anim.vnVì sao? · 9 phút
7 Hằng Đẳng Thức Dễ Nhớ – Chỉ Cần Một Hình Vuông Và Một Khối Lập Phương
7 hằng đẳng thức không phải 7 công thức để học thuộc. Chúng chỉ là hai bức hình: một hình vuông và một khối lập phương bị cắt ra. Nhìn thấy hình một lần, bạn sẽ rất khó quên. Video đi từ mẹo nhẩm 47 × 53 trong 3 giây, qua hơn 3000 năm khi thế giới chưa có chữ a, chữ b (Babylon, Euclid, al-Khwarizmi, Omar Khayyam, Cardano, Descartes), tới cách "nhìn" ra cả 7 công thức và mẹo nhớ dấu "cùng · trái · cộng".
Mục lục video
Luận điểm: 7 hằng đẳng thức không phải 7 công thức để học thuộc. Chúng là hai bức hình bị cắt ra. Nhìn thấy hình một lần thì rất khó quên.
Một hình vuông → 3 hằng đẳng thức bậc hai
| Hình | Công thức | Nhớ bằng gì |
|---|---|---|
| Hình vuông cạnh a + b, kẻ hai đường | (a + b)² = a² + 2ab + b² | 2 hình vuông + 2 hình chữ nhật ab (thứ hay bị bỏ quên) |
| Hình vuông cạnh a, cắt 2 dải ab | (a − b)² = a² − 2ab + b² | ô góc b² bị cắt hai lần nên phải trả lại một lần |
| Hình vuông a khoét góc b (chữ L), cắt và xoay | a² − b² = (a + b)(a − b) | chữ L ghép thành hình chữ nhật |
Thử nhanh: (3 + 4)² = 49, còn 3² + 4² = 25. Thiếu 24 = hai hình chữ nhật 3 × 4.
Một khối lập phương → 4 hằng đẳng thức bậc ba
| Hình | Công thức | Nhớ bằng gì |
|---|---|---|
| Khối cạnh a + b cắt 3 nhát → 8 mảnh | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | 1 khối lớn, 3 tấm dẹt, 3 thanh dài, 1 khối nhỏ: 1 · 3 · 3 · 1; mũ của a giảm 3, 2, 1, 0; mũ của b tăng 0, 1, 2, 3 |
| Thay b bằng −b | (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ | dấu xen kẽ + − + − (b mũ lẻ thì mang dấu trừ) |
| Khối a khoét góc b, cắt 3 tấm cùng dày a − b | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) | ba tấm có mặt a·a, a·b, b·b; ở giữa là ab, không phải 2ab |
| Thay b bằng −b | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) | mẹo dấu: cùng · trái · cộng |
Chuyện bên lề
- Khoảng 1800 TCN: người Babylon giải toán bằng cách bù thêm một mảnh cho đủ hình vuông.
- Khoảng 300 TCN: Euclid viết mệnh đề về hình vuông dựng trên đoạn thẳng bị cắt, đúng là (a + b)², nhưng hoàn toàn bằng lời và hình.
- Khoảng 820: al-Khwarizmi viết sách al-jabr (gốc của chữ "algebra") toàn bằng chữ, mỗi cách giải kèm một hình vuông.
- Omar Khayyam (1048–1131): "Đại số là những sự thật hình học đã được chứng minh."
- 1545: Cardano cắt khối lập phương thành 8 mảnh để giải phương trình bậc ba.
- 1637: Descartes viết số mũ như ngày nay, nhưng a² vẫn hay viết là aa.
- 1960: Karatsuba, 23 tuổi, chỉ sau một tuần đã bác phỏng đoán của Kolmogorov, nhờ khai triển (a + b)(c + d) để bớt một phép nhân.
Dùng vào đâu
- Tính nhẩm: 47 × 53 = 50² − 3² = 2491 · 99² = (100 − 1)² = 9801.
- Phân tích số (Fermat): 8051 = 90² − 7² = 83 × 97, ý tưởng nền của các thuật toán phân tích số lớn liên quan tới an toàn mật mã.
- Máy tính nhân số rất lớn (thuật toán Karatsuba).
Câu hỏi cuối video: 995 × 1005 = ? (đáp án: 1000² − 5² = 999 975).
Nguồn: xem lich-su.md.