Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bạn bấm máy tính sin 750° và máy trả về 0,5, y hệt sin 30°. Nhưng làm gì có tam giác vuông nào chứa góc 750°? Bài này giải thích chuyện đó qua ba thứ: góc lượng giác, rađian và đường tròn lượng giác.

1. Góc lượng giác: góc kể lại một chuyển động quay

Góc hình học chỉ đi từ 0° đến 180°. Góc lượng giác thì ghi lại cả cách quay: một tia quay quanh gốc O từ tia đầu đến tia cuối.

• Quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương; quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.
• Tia có thể quay nhiều vòng, nên số đo có thể lớn hơn 360° hoặc âm.
• Cùng tia đầu, cùng tia cuối thì các số đo hơn kém nhau một số nguyên lần 360°: số đo = α + k·360° (k ∈ ℤ).

Ví dụ 1. Cánh cửa xoay ở sảnh khách sạn quay theo chiều dương đúng một vòng rồi thêm 50°. Số đo góc quay là 360° + 50° = 410°.

Ví dụ 2. Bạn vặn nắp chai theo chiều kim đồng hồ ba phần tư vòng. Số đo là −270°. Tia cuối lúc này trùng với tia cuối của góc 90°, vì −270° = 90° − 360°.

2. Rađian và độ dài cung

Lấy một cung tròn dài đúng bằng bán kính. Góc ở tâm chắn cung đó là 1 rađian (1 rad ≈ 57,3°).

Cả đường tròn dài 2πR nên một vòng là 2π rad. Suy ra:

180° = π rad

• Độ → rađian: nhân với π/180.
• Rađian → độ: nhân với 180/π.

Ví dụ 1. 72° = 72 · π/180 = 2π/5.

Ví dụ 2. 7π/6 = 7/6 · 180° = 210°.

Cái lợi của rađian: độ dài cung l = R·α (α tính bằng rađian), không còn hệ số π/180 lằng nhằng.

Ví dụ 3. Vòng xuyến bán kính 10 m, xe đi qua cung 3π/5 rad thì quãng đường là 10 · 3π/5 = 6π ≈ 18,85 m.

Ví dụ 4. Cùng vòng xuyến đó, xe đi qua cung 45°. Phải đổi trước: 45° = π/4, rồi l = 10 · π/4 ≈ 7,85 m. (Viết 10 · 45 = 450 m là sai.)

3. Đường tròn lượng giác

Đường tròn tâm O (gốc toạ độ), bán kính 1, điểm gốc A(1; 0). Từ A quay một góc α thì dừng ở điểm M(x; y). Khi đó:

Vì M nằm trên đường tròn bán kính 1 nên −1 ≤ sin α ≤ 1 và −1 ≤ cos α ≤ 1. Quay thêm bao nhiêu vòng thì M vẫn ở chỗ cũ: sin(α + k2π) = sin α, cos(α + k2π) = cos α.

Dấu theo góc phần tư:

Ví dụ 1. α = 7π/6 (tức 210°). M nằm ở góc phần tư III nên cả cos và sin đều âm: cos 7π/6 = −√3/2, sin 7π/6 = −1/2.

Ví dụ 2. 750° = 2 · 360° + 30°. Quay hết hai vòng, M dừng đúng chỗ của góc 30°. Vậy sin 750° = sin 30° = 1/2. Đó là lí do máy tính trả về 0,5.

Bảng giá trị nên thuộc:

4. Hệ thức cơ bản và góc liên quan đặc biệt

Từ định lí Pythagore trên đường tròn bán kính 1:

• sin²α + cos²α = 1
• 1 + tan²α = 1/cos²α
• 1 + cot²α = 1/sin²α
• tan α · cot α = 1

Bốn cặp góc đặc biệt, nhớ bằng câu "cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π tan cot":

Ví dụ 1. cos(−60°) = cos 60° = 1/2.

Ví dụ 2. sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2.

Lỗi hay gặp

1. Quên dấu. Viết sin 210° = sin 30° = 1/2. Góc 210° ở góc phần tư III nên sin âm: sin 210° = −1/2. Luôn xác định góc phần tư trước khi ghi dấu.
2. Dùng độ trong công thức l = R·α. Công thức chỉ đúng khi α ở rađian.
3. Máy tính để sai chế độ. Bấm sin(π/6) khi máy đang ở chế độ độ (D) sẽ ra 0,0091… chứ không phải 0,5. Kiểm tra chữ D hay R trên màn hình.
4. Lấy căn mà quên ±. Từ sin²α = 144/169 phải viết sin α = ±12/13, rồi mới chọn dấu theo khoảng của α.
5. Nhầm chiều quay. Chiều dương là ngược chiều kim đồng hồ; kim đồng hồ thật thì quay theo chiều âm.
6. Nhầm hai góc hơn kém π với hai góc bù. sin(π − α) = sin α nhưng sin(π + α) = −sin α.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Đổi đơn vị và tính độ dài cung

Nhớ 180° = π rad. Tính cung thì góc phải ở rađian.

Bài 1. a) Đổi 108° sang rađian. b) Đổi −5π/9 sang độ. c) Kim phút đồng hồ dài 12 cm. Trong 25 phút, đầu kim vạch một cung dài bao nhiêu?

Bài 2. Một bánh pizza tròn đường kính 32 cm được cắt thành các miếng bằng nhau, mỗi miếng có góc ở tâm 40°. Tính độ dài phần viền (cung) của một miếng.

Dạng 2. Giá trị lượng giác của góc lớn, góc âm

Bỏ bớt số vòng nguyên → xác định điểm trên đường tròn → xét dấu.

Bài 3. Tính: a) cos 1125°. b) sin(−870°).

Bài 4. Tính: a) tan(13π/4). b) cos(−20π/3).

Dạng 3. Biết một giá trị, tính các giá trị còn lại

Dùng sin²α + cos²α = 1 tìm bình phương → chọn dấu theo góc phần tư → tính tan, cot.

Bài 5. Cho cos α = −5/13 và π < α < 3π/2. Tính sin α, tan α, cot α.

Bài 6. Cho sin α = −7/25 và 3π/2 < α < 2π. Tính cos α, tan α, cot α.

Dạng 4. Bài toán thực tế về chuyển động quay

Đổi số vòng ra rađian (1 vòng = 2π) → l = R·α.

Bài 7. Một vòng quay khổng lồ bán kính 30 m, quay một vòng hết 15 phút. Trong 4 phút, cabin quay một góc bao nhiêu và đi được bao xa?

Bài 8. Bánh xe máy đường kính 60 cm quay 5 vòng mỗi giây. Hỏi xe chạy với tốc độ khoảng bao nhiêu km/h?

Chuyện bên lề

Vì sao một vòng là 360 độ? Không ai biết chắc. Các nhà thiên văn Hy Lạp cổ như Hipparchus đã chia đường tròn thành 360 phần. Người ta hay kể rằng con số này đến từ hệ đếm 60 của người Babylon, hoặc vì nó gần bằng số ngày trong năm, hoặc đơn giản vì 360 có tới 24 ước nên rất dễ chia. Dù lí do nào thì 360 vẫn là con số do con người chọn, không có sẵn trong hình tròn.

Rađian: lấy bán kính làm thước. Khoảng năm 1714, nhà toán học Anh Roger Cotes mô tả cách đo góc tự nhiên hơn: lấy chính bán kính làm thước đo cung. Ông có đủ mọi thứ, trừ cái tên.

Cái tên đến muộn 160 năm. Từ "radian" lần đầu được in ra ngày 5 tháng 6 năm 1873, trong một đề thi ở Queen's College, Belfast, do James Thomson soạn (ông là anh trai của nhà vật lí Lord Kelvin). Cùng thời, Thomas Muir ở Scotland còn phân vân giữa "rad", "radial" và "radian", rồi cũng chọn "radian".

Ngày nay. Mọi ngôn ngữ lập trình tính sin, cos theo rađian. Sóng âm trong tai nghe, điện xoay chiều, tín hiệu Wi-Fi, phép xoay nhân vật trong trò chơi đều là sin và cos của một góc tăng mãi theo thời gian, tức một góc lượng giác quay rất nhiều vòng.

Trò chơi ở nhà (5 phút)

Đo 1 rađian bằng sợi dây. Lấy một cái đĩa hoặc nắp nồi tròn và một sợi dây.

1. Cắt sợi dây dài đúng bằng bán kính của đĩa.
2. Uốn sợi dây ôm theo mép đĩa, đánh dấu hai đầu, nối hai dấu với tâm. Góc vừa có là 1 rađian. Ước lượng xem nó khoảng bao nhiêu độ (đáp án: gần 57°).
3. Đặt nối tiếp sợi dây quanh mép đĩa. Cần bao nhiêu sợi mới hết một vòng? (Hơn 6 một chút, vì 2π ≈ 6,28.)

Thử máy tính. Bấm sin 30°, sin 390°, sin 750°, sin(−330°). Vì sao bốn kết quả giống nhau? Rồi đổi máy sang chế độ rađian và bấm sin(π/6) để kiểm tra.