Tới nội dung

Toán lớp 8 · Bài 4 · 9 phút

Phép nhân đa thức

Bài 4 Toán lớp 8: Phép nhân đa thức. Nội dung: nhắc lại: nhân hai đơn thức, nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức.

Tải bài tập về nhà (PDF, có lời giải)Xem trên YouTube

Mục lục video

0. Nhắc lại: nhân hai đơn thức

Nhân hệ số với hệ số, nhân phần biến với phần biến (cùng biến thì cộng số mũ).

$3x \cdot 4x = 12x^2$ — chú ý $x \cdot x = x^2$ , không phải $2x$ .

1. Nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

$A(B + C) = AB + AC$

Ví dụ 1 (đời sống). Một luống đất rộng $2x$ mét, dài $3x + 5$ mét, chia thành ô rau dài $3x$ và ô hoa dài $5$ . Diện tích:
$2x(3x + 5) = 2x \cdot 3x + 2x \cdot 5 = 6x^2 + 10x$ — đúng bằng ô rau ( $6x^2$ ) cộng ô hoa ( $10x$ ).
Ví dụ 2 (có dấu trừ).
$(-3xy)(2x^2 - xy + 4y) = (-3xy)(2x^2) + (-3xy)(-xy) + (-3xy)(4y) = -6x^3y + 3x^2y^2 - 12xy^2.$
Hạng tử $-xy$ mang dấu âm: âm nhân âm ra dương. Mẹo: tính dấu trước, rồi mới nhân phần còn lại.

2. Nhân đa thức với đa thức

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Ví dụ 1 (mô hình diện tích). Mảnh vườn hình vuông cạnh $x$ mét được nới thêm $4$ mét chiều dài và $2$ mét chiều rộng. Diện tích mới:
$(x + 4)(x + 2) = x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8.$
Bốn tích ứng với bốn mảnh đất: vườn cũ $x^2$ , hai dải $2x$ và $4x$ , ô góc $8$ .
Ví dụ 2 (hai hạng tử × ba hạng tử = 6 tích).
$(2x - y)(x^2 + 3xy - 2y^2)$
$= 2x^3 + 6x^2y - 4xy^2 - x^2y - 3xy^2 + 2y^3$
$= 2x^3 + 5x^2y - 7xy^2 + 2y^3.$

Đếm số tích trước: đa thức có $m$ hạng tử nhân đa thức có $n$ hạng tử thì có $m \cdot n$ tích (trước khi thu gọn). Đếm thiếu là nhân thiếu.

Phép nhân đa thức cũng có tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối như phép nhân các số; tích của hai đa thức vẫn là một đa thức.

Bảng kí hiệu

Viết	Đọc	Ý nghĩa
$x \cdot x = x^2$	x nhân x bằng x bình phương	cộng số mũ: $x^1 \cdot x^1 = x^{1+1}$
$x^2 \cdot x^3 = x^5$	x bình phương nhân x lập phương	$2 + 3 = 5$
$(-)\cdot(-) = (+)$	âm nhân âm ra dương	$(-2x)(-3) = 6x$
$A(B + C)$	A nhân với tổng B cộng C	$= AB + AC$

Lỗi hay gặp

Nhân thiếu cặp: $(x + 4)(x + 2) \ne x^2 + 8$ — thiếu hai tích $2x$ và $4x$ . Đếm: 2 × 2 = 4 tích.
Sai dấu: $(-2x)(-3) = +6x$ , không phải $-6x$ . Mỗi hạng tử mang theo dấu đứng trước nó.
$x \cdot x$ ra $2x$ : nhân thì cộng số mũ, $x \cdot x = x^2$ .
Dấu trừ trước một tích: $-x(3x + 1) = -3x^2 - x$ . Tính tích trong ngoặc trước rồi mới bỏ ngoặc, đổi dấu mọi hạng tử.
Quên thu gọn kết quả cuối cùng.

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Nhân đơn thức với đa thức

Bài 1. Làm tính nhân:
a) $2x(3x^2 - 5x + 4)$ · b) $(-x^2y)(3x - 2y + xy)$ · c) $(6x^2y - 3xy^2)\left(-\tfrac13xy\right)$

Đáp án

a) $6x^3 - 10x^2 + 8x$ .
b) $-3x^3y + 2x^2y^2 - x^3y^2$ (âm nhân âm $-2y$ ra dương).
c) Giao hoán: đa thức đứng trước vẫn nhân từng hạng tử. $-2x^3y^2 + x^2y^3$ .

Dạng 2: Nhân đa thức với đa thức

Bài 2. Làm tính nhân:
a) $(x + 5)(x - 3)$ · b) $(2x - 1)(x^2 - 3x + 2)$ · c) $(x - 2y)(x + 2y)$

Đáp án

a) 4 tích: $x^2 - 3x + 5x - 15 = x^2 + 2x - 15$ .
b) 6 tích: $2x^3 - 6x^2 + 4x - x^2 + 3x - 2 = 2x^3 - 7x^2 + 7x - 2$ . (Không được chỉ viết " $-1$ " ở cuối: $-1$ cũng phải nhân với cả ba hạng tử.)
c) $x^2 + 2xy - 2xy - 4y^2 = x^2 - 4y^2$ (hai tích giữa triệt tiêu).

Dạng 3: Rút gọn biểu thức, bài toán thực tế

Bài 3. a) Rút gọn $A = 3x(x - 2) - x(3x + 1)$ . b) Chứng tỏ $B = (x + 3)(x - 4) - x(x - 1) + 8$ không phụ thuộc vào $x$ .

Đáp án

a) $A = (3x^2 - 6x) - (3x^2 + x) = 3x^2 - 6x - 3x^2 - x = -7x$ .
b) $B = (x^2 - x - 12) - (x^2 - x) + 8 = -12 + 8 = -4$ với mọi $x$ .

Bài 4. Mảnh đất hình chữ nhật dài $2x + 3$ (m), rộng $x + 1$ (m). Người ta đào một ao hình vuông cạnh $x$ (m). Tính diện tích đất còn lại theo $x$ , rồi tính khi $x = 4$ .

Đáp án

$S = (2x + 3)(x + 1) - x^2 = 2x^2 + 2x + 3x + 3 - x^2 = x^2 + 5x + 3$ .
Khi $x = 4$ : $16 + 20 + 3 = 39$ (m²). (Kiểm tra: đất $11 \cdot 5 = 55$ , ao $16$ , còn $39$ .)

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Ghép mảnh vườn"

Cắt giấy thành các mảnh: 1 hình vuông lớn (ghi $x^2$ ), vài dải dài (ghi $x$ ) và vài ô vuông nhỏ (ghi $1$ ). Một người đọc một phép nhân, ví dụ $(x + 3)(x + 1)$ ; người kia phải ghép các mảnh thành một hình chữ nhật có hai cạnh đúng là $x + 3$ và $x + 1$ , rồi đếm: $1$ hình vuông, $4$ dải, $3$ ô nhỏ → $x^2 + 4x + 3$ . Đổi vai. Thử thêm $(x + 2)(x + 2)$ để thấy vì sao không phải $x^2 + 4$ .