Tại Sao 0! = 1? Cắt Một Cái Hộp Là Hiểu – Không Phải Quy Ước

Luận điểm: 0! = 1 không phải quy ước cho tiện. Giai thừa là một phép đếm: số cách xếp thứ tự, cũng là số mảnh của một
chiếc hộp. Khi không còn gì để xếp hay để cắt, vẫn còn đúng một: để nguyên.

Lập luận

1. Giai thừa đếm cách sắp xếp. 4 món cho 4 tay: tay đầu 4 lựa chọn, rồi 3, 2, 1 → 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
2. Cách hay gặp: đi lùi. 4! = 24 → chia 4 → 3! = 6 → chia 3 → 2! = 2 → chia 2 → 1! = 1 → chia 1 → 0! = 1. Đúng, nhưng
   giống mẹo tính; và bậc sau là 1 : 0 nên không có (−1)!.
3. Con kiến và chiếc hộp. Kiến bò theo cạnh từ góc A sang góc đối diện B.
   • Hình vuông: 2 bước (phải, lên) → 2 thứ tự → 2 con đường; nhát cắt AB chia hình vuông thành 2 mảnh, mỗi đường ôm một mảnh.
   • Khối lập phương: 3 bước (phải, lên, vào trong) → 3 × 2 × 1 = 6 con đường → 6 mảnh to bằng nhau.
   • Số mảnh = số cách xếp thứ tự các bước = n!.
4. Ép hộp. Khối (6 mảnh) → hình vuông (2) → đoạn thẳng (1) → một điểm. Ở điểm, A trùng B: có đúng 1 cách đi là đứng
   yên; điểm không bị cắt nhát nào nhưng vẫn còn nguyên: 1 mảnh. "Không có cách nào" (0) khác "một cách là không làm gì" (1).
5. Tích rỗng. Chưa cộng số nào thì đang ở 0; chưa nhân số nào thì đang ở 1.

Dùng ở đâu

• Chọn cả 5 bạn trong 5 bạn: 5!/(5!·0!) = 1 cách. Nếu 0! = 0 thì phải chia cho 0.
• eˣ = 1/0! + x/1! + x²/2! + x³/3! + …: số hạng đầu là 1/0!.
• Năm 1729 Euler (22 tuổi) nối các giá trị giai thừa thành đường cong liền; nó tự đi qua (0; 1) và vọt lên vô cực ở −1.

Trục thời gian

• ≈ 1150, Ấn Độ: Bhāskara II (Līlāvatī) — 4 món trong 4 tay thần Vishnu: 24 kiểu.
• 1729: Daniel Bernoulli và Euler mở rộng giai thừa cho số không nguyên.
• 1808: Christian Kramp đặt kí hiệu n!.
• 1842: De Morgan chê kí hiệu làm trang sách trông như đang "ngạc nhiên và thán phục".

Nguồn chi tiết: lich-su.md. Đáp án câu đố cuối video: hộp 4 chiều cắt được 4! = 24 mảnh.