùng biến (xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ).

Trong đơn thức thu gọn, phần số gọi là hệ số, phần còn lại gọi là phần biến.

Ví dụ 1 (hộp quà). 3x · 2x · y = (3 · 2) · (x · x) · y = 6x²y. Hệ số 6, phần biến x²y.

Ví dụ 2. (−2)x⁴ · 7y · y = [(−2) · 7] · x⁴ · (y · y) = −14x⁴y². Hệ số là −14 (giữ cả dấu trừ), phần biến x⁴y².

Chú ý: hệ số 1 và −1 không viết số 1 ra: xy⁴ có hệ số 1, −x⁵ có hệ số −1.

3. Bậc của đơn thức

Bậc của đơn thức (hệ số khác 0) là tổng số mũ của các biến.

Ví dụ 1. 6x²y: x có mũ 2, y có mũ 1 → bậc 2 + 1 = 3 (đúng như thể tích: ba kích thước nhân lại).

Ví dụ 2 (bẫy). 3²x⁴y có bậc mấy? Không phải 2 + 4 + 1 = 7. 3² = 9 là hệ số, chỉ cộng mũ của biến: 4 + 1 = 5.

• Biến không ghi số mũ thì số mũ là 1.
• Một số khác 0 (như −12) là đơn thức bậc 0. Số 0 cũng là đơn thức nhưng không có bậc.

4. Đơn thức đồng dạng

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và phần biến giống nhau.

Ví dụ 1 (lát gạch). Mỗi viên gạch dài x, rộng y, diện tích xy. Tường của An lát 15 viên: 15xy; tường của Bình lát 20 viên: 20xy. Cùng phần biến xy nên hai đơn thức đồng dạng.

Ví dụ 2 (bẫy). x²y và xy² đều bậc 3, nhưng x²y có x mũ 2, còn xy² có y mũ 2 → phần biến khác nhau → không đồng dạng.

• Đồng dạng thì cùng bậc, nhưng cùng bậc chưa chắc đồng dạng.
• Hai số khác 0 cũng được coi là đồng dạng.

5. Cộng, trừ đơn thức đồng dạng

Muốn cộng (trừ) hai đơn thức đồng dạng: cộng (trừ) các hệ số, giữ nguyên phần biến.

Ví dụ 1 (hai bức tường). 15xy + 20xy = (15 + 20)xy = 35xy, giống như 15 viên gạch + 20 viên gạch = 35 viên gạch.

Ví dụ 2 (bẫy). 4x² + 3x² = 7x⁴ là sai: không cộng số mũ. Đúng: 4x² + 3x² = 7x².

Còn x²y + xy² không đồng dạng, nên không gộp được thành một đơn thức.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Chỉ nhìn "có dấu cộng, trừ hay không" để nhận ra đơn thức: (√7 − 1)x² vẫn là đơn thức (√7 − 1 là một số), còn 6/x không có dấu cộng trừ nhưng không phải đơn thức (chia cho biến).
2. Tính cả số mũ của số vào bậc: 3²x⁴y có bậc 5, không phải 7.
3. Quên số mũ 1 của biến không ghi mũ: xy⁴ có bậc 1 + 4 = 5.
4. Nghĩ x²y và xy² đồng dạng vì cùng bậc, cùng chữ.
5. Cộng luôn số mũ khi cộng đơn thức đồng dạng: 4x² + 3x² = 7x², không phải 7x⁴.
6. Quên hệ số 1 (hoặc −1) của đơn thức không ghi hệ số: x²y² − 8x²y² = (1 − 8)x²y².
7. Thay số âm mà quên ngoặc: với x = −1 thì x² = (−1)² = 1, không phải −1.

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Thu gọn đơn thức, tìm hệ số, phần biến và bậc

Cách làm: nhân các số → hệ số; gom lũy thừa cùng biến (cộng số mũ); bậc = tổng số mũ của các biến.

1. Thu gọn, rồi cho biết hệ số, phần biến và bậc: a) 5y · (−2)x · y³ b) (−3)² · xy² · x⁴ c) xy³ · (−x) · y
2. Thu gọn và tìm bậc: a) 2x · (−6)y² b) −x³ · 4xy

Dạng 2: Nhóm các đơn thức đồng dạng

Cách làm: bỏ qua hệ số, chỉ nhìn phần biến; phần biến giống hệt nhau thì cùng nhóm; các số khác 0 xếp riêng một nhóm.

3. Xếp thành các nhóm đồng dạng: 5x³y; −xy³; ⅔x³y; 9; 6xy³; −1,5; 0,6x³y.

Dạng 3: Cộng, trừ đơn thức đồng dạng và tính giá trị

Cách làm: cộng trừ các hệ số, giữ phần biến; tính giá trị thì thu gọn trước, rồi mới thay số.

4. a) Thu gọn x²y² − 8x²y² + 4x²y². b) Tính giá trị của kết quả khi x = −1, y = 2.
5. Mỗi thùng sữa có x hộp, mỗi hộp giá y nghìn đồng. Thứ Bảy bán 7 thùng, Chủ nhật bán 4 thùng. Thứ Bảy thu nhiều hơn Chủ nhật bao nhiêu? Tính với x = 12, y = 8.

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Ai cùng nhà?"

Chuẩn bị 12 mẩu giấy, mỗi mẩu viết một đơn thức (ví dụ: 3x²y, −x²y, ½x²y, 5xy², −7xy², 7, −4, x³, 2x³, 6x²y, xy, −xy).
Úp giấy xuống, lần lượt mỗi người lật hai mẩu:

• Nếu hai đơn thức đồng dạng: nói to tổng của chúng (ví dụ 3x²y + 6x²y = 9x²y) thì được giữ cả hai mẩu.
• Nếu không đồng dạng: nói bậc của từng đơn thức, rồi úp lại.

Ai giữ được nhiều mẩu nhất thì thắng. Bẫy cần để ý: x²y và xy² không cùng nhà!