Phép chia đa thức cho đơn thức

Phép chia là phép ngược của phép nhân: $A : B = Q$ nghĩa là $B \cdot Q = A$ (với $B \ne 0$). Bài này chỉ xét trường hợp chia hết, tức thương $Q$ vẫn là một đơn thức hoặc đa thức.

1. Chia đơn thức cho đơn thức

Hai lũy thừa cùng cơ số chia nhau thì giữ cơ số, trừ số mũ: $x^m : x^n = x^{m-n}$ (với $m \ge n$).
Vì sao? $x^5 : x^2 = \dfrac{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}{x \cdot x}$: mỗi $x$ ở dưới triệt tiêu một $x$ ở trên, còn lại $x \cdot x \cdot x = x^3$. Và $x^n : x^n = 1$.

Cách chia đơn thức $A$ cho đơn thức $B$:

1. Chia hệ số của $A$ cho hệ số của $B$.
2. Chia lũy thừa của từng biến trong $A$ cho lũy thừa của cùng biến đó trong $B$ (trừ số mũ).
3. Nhân các kết quả với nhau.

• Ví dụ 1 (đời sống). Một sân chơi hình chữ nhật có diện tích $12x^3y^2$, chiều rộng $4xy$. Chiều dài là
  $12x^3y^2 : 4xy = (12 : 4)\cdot(x^3 : x)\cdot(y^2 : y) = 3x^2y.$
  Thử lại: $4xy \cdot 3x^2y = 12x^3y^2$. ✓
• Ví dụ 2 (có bẫy). $-18x^4y^3z : 6x^4y = -3\cdot 1 \cdot y^2 \cdot z = -3y^2z$.
  $x^4 : x^4 = 1$ nên $x$ biến mất (không phải bằng 0). Biến $z$ chỉ có ở đơn thức bị chia thì giữ nguyên.

2. Khi nào chia hết?

Đơn thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ ($B \ne 0$) khi mỗi biến của $B$ đều có trong $A$, với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong $A$. Hệ số thì không cần "chia hết": $5x^2 : 2x = \tfrac{5}{2}x$ vẫn là phép chia hết.

• Ví dụ 1. $8x^2y : 2xy^3$: $y$ trong số chia có mũ $3$, lớn hơn mũ $1$ của $y$ trong số bị chia. Sau khi triệt tiêu, dưới mẫu còn $y \cdot y$ → thương không phải đơn thức → không chia hết.
• Ví dụ 2. $6x^3y : 3xz$: biến $z$ có trong số chia nhưng không có trong $6x^3y$ → không chia hết.

3. Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức $A$ cho đơn thức $B$: chia từng hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng các kết quả.
Đa thức $A$ chia hết cho $B$ khi mọi hạng tử của $A$ đều chia hết cho $B$.

• Ví dụ 1 (đời sống). Một bức tường sơn ba mảng hình chữ nhật cùng chiều cao $2x$, diện tích lần lượt $6x^3$, $4x^2y$ và $2x$. Tổng chiều dài bức tường:
  $(6x^3 + 4x^2y + 2x) : 2x = 3x^2 + 2xy + 1.$
  Hạng tử cuối: $2x : 2x = 1$ — đừng bỏ quên nó!
• Ví dụ 2 (dấu âm).
  $(12x^3y^2 - 9x^2y^3 + 3x^2y) : (-3x^2y) = -4xy + 3y^2 - 1.$
  Chia cho số âm thì mọi dấu đổi ngược.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Chia số mũ thay vì trừ số mũ: $x^6 : x^2 = x^3$ là sai; đúng là $x^{6-2} = x^4$.
2. Không để ý số mũ lớn hơn: $12x^3y^2 : 3xy^3$ — hệ số $12 : 3$ chia được nhưng $y^3$ lớn hơn $y^2$ nên không chia hết.
3. Biến có ở số chia mà không có ở số bị chia ($6x^3y : 3xz$) → không chia hết.
4. Quên một hạng tử khi chia đa thức, nhất là hạng tử chia ra bằng $1$ hoặc $-1$.
5. Sai dấu khi chia cho đơn thức có hệ số âm.
6. Nghĩ $x^4 : x^4 = 0$. Đúng là bằng $1$.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Chia đơn thức cho đơn thức

Cách làm: hệ số chia hệ số · cùng biến thì trừ số mũ · nhân lại.

Bài 1. a) $15x^4y^3 : 5x^2y$ b) $-14x^6y^4z : 7x^2y^4$ c) Tìm đơn thức $M$ biết $M \cdot 4xy^2 = 20x^3y^5$.

Dạng 2. Xét xem có chia hết không

Cách làm: xét từng biến của số chia — có trong số bị chia không, số mũ có lớn hơn không.

Bài 2. Cho $A = 12x^3y^2$. $A$ có chia hết cho $B$ không? Nếu có, tìm thương.
a) $B = 4x^2y$ b) $B = 3xy^3$ c) $B = -8x^3y$

Dạng 3. Chia đa thức cho đơn thức

Cách làm: chia từng hạng tử (giữ dấu) · cộng các kết quả · đếm lại số hạng tử.

Bài 3. a) $(10x^4y - 6x^3y^2 + 2x^2y) : 2x^2y$ b) $(-8x^3y^3 + 12x^2y^4 - 4xy^3) : (-4xy^2)$

Bài 4 (thực tế). Một tấm bìa hình chữ nhật có diện tích $6x^2y + 9xy^2$ (cm²) và chiều rộng $3xy$ (cm). Tìm chiều dài, rồi tính chiều dài khi $x = 4$, $y = 2$.

Trò chơi ở nhà (5 phút): "Máy chia"

Một người viết một đơn thức "bí mật" $Q$ (vd $2x^2y$) và một đơn thức $B$ (vd $3xy$), rồi đọc to tích $B \cdot Q$ (ở đây $6x^3y^2$) và $B$. Người kia làm "máy chia": tìm lại $Q$ và thử lại bằng phép nhân. Đổi vai, thỉnh thoảng cài một câu không chia hết (vd số chia $3xy^3$) xem bạn có phát hiện ra không.