Hàm số lượng giác

Một điểm chạy đều quanh đường tròn. Nếu bạn chỉ nhìn độ cao của nó, bạn sẽ thấy nó lên, xuống, rồi lại lên, lặp mãi. Nhịp thở, sóng biển, dòng điện trong ổ cắm cũng lên xuống đều đặn như vậy. Bài này cho bạn bốn hàm số mô tả được kiểu "lặp lại" ấy: sin, cos, tan, cot.

Học xong bạn sẽ trả lời được bốn câu hỏi cho mỗi hàm: xác định khi nào, chẵn hay lẻ, lặp lại sau bao lâu, đồ thị trông ra sao.

Trong cả bài, k là số nguyên (k ∈ ℤ) và góc đo bằng rađian.

1. Định nghĩa và tập xác định

Với mỗi số thực x, lấy điểm M trên đường tròn lượng giác ứng với góc x rađian. Khi đó:

• tung độ của M là sin x, hoành độ của M là cos x;
• tan x = sin x / cos x, cot x = cos x / sin x.

Mỗi x chỉ cho đúng một giá trị, nên đây là các hàm số.

Ví dụ 1. y = cot 2x. Cần sin 2x ≠ 0, tức 2x ≠ kπ, nên x ≠ kπ/2. Điều kiện đặt cho cả cụm 2x trước, rồi mới chia cho 2.

Ví dụ 2. y = 1/(1 − sin x). Mẫu khác 0 khi sin x ≠ 1. Trên đường tròn, sin bằng 1 chỉ tại điểm cao nhất, tức x = π/2 + k2π. Vậy x ≠ π/2 + k2π. (Chú ý là k2π chứ không phải kπ: điểm thấp nhất có sin bằng −1, không bị loại.)

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số f có tập xác định D đối xứng qua 0 (x thuộc D thì −x cũng thuộc D).

• f(−x) = f(x) với mọi x: hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung.
• f(−x) = −f(x) với mọi x: hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ.

Trên đường tròn, hai góc x và −x có cùng hoành độ, còn tung độ đối nhau. Vì thế:

• cos(−x) = cos x → côsin là hàm chẵn;
• sin(−x) = −sin x, tan(−x) = −tan x, cot(−x) = −cot x → sin, tan, cot là hàm lẻ.

Ví dụ 1. f(x) = x² cos x. Ta có f(−x) = (−x)² cos(−x) = x² cos x = f(x). Hàm chẵn.

Ví dụ 2. g(x) = x + sin x. Ta có g(−x) = −x + sin(−x) = −x − sin x = −g(x). Hàm lẻ.

3. Hàm số tuần hoàn, chu kì

Điểm M chạy thêm đúng một vòng (thêm 2π) thì trở về chỗ cũ, nên sin(x + 2π) = sin x.

Hàm số f gọi là tuần hoàn nếu có số T khác 0 sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x. Số T dương nhỏ nhất như thế gọi là chu kì.

• sin và cos có chu kì 2π.
• tan và cot chỉ cần nửa vòng: chu kì π.
• Tổng quát: y = A sin ωx và y = A cos ωx có chu kì T = 2π / |ω|. (Với tan, cot: T = π / |ω|.)

Ví dụ 1. y = sin 3x chạy nhanh gấp ba, chu kì T = 2π/3.

Ví dụ 2. y = 4cos(x/2) chạy chậm một nửa, chu kì T = 2π : (1/2) = 4π. Số 4 đứng trước chỉ làm sóng cao lên, không đổi chu kì.

4. Đồ thị y = sin x và y = cos x

Nối các điểm đặc biệt của sin x, ta được một đường lượn sóng gọi là đường hình sin.

• Tập giá trị: đoạn [−1; 1].
• sin đồng biến trên (−π/2; π/2), nghịch biến trên (π/2; 3π/2), rồi lặp lại sau mỗi 2π.
• Đồ thị cos chính là đường hình sin dịch sang trái π/2. Nó đối xứng qua trục tung (đúng với tính chẵn). cos đồng biến trên (−π; 0), nghịch biến trên (0; π).

Ví dụ 1. y = 3 sin x: sóng cao gấp ba, tập giá trị là [−3; 3].

Ví dụ 2. y = 2cos x + 1: vì −2 ≤ 2cos x ≤ 2 nên cộng 1 vào được −1 ≤ y ≤ 3. Tập giá trị là [−1; 3].

5. Đồ thị y = tan x và y = cot x

• Hàm tan không xác định tại π/2 + kπ, nên đồ thị bị cắt thành từng nhánh. Mỗi nhánh đi lên từ −∞ tới +∞: tập giá trị là ℝ, hàm đồng biến trên từng khoảng (−π/2 + kπ; π/2 + kπ). Các nhánh giống hệt nhau, cách nhau đúng π.
• Hàm cot đứt tại kπ, mỗi nhánh đi xuống: tập giá trị là ℝ, hàm nghịch biến trên từng khoảng (kπ; π + kπ).

Ví dụ 1. Trên khoảng (−π/2; π/2): tan x = 0 tại x = 0, và tan x > 0 khi 0 < x < π/2.

Ví dụ 2. Trên khoảng (0; π): cot x = 0 tại x = π/2, và cot x < 0 khi π/2 < x < π.

Bảng tổng hợp

Lỗi hay gặp

1. Thấy sin là kết luận "hàm lẻ". y = 1 + sin x có f(−x) = 1 − sin x, không bằng f(x), cũng không bằng −f(x): không chẵn, không lẻ. Luôn tính f(−x) rồi mới kết luận.
2. Quên kiểm tra tập xác định đối xứng trước khi xét chẵn lẻ.
3. Đặt điều kiện cho x thay vì cho cả cụm. Với tan 2x phải viết 2x ≠ π/2 + kπ rồi mới chia: x ≠ π/4 + kπ/2 (nhớ chia cả kπ).
4. Lẫn kπ với k2π. sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, nhưng sin x ≠ 1 ⇔ x ≠ π/2 + k2π.
5. Nhân số âm mà không đổi chiều bất đẳng thức. Từ −1 ≤ cos x ≤ 1, nhân −2 được 2 ≥ −2cos x ≥ −2.
6. Cho rằng số đứng trước làm đổi chu kì. y = 4 sin x vẫn có chu kì 2π; chỉ hệ số của x mới đổi chu kì.
7. Tưởng cos²x cũng nằm từ −1 đến 1. Đúng ra là 0 ≤ cos²x ≤ 1.
8. Nối liền các nhánh của tan, cot khi vẽ. Hai hàm này không xác định tại các đường nét đứt, đồ thị không cắt chúng.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Tìm tập xác định

Cách làm: có mẫu thì mẫu khác 0; có tan thì cos khác 0; có cot thì sin khác 0.

Bài 1. Tìm tập xác định: a) y = 2/(1 + cos x) b) y = cot(x + π/4) c) y = tan(x/2)

Bài 2. Tìm tập xác định: a) y = (3 − sin x)/sin x b) y = 1/(cos x + 3)

Dạng 2. Xét tính chẵn, lẻ

Cách làm: kiểm tra D đối xứng, tính f(−x), so với f(x) và −f(x).

Bài 3. Xét tính chẵn, lẻ: a) y = x³ + tan x b) y = 1 + sin x c) y = x² + cos 3x

Bài 4. Xét tính chẵn, lẻ: a) y = sin x · cos x b) y = x · sin x + 5

Dạng 3. Tìm tập giá trị và chu kì

Cách làm: bắt đầu từ −1 ≤ sin, cos ≤ 1 rồi nhân, cộng dần; chu kì = 2π : |hệ số của x|.

Bài 5. Tìm tập giá trị và chu kì: a) y = 5 − 2cos 3x b) y = 3 sin(x/4) c) y = 2 sin 5x − 1

Dạng 4. Bài toán thực tế

Cách làm: đọc biên độ và hệ số của t; chu kì = 2π : hệ số của t; lớn nhất, nhỏ nhất suy từ −1 ≤ sin ≤ 1.

Bài 6. Độ cao (mét) của một cabin đu quay sau t phút là h = 32 + 30 sin(πt/6).
a) Một vòng quay mất bao lâu? b) Cabin lên cao nhất, xuống thấp nhất là bao nhiêu? c) Lần đầu cabin lên đỉnh là lúc nào?

Bài 7. Một chiếc phao nhấp nhô trên mặt hồ. Độ lệch của phao so với mặt nước yên, tính bằng xăng-ti-mét, sau t giây là d = 8 cos(πt/2).
a) Phao nhấp nhô xong một nhịp mất bao lâu? b) Phao lên cao nhất bao nhiêu so với mặt nước yên? c) Lúc t = 1 giây phao ở đâu?

Muốn luyện thêm, bạn in phiếu bài tập về nhà (PDF) (đề trước, lời giải ở tờ sau).

Chuyện bên lề

Chữ "sin" sinh ra từ một lần đọc nhầm. Khoảng năm 500, nhà toán học Ấn Độ Aryabhata lập bảng "nửa dây cung" để tính vị trí sao trời, và gọi nó là jyā (dây cung). Người Ả Rập phiên âm thành jiba, một từ vô nghĩa trong tiếng của họ, và vì chữ Ả Rập thường viết không có nguyên âm nên người đời sau đọc thành jaib, nghĩa là "nếp gấp". Sang thế kỉ 12, các dịch giả châu Âu dịch sách Ả Rập ra tiếng La-tinh đã dùng luôn từ La-tinh cùng nghĩa: sinus. Từ đó mới có "sine", rồi "sin".

Từ đoạn thẳng thành hàm số. Suốt hơn một nghìn năm, sin vẫn là độ dài một đoạn thẳng trong đường tròn. Phải tới năm 1748, trong cuốn Introductio in analysin infinitorum, Leonhard Euler mới coi sin và cos là hàm số của một con số, đúng như cách bạn học hôm nay. Cũng trong cuốn ấy ông phân loại hàm chẵn, hàm lẻ.

Một ý tưởng từng bị phản đối. Năm 1807, Joseph Fourier trình bày trước Viện Hàn lâm ở Paris một ý tưởng táo bạo: một dao động bất kì đều viết được thành tổng của các sóng sin và côsin. Lagrange và Laplace, hai nhà toán học lớn nhất nước Pháp lúc ấy, đã phản đối. Mãi tới năm 1822 công trình của Fourier mới được in thành sách. (Về sau người ta chỉ ra rằng khẳng định "bất kì" cần thêm điều kiện mới đúng, nhưng ý tưởng chính thì đứng vững.)

Ngày nay. Điện xoay chiều trong ổ cắm, âm thanh, sóng vô tuyến đều được mô tả bằng hàm sin và côsin. Khi bạn nghe một bài nhạc số (MP3, AAC), máy đã tách âm thanh thành các sóng côsin rồi bỏ bớt phần tai người không nghe thấy, theo đúng tinh thần của Fourier.

(Nguồn từng chi tiết: lich-su.md.)

Trò chơi ở nhà (5 phút)

Vẽ sóng bằng nắp chai. Lấy một cái nắp chai tròn, đánh dấu một chấm trên mép. Đặt nắp lên giấy kẻ ô, xoay nắp mỗi lần một phần tám vòng. Mỗi lần xoay, bạn đo độ cao của chấm so với tâm nắp rồi chấm một điểm lên giấy, lần sau dịch sang phải một ô. Sau 8 lần, nối các điểm lại: bạn vừa tự vẽ một chu kì của đường hình sin.

Thử tiếp: nếu mỗi lần xoay một phần tư vòng mà vẫn dịch sang phải một ô, sóng sẽ "nhanh" lên hay "chậm" đi? Chu kì thay đổi thế nào?