anim.vn

Toán lớp 8 · Bài 3 · 9 phút

Phép cộng và phép trừ đa thức

Tải bài tập về nhà (PDF, có lời giải)Xem trên YouTube

Mục lục video

  1. Mở đầu: gộp hai hóa đơn thế nào?
  2. Cộng hai đa thức
  3. Trừ hai đa thức: đổi dấu tất cả
  4. A − B = C thì A = B + C
  5. Dạng 1: Tổng và hiệu hai đa thức
  6. Dạng 2: Rút gọn nhiều ngoặc
  7. Dạng 3: Tìm đa thức chưa biết
  8. Dạng 4: Bài toán thực tế
  9. Kết bài

Cộng, trừ đa thức thực ra là hai kĩ năng bạn đã có: bỏ dấu ngoặc và thu gọn (gom hạng tử đồng dạng).

1. Cộng hai đa thức

Muốn cộng hai đa thức: viết mỗi đa thức trong một cặp ngoặc, nối bằng dấu +, bỏ ngoặc (trước ngoặc là dấu cộng thì giữ nguyên dấu các hạng tử), rồi thu gọn.

  • Ví dụ 1 (đời sống). Vở giá xx nghìn/cuốn, bút giá yy nghìn/cái. Minh mua 3 vở, 2 bút: 3x+2y3x + 2y. Hà mua 5 vở, 1 bút: 5x+y5x + y. Cả hai bạn trả
    (3x+2y)+(5x+y)=3x+2y+5x+y=(3x+5x)+(2y+y)=8x+3y(3x + 2y) + (5x + y) = 3x + 2y + 5x + y = (3x + 5x) + (2y + y) = 8x + 3y.
  • Ví dụ 2 (có bẫy). A=2x2y−3xy+4A = 2x^2y - 3xy + 4, B=xy2−x2y+5xy−7B = xy^2 - x^2y + 5xy - 7.
    A+B=2x2y−3xy+4+xy2−x2y+5xy−7A + B = 2x^2y - 3xy + 4 + xy^2 - x^2y + 5xy - 7
    =(2x2y−x2y)+(−3xy+5xy)+xy2+(4−7)=x2y+2xy+xy2−3.= (2x^2y - x^2y) + (-3xy + 5xy) + xy^2 + (4 - 7) = x^2y + 2xy + xy^2 - 3.
    Cộng hạng tử đồng dạng: cộng hệ số, giữ nguyên phần biến. −3xy+5xy=2xy-3xy + 5xy = 2xy, không phải 2x2y22x^2y^2. Còn xy2xy^2 khác x2yx^2y nên đứng riêng.

2. Trừ hai đa thức

Nối hai đa thức bằng dấu −. Trước ngoặc là dấu trừ thì khi bỏ ngoặc phải đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc: cộng thành trừ, trừ thành cộng. Rồi thu gọn.

  • Ví dụ 1 (đời sống). Hà trả nhiều hơn Minh bao nhiêu?
    (5x+y)−(3x+2y)=5x+y−3x−2y=2x−y(5x + y) - (3x + 2y) = 5x + y - 3x - 2y = 2x - y (nghìn đồng).
  • Ví dụ 2 (có bẫy). P=4x2−2xy+3P = 4x^2 - 2xy + 3, Q=x2−5xy−6Q = x^2 - 5xy - 6.
    P−Q=(4x2−2xy+3)−(x2−5xy−6)=4x2−2xy+3−x2+5xy+6=3x2+3xy+9P - Q = (4x^2 - 2xy + 3) - (x^2 - 5xy - 6) = 4x^2 - 2xy + 3 - x^2 + 5xy + 6 = 3x^2 + 3xy + 9.
    Lỗi hay gặp: chỉ đổi dấu hạng tử đầu, viết thành ⋯−x2−5xy−6\dots - x^2 - 5xy - 6, ra kết quả sai 3x2−7xy−33x^2 - 7xy - 3.

3. Cộng và trừ liên hệ với nhau

Phép cộng đa thức cũng có tính chất giao hoán, kết hợp như cộng các số: A+B=B+AA + B = B + A, (A+B)+C=A+(B+C)(A + B) + C = A + (B + C).
Và: nếu A−B=CA - B = C thì A=B+CA = B + C; ngược lại, nếu A=B+CA = B + C thì A−B=CA - B = C.

  • Ví dụ 1 (đời sống). Hai hộp bánh nặng tổng cộng 5x+3y5x + 3y gam, hộp thứ nhất nặng 2x+y2x + y gam. Hộp thứ hai nặng
    (5x+3y)−(2x+y)=3x+2y(5x + 3y) - (2x + y) = 3x + 2y gam. Thử lại: (2x+y)+(3x+2y)=5x+3y(2x + y) + (3x + 2y) = 5x + 3y ✓.
  • Ví dụ 2. Tìm MM biết M−(x2−3xy)=2x2+xy−1M - (x^2 - 3xy) = 2x^2 + xy - 1.
    M=(2x2+xy−1)+(x2−3xy)=3x2−2xy−1M = (2x^2 + xy - 1) + (x^2 - 3xy) = 3x^2 - 2xy - 1.

Bảng kí hiệu

ViếtĐọcÝ nghĩa
A+BA + Btổng của A và B(… )+(… )(\dots) + (\dots) rồi bỏ ngoặc, giữ dấu
A−BA - Bhiệu của A và B(… )−(… )(\dots) - (\dots), bỏ ngoặc thì đổi dấu mọi hạng tử
−(a−b+c)-(a - b + c)trừ ngoặc=−a+b−c= -a + b - c
3xy+5xy3xy + 5xy=8xy= 8xy (giữ phần biến)

Lỗi hay gặp

  1. Bỏ ngoặc có dấu trừ mà chỉ đổi dấu hạng tử đầu tiên. Phải đổi dấu tất cả.
  2. Cộng hạng tử đồng dạng mà cộng luôn số mũ: x3+x3=2x3x^3 + x^3 = 2x^3, không phải x6x^6 hay 2x62x^6.
  3. Gom nhầm hai hạng tử không đồng dạng như x2yx^2y và xy2xy^2.
  4. Tìm MM trong B−M=CB - M = C mà viết M=C−BM = C - B. Đúng là M=B−CM = B - C.
  5. Tính giá trị mà chưa rút gọn: làm dài, dễ sai. Rút gọn trước, thay số sau.

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Tính tổng và hiệu hai đa thức

Bài 1. Cho E=x3+2x2y−4y+1E = x^3 + 2x^2y - 4y + 1 và F=3x2y−x3+5y−6F = 3x^2y - x^3 + 5y - 6. Tính: a) E+FE + F; b) E−FE - F; c) F−EF - E.

Đáp án

a) E+F=(x3−x3)+(2x2y+3x2y)+(−4y+5y)+(1−6)=5x2y+y−5E + F = (x^3 - x^3) + (2x^2y + 3x^2y) + (-4y + 5y) + (1 - 6) = 5x^2y + y - 5.
b) E−F=x3+2x2y−4y+1−3x2y+x3−5y+6=2x3−x2y−9y+7E - F = x^3 + 2x^2y - 4y + 1 - 3x^2y + x^3 - 5y + 6 = 2x^3 - x^2y - 9y + 7 (chú ý x3+x3=2x3x^3 + x^3 = 2x^3, không phải x6x^6).
c) F−EF - E là đối của E−FE - F: đổi dấu mọi hạng tử, F−E=−2x3+x2y+9y−7F - E = -2x^3 + x^2y + 9y - 7.

Dạng 2: Rút gọn biểu thức nhiều ngoặc, tính giá trị

Bài 2. a) Rút gọn (3a−b)+(b−2c)−(3a−2c)(3a - b) + (b - 2c) - (3a - 2c).
b) Rút gọn rồi tính giá trị của K=(x2y+3xy)−(2xy−x2y)+(xy−2x2y+5)K = (x^2y + 3xy) - (2xy - x^2y) + (xy - 2x^2y + 5) tại x=−3x = -3, y=2y = 2.

Đáp án

a) 3a−b+b−2c−3a+2c=03a - b + b - 2c - 3a + 2c = 0. Biểu thức luôn bằng 0, dù a,b,ca, b, c là số nào.
b) K=x2y+3xy−2xy+x2y+xy−2x2y+5=2xy+5K = x^2y + 3xy - 2xy + x^2y + xy - 2x^2y + 5 = 2xy + 5 (nhóm x2yx^2y: 1+1−2=01 + 1 - 2 = 0). Tại x=−3x = -3, y=2y = 2: K=2⋅(−3)⋅2+5=−7K = 2 \cdot (-3) \cdot 2 + 5 = -7.

Dạng 3: Tìm đa thức chưa biết

Bài 3. Tìm đa thức MM biết: a) M+(x2−2xy)=3x2+xyM + (x^2 - 2xy) = 3x^2 + xy; b) (4x2y−y+3)−M=x2y+2y−1(4x^2y - y + 3) - M = x^2y + 2y - 1.

Đáp án

a) M=(3x2+xy)−(x2−2xy)=2x2+3xyM = (3x^2 + xy) - (x^2 - 2xy) = 2x^2 + 3xy.
b) MM là số bị trừ đi: M=(4x2y−y+3)−(x2y+2y−1)=3x2y−3y+4M = (4x^2y - y + 3) - (x^2y + 2y - 1) = 3x^2y - 3y + 4. (Viết M=(x2y+2y−1)−(4x2y−y+3)M = (x^2y + 2y - 1) - (4x^2y - y + 3) là sai.)

Dạng 4: Bài toán thực tế

Bài 4. Một quầy nước bán xx ly nước cam giá 20 nghìn/ly và yy ly trà chanh giá 12 nghìn/ly. Chi phí: 8 nghìn cho mỗi ly cam, 5 nghìn cho mỗi ly trà và 150 nghìn tiền thuê chỗ.
a) Viết đa thức biểu thị tiền lãi. b) Tính tiền lãi khi bán 30 ly cam và 40 ly trà.

Đáp án

a) Thu: 20x+12y20x + 12y. Chi: 8x+5y+1508x + 5y + 150. Lãi L=(20x+12y)−(8x+5y+150)=12x+7y−150L = (20x + 12y) - (8x + 5y + 150) = 12x + 7y - 150.
b) L=12⋅30+7⋅40−150=360+280−150=490L = 12 \cdot 30 + 7 \cdot 40 - 150 = 360 + 280 - 150 = 490 (nghìn đồng).

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Lật dấu"

Viết mỗi hạng tử lên một mẩu giấy, mặt trước ghi dấu cộng, mặt sau ghi dấu trừ (ví dụ thẻ 3x3x: mặt trước +3x+3x, mặt sau −3x-3x). Xếp hai hàng thẻ thành hai đa thức, đặt một thẻ "−" lớn trước hàng thứ hai. Người chơi phải lật hết mọi thẻ của hàng sau (lật thiếu một thẻ là thua lượt), rồi gom các thẻ đồng dạng thành chồng và đọc kết quả. Đổi vai, lần sau đặt thẻ "+" để kiểm tra bạn có lật nhầm không.