Đa thức

1. Đa thức và hạng tử

Đa thức là tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử.

• Ví dụ 1 (đời sống). Đi xem phim: 4 vé, mỗi vé $x$ nghìn đồng; 2 phần bắp, mỗi phần $y$ nghìn đồng; thêm 10 nghìn gửi xe. Tổng tiền $4x + 2y + 10$ là một đa thức có ba hạng tử: $4x$, $2y$, $10$.
• Ví dụ 2 (dấu trừ). $2x^3 - 5xy + y^2 - 7 = 2x^3 + (-5xy) + y^2 + (-7)$. Bốn hạng tử là $2x^3$, $-5xy$, $y^2$, $-7$: dấu đứng trước đi cùng hạng tử.

Chú ý: mỗi đơn thức cũng là một đa thức (chỉ có một hạng tử), ví dụ $-8xy^3$. Còn $\dfrac{3}{x} + 1$ không phải đa thức vì có phép chia cho biến.

2. Thu gọn đa thức

Các hạng tử có cùng phần biến gọi là hạng tử đồng dạng. Đa thức thu gọn là đa thức không còn hai hạng tử nào đồng dạng.

Cách thu gọn: gom các hạng tử đồng dạng thành từng nhóm, rồi cộng hệ số trong mỗi nhóm.

• Ví dụ 1 (đời sống). Mảnh vườn hình chữ nhật dài $3x$, rộng $y$. Đi một vòng: $C = 3x + y + 3x + y = 6x + 2y$.
• Ví dụ 2 (có bẫy).
  $Q = 4x^2y - 3xy^2 + x^2y + 5 - 2xy^2 - 6$
  $= (4x^2y + x^2y) + (-3xy^2 - 2xy^2) + (5 - 6)$
  $= 5x^2y - 5xy^2 - 1.$
  Cẩn thận: $x^2y$ và $xy^2$ trông na ná nhưng khác phần biến, không gom chung.

3. Bậc của đa thức

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn.

• Ví dụ 1 (đời sống). Sàn phòng hình chữ L ghép từ hình vuông cạnh $x$ và hình chữ nhật $2x \times y$: diện tích $S = x^2 + 2xy$. Cả hai hạng tử đều bậc 2 ($2xy$ có bậc $1 + 1$) nên $S$ có bậc 2. Nhiều hạng tử cùng bậc cao nhất cũng được.
• Ví dụ 2 (có bẫy). $R = 2x^3y^2 - xy + 7 - 2x^3y^2 + x^2$. Thấy $x^3y^2$ mà nói "bậc 5" là sai. Thu gọn trước: hai hạng tử $2x^3y^2$ và $-2x^3y^2$ triệt tiêu, còn $R = x^2 - xy + 7$, bậc 2.

Chú ý: một số khác 0 (như 12) là đa thức bậc 0. Số 0 là đa thức không, không có bậc.

4. Giá trị của đa thức

Thu gọn trước, rồi mới thay số.

• Ví dụ 1. Hóa đơn xem phim $T = 4x + 2y + 10$ với vé 75 nghìn, bắp 40 nghìn: $T = 4 \cdot 75 + 2 \cdot 40 + 10 = 390$ (nghìn đồng).
• Ví dụ 2. $E = 5xy^2 - 2x + 3xy^2 - 8xy^2 + 4$ tại $x = -3$, $y = 7$. Thu gọn: $5 + 3 - 8 = 0$ nên cả nhóm $xy^2$ biến mất, $E = -2x + 4$. Thay $x = -3$: $E = 6 + 4 = 10$. Không cần dùng tới $y$!

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Tách hạng tử mà bỏ mất dấu trừ: hạng tử của $\dots - 3y$ là $-3y$ (hệ số $-3$), không phải $3y$.
2. Gom nhầm $x^2y$ với $xy^2$ vì trông giống nhau.
3. Tìm bậc khi chưa thu gọn: có hạng tử triệt tiêu thì bậc giảm.
4. Thay số âm quên ngoặc: $(-2)^2 = 4$, không phải $-4$.
5. Nhầm "đa thức không" (số 0, không có bậc) với đa thức bậc 0 (số khác 0).

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Hạng tử, hệ số, bậc

Bài 1. Cho $P = -4x^2y^3 + 0{,}5xy - 3y + 9$. a) Kể các hạng tử. b) Hệ số, bậc của từng hạng tử. c) Bậc của $P$.

Dạng 2: Thu gọn và tìm bậc

Bài 2. Thu gọn rồi tìm bậc:
a) $A = 3x^2 - 5xy + 2x^2 + xy - 4$ · b) $B = 2xy^2 - x + 3x^2y - 4xy^2 + 6x$ · c) $C = \tfrac12x^4 - 3xy + \tfrac12x^4 + 2y - x^4$

Dạng 3: Tính giá trị

Bài 3. Tính $D = 2x^2y - xy + 3 - x^2y + 4xy$ tại $x = -2$, $y = 3$.

Bài 4. Bánh mì giá $x$ nghìn/cái, sữa giá $y$ nghìn/hộp. Tổ 1 mua 12 bánh mì, 12 hộp sữa; tổ 2 mua 9 bánh mì, 15 hộp sữa. Tính tổng tiền khi $x = 15$, $y = 8$.

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Gom thẻ"

Viết 8–10 hạng tử lên các mẩu giấy (ví dụ $3x^2$, $-x^2$, $2xy$, $-5xy$, $x^2y$, $xy^2$, $4$, $-4$). Một người đọc to đa thức gồm tất cả các thẻ; người kia phải gom thẻ cùng phần biến thành từng chồng nhanh nhất có thể, cộng hệ số từng chồng, rồi nói đa thức thu gọn và bậc của nó. Chồng nào tổng bằng 0 thì bỏ ra ngoài. Đổi vai, thêm "thẻ bẫy" như $x^2y$ và $xy^2$ để thử mắt.