Công thức lượng giác

Mở đầu: sin(30° + 45°) có bằng sin 30° + sin 45° không?

Thử nhé: sin 30° + sin 45° ≈ 0,5 + 0,71 = 1,21. Lớn hơn 1, mà sin thì không bao giờ vượt quá 1. Vậy không được tách sin(a + b) thành sin a + sin b.

Bài này cho bạn bốn nhóm công thức để tách cho đúng: cộng, nhân đôi, tích thành tổng, tổng thành tích. Tin vui: chỉ cần nhớ nhóm đầu, ba nhóm sau đều suy ra được.

1. Công thức cộng

Mẹo nhớ: cos thì cos cos, sin sin, đổi dấu. Sin thì sin cos, cos sin, giữ dấu.

• Ví dụ 1 (tách góc). sin 105° = sin(60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45° = (√3/2)(√2/2) + (1/2)(√2/2) = (√6 + √2)/4.
• Ví dụ 2 (gộp ngược lại). cos 50° cos 20° + sin 50° sin 20° chính là vế phải của cos(a − b), nên bằng cos 30° = √3/2.

2. Công thức nhân đôi (cho b = a)

• sin 2a = 2 sin a cos a
• cos 2a = cos² a − sin² a = 2cos² a − 1 = 1 − 2sin² a
• tan 2a = 2 tan a / (1 − tan² a)

Suy ngược lại được công thức hạ bậc: cos² a = (1 + cos 2a)/2, sin² a = (1 − cos 2a)/2.

• Ví dụ 1. Góc nhọn a có sin a = 3/5 thì cos a = 4/5, nên sin 2a = 2 · 3/5 · 4/5 = 24/25.
• Ví dụ 2. 2 sin 15° cos 15° = sin 30° = 1/2 (nhìn ra mẫu "2 sin cos" là xong).

3. Biến tích thành tổng

Cộng (hoặc trừ) hai công thức cộng với nhau, một nửa số hạng triệt tiêu:

• cos a cos b = ½ [cos(a − b) + cos(a + b)]

• sin a sin b = ½ [cos(a − b) − cos(a + b)]

• sin a cos b = ½ [sin(a − b) + sin(a + b)]

• Ví dụ 1. sin 75° · sin 15° = ½ (cos 60° − cos 90°) = ½ (1/2 − 0) = 1/4.

• Ví dụ 2. sin 52,5° · cos 7,5° = ½ (sin 45° + sin 60°) = (√2 + √3)/4.

4. Biến tổng thành tích

Đặt u = a − b, v = a + b rồi đọc ngược nhóm 3:

• cos u + cos v = 2 cos((u+v)/2) cos((u−v)/2)
• cos u − cos v = **−**2 sin((u+v)/2) sin((u−v)/2)
• sin u + sin v = 2 sin((u+v)/2) cos((u−v)/2)
• sin u − sin v = 2 cos((u+v)/2) sin((u−v)/2)

Mẹo nhớ: cos + cos = 2 cos cos · cos − cos = −2 sin sin · sin + sin = 2 sin cos · sin − sin = 2 cos sin (luôn là nửa tổng rồi nửa hiệu).

• Ví dụ 1. sin 75° + sin 15° = 2 sin 45° cos 30° = √6/2.
• Ví dụ 2. cos 75° − cos 15° = −2 sin 45° sin 30° = −√2/2.

Bảng tóm tắt

Lỗi hay gặp

1. Tách sin(a + b) = sin a + sin b. Sai. Phải dùng công thức cộng.
2. Nhầm dấu của cos: cos(a + b) lại có dấu trừ ở giữa, cos(a − b) có dấu cộng. Sin thì giữ nguyên dấu.
3. Quên xét dấu theo góc phần tư khi tìm cos a từ sin a (hoặc ngược lại). Ví dụ sin a = 5/13 với π/2 < a < π thì cos a = **−**12/13, không phải 12/13.
4. Quên dấu trừ đứng đầu trong cos u − cos v = −2 sin sin.
5. Quên hệ số: tích thành tổng có ½, tổng thành tích có 2.
6. sin 2a = 2 sin a là sai; đúng là 2 sin a cos a.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Tính giá trị lượng giác bằng công thức cộng

Cách làm: tách góc thành tổng/hiệu hai góc quen thuộc → tìm giá trị còn thiếu, chú ý dấu → thay vào công thức.

Bài 1. a) Tính cos 165°. b) Cho sin a = 5/13, π/2 < a < π. Tính sin(a + π/6). c) Tính tan 105°.

Dạng 2. Dùng công thức nhân đôi

Cách làm: tìm đủ sin a và cos a rồi thay vào; đề cho sin a ± cos a thì bình phương hai vế.

Bài 2. a) Cho sin a = −4/5, π < a < 3π/2. Tính sin 2a. b) Biết sin a − cos a = 1/3. Tính sin 2a. c) Tính sin² 15°.

Dạng 3. Đổi qua lại giữa tích và tổng

Cách làm: thấy tích thì đổi thành tổng, thấy tổng thì đổi thành tích, sao cho xuất hiện góc đặc biệt.

Bài 3. a) Tính sin 37,5° · sin 7,5°. b) Tính sin 50° + sin 10° − cos 20°. c) Tính cos 82,5° · cos 37,5°.

Dạng 4. Bài toán thực tế

Cách làm: nhận ra mẫu công thức → viết gọn lại → rồi mới tính.

Bài 4. Một cầu thủ sút bóng với góc sút α. Tầm bay xa (mét) là L = 80 sin α cos α. a) Viết gọn công thức. b) Sút góc nào thì bóng bay xa nhất?

Bài 5. Hai dây đàn phát ra y = sin(2π · 440t) + sin(2π · 444t). Viết y thành tích. Tai nghe thấy gì?

Chuyện bên lề

Nhân bằng phép cộng. Khoảng năm 1580, trên đảo Hven (khi đó thuộc Đan Mạch), nhà thiên văn Tycho Brahe đo vị trí các vì sao chính xác chưa từng có. Nhưng để dùng được số đo, ông và các trợ lí phải nhân hàng nghìn con số bảy, tám chữ số, toàn bằng tay. Lúc đó chưa có máy tính, cũng chưa có logarit.

Năm 1580, nhà toán học Paul Wittich tới thăm đài quan sát và chỉ cho Tycho một mẹo: muốn nhân hai số, hãy coi chúng là cos a và cos b, tra bảng tìm a và b, rồi dùng cos a cos b = ½ [cos(a − b) + cos(a + b)]. Phép nhân biến thành hai lần tra bảng, một phép cộng và một lần chia đôi. Cách này có cái tên rất khó đọc là prosthaphaeresis (tiếng Hy Lạp, nghĩa là "cộng và trừ").

Ai là người đầu tiên nghĩ ra thì các nhà sử học chưa thống nhất: công thức đã xuất hiện trong bản thảo của Johannes Werner từ khoảng năm 1510, và nhiều người khác (Bürgi, Clavius…) cũng góp phần. Chỉ biết rằng nó được dùng suốt mấy chục năm, cho tới khi John Napier công bố logarit năm 1614, một cách đổi nhân thành cộng gọn hơn nhiều.

Ngày nay. Khi lên dây đàn, bạn gảy hai dây cùng lúc. Nếu chúng lệch nhau một chút, ví dụ 440 Hz và 444 Hz, công thức tổng thành tích cho biết bạn sẽ nghe một nốt 442 Hz có độ to nhấp nhô 4 lần mỗi giây (gọi là phách). Vặn dây tới khi tiếng nhấp nhô chậm dần rồi mất hẳn là hai dây đã khớp. Công thức tích thành tổng còn nằm trong mọi chiếc radio: nhân hai sóng với nhau sẽ ra hai sóng có tần số tổng và hiệu.

Trò chơi ở nhà (5 phút)

Nghe phách. Mở hai ứng dụng phát âm (tone generator) trên hai điện thoại: một máy 440 Hz, một máy 443 Hz. Đếm xem trong 10 giây âm thanh "nhấp nhô" bao nhiêu lần (khoảng 30 lần, tức 3 lần mỗi giây, đúng bằng 443 − 440). Đổi máy thứ hai thành 441 Hz rồi đoán trước khi nghe. Cuối cùng, viết công thức tổng thành tích cho trường hợp vừa thử.