anim.vn

Toán lớp 11 · Bài 4 · 9 phút

Phương trình lượng giác cơ bản

Tải bài tập về nhà (PDF, có lời giải)Xem trên YouTube

Mục lục video

  1. Mở đầu: mấy giờ tàu vào cảng?
  2. Chuyện bảng dây cung
  3. Phương trình tương đương
  4. Phương trình sin x = m
  5. Phương trình cos x = m
  6. Phương trình tan x = m, cot x = m
  7. Bốn công thức nghiệm
  8. Dạng 1: Giá trị đặc biệt
  9. Dạng 2: sin u = sin v, cos u = cos v
  10. Dạng 3: Phương trình tan, cot
  11. Dạng 4: Bài toán thực tế
  12. Kết bài

Ở một bến cảng, mực nước biển lên rồi xuống đều đặn, cứ khoảng 12 giờ lại lặp lại. Một con tàu chỉ cập bến được khi nước sâu ít nhất 5 m. Vậy lúc mấy giờ thì nước sâu đúng 5 m? Muốn trả lời, bạn phải giải một phương trình có chứa côsin. Bài này cho bạn bốn "chìa khoá" để giải mọi phương trình kiểu đó.

1. Hai phương trình tương đương

Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu: ⇔\Leftrightarrow.

  • Ví dụ 1. x−4=0x - 4 = 0 và x3=64x^3 = 64 đều chỉ có nghiệm x=4x = 4, nên x−4=0⇔x3=64x - 4 = 0 \Leftrightarrow x^3 = 64.
  • Ví dụ 2. x=3x = 3 và x2=9x^2 = 9 không tương đương, vì phương trình sau có thêm nghiệm x=−3x = -3.

Giải phương trình chính là biến đổi tương đương (cộng, trừ hai vế cùng một số; nhân, chia hai vế với cùng một số khác 0) để đưa nó về dạng đơn giản hơn.

2. Phương trình sin⁡x=m\sin x = m

Trên đường tròn lượng giác, sin là tung độ. Kẻ đường ngang ở độ cao mm:

  • ∣m∣>1|m| > 1: đường ngang không chạm đường tròn, phương trình vô nghiệm.
  • ∣m∣≤1|m| \le 1: đường ngang cắt đường tròn tại hai điểm đối xứng nhau qua trục tung, ứng với góc α\alpha và π−α\pi - \alpha. Quay thêm đủ vòng thì điểm về chỗ cũ, nên mỗi nghiệm được cộng k2πk2\pi.

sin⁡x=sin⁡α⇔x=α+k2π  hoặc  x=π−α+k2π(k∈Z)\sin x = \sin\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k2\pi \ \text{ hoặc } \ x = \pi - \alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

  • Ví dụ 1. sin⁡x=−12=sin⁡(−π6)\sin x = -\dfrac12 = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) nên x=−π6+k2πx = -\dfrac{\pi}{6} + k2\pi hoặc x=π−(−π6)+k2π=7π6+k2πx = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + k2\pi = \dfrac{7\pi}{6} + k2\pi.
  • Ví dụ 2. sin⁡x=1\sin x = 1: đường ngang chỉ chạm đường tròn tại một điểm, ở góc π2\dfrac{\pi}{2}. Hai họ nghiệm trùng nhau (π−π2=π2\pi - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}), nên chỉ cần viết x=π2+k2πx = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi.

Góc tính bằng độ thì viết x=α∘+k360∘x = \alpha^\circ + k360^\circ hoặc x=180∘−α∘+k360∘x = 180^\circ - \alpha^\circ + k360^\circ.

3. Phương trình cos⁡x=m\cos x = m

Côsin là hoành độ, nên lần này kẻ đường thẳng đứng. Hai giao điểm đối xứng nhau qua trục hoành: α\alpha và −α-\alpha.

cos⁡x=cos⁡α⇔x=±α+k2π(k∈Z)\cos x = \cos\alpha \Leftrightarrow x = \pm\alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

  • Ví dụ 1. cos⁡x=32=cos⁡π6\cos x = \dfrac{\sqrt3}{2} = \cos\dfrac{\pi}{6} nên x=±π6+k2πx = \pm\dfrac{\pi}{6} + k2\pi.
  • Ví dụ 2. cos⁡x=0,3\cos x = 0{,}3 không phải giá trị đặc biệt. Bấm máy tính SHIFT cos 0,3 (chế độ độ) được khoảng 72,5∘72{,}5^\circ, nên x≈±72,5∘+k360∘x \approx \pm 72{,}5^\circ + k360^\circ.

Cũng như sin: ∣m∣>1|m| > 1 thì vô nghiệm.

4. Phương trình tan⁡x=m\tan x = m và cot⁡x=m\cot x = m

Tang và côtang lặp lại sau mỗi nửa vòng (π\pi): hai điểm đối xứng nhau qua tâm đường tròn có cùng tang. Vì thế chỉ có một họ nghiệm, và phương trình luôn có nghiệm với mọi mm.

tan⁡x=tan⁡α⇔x=α+kπcot⁡x=cot⁡α⇔x=α+kπ(k∈Z)\tan x = \tan\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \qquad \cot x = \cot\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

  • Ví dụ 1. tan⁡x=3=tan⁡π3\tan x = \sqrt3 = \tan\dfrac{\pi}{3} nên x=π3+kπx = \dfrac{\pi}{3} + k\pi.
  • Ví dụ 2. cot⁡x=3=cot⁡π6\cot x = \sqrt3 = \cot\dfrac{\pi}{6} nên x=π6+kπx = \dfrac{\pi}{6} + k\pi.

Góc tính bằng độ thì cộng k180∘k180^\circ.

Bảng tóm tắt

Phương trìnhĐiều kiện có nghiệmNghiệm (k∈Zk \in \mathbb{Z})
sin⁡x=sin⁡α\sin x = \sin\alpha∣m∣≤1\lvert m\rvert \le 1x=α+k2πx = \alpha + k2\pi hoặc x=π−α+k2πx = \pi - \alpha + k2\pi
cos⁡x=cos⁡α\cos x = \cos\alpha∣m∣≤1\lvert m\rvert \le 1x=±α+k2πx = \pm\alpha + k2\pi
tan⁡x=tan⁡α\tan x = \tan\alphamọi mmx=α+kπx = \alpha + k\pi
cot⁡x=cot⁡α\cot x = \cot\alphamọi mmx=α+kπx = \alpha + k\pi

Trường hợp gọn: sin⁡x=0⇔x=kπ\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi; sin⁡x=1⇔x=π2+k2π\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi; cos⁡x=0⇔x=π2+kπ\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi; cos⁡x=1⇔x=k2π\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi.

Quay lại bến cảng: giả sử mực nước sau tt giờ là h=4+2cos⁡πt6h = 4 + 2\cos\dfrac{\pi t}{6} (mét). Nước sâu 5 m khi cos⁡πt6=12=cos⁡π3\cos\dfrac{\pi t}{6} = \dfrac12 = \cos\dfrac{\pi}{3}, tức πt6=±π3+k2π\dfrac{\pi t}{6} = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi, hay t=±2+12kt = \pm 2 + 12k. Trong 12 giờ đầu, đó là lúc 2 giờ (k=0k = 0) và lúc 10 giờ (k=1k = 1).

Lỗi hay gặp

  1. Quên họ nghiệm thứ hai của sin (π−α\pi - \alpha), hoặc lấy nhầm ±α\pm\alpha của côsin cho sin.
  2. Không kiểm tra ∣m∣≤1|m| \le 1: 3cos⁡x=43\cos x = 4 cho cos⁡x=43>1\cos x = \dfrac43 > 1, vô nghiệm, không viết công thức được.
  3. Chia mà quên chia phần kk: từ 2x=40∘+k360∘2x = 40^\circ + k360^\circ phải ra x=20∘+k180∘x = 20^\circ + k180^\circ, không phải x=20∘+k360∘x = 20^\circ + k360^\circ.
  4. Trộn độ với rađian trong một công thức, kiểu x=30∘+k2πx = 30^\circ + k2\pi. Đã dùng độ thì cộng k360∘k360^\circ (hoặc k180∘k180^\circ với tan, cot).
  5. Cộng k2πk2\pi cho tan, cot: chu kì của chúng là π\pi, viết k2πk2\pi sẽ mất một nửa số nghiệm.
  6. Máy tính sai chế độ: muốn ra độ thì màn hình phải có chữ D, muốn rađian thì chữ R.
  7. Hai vế khác tên (sin⁡3x=cos⁡x\sin 3x = \cos x): phải đổi về cùng tên trước, cos⁡x=sin⁡(90∘−x)\cos x = \sin(90^\circ - x).

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Phương trình sin, côsin với giá trị đặc biệt

Cách làm: đưa về sin⁡x=m\sin x = m (hoặc cos⁡x=m\cos x = m) → kiểm tra −1≤m≤1-1 \le m \le 1 → đổi mm thành sin (côsin) của một góc → viết hai họ nghiệm.

Bài 1. Giải phương trình: a) 2sin⁡x+2=02\sin x + \sqrt2 = 0; b) 3cos⁡x=43\cos x = 4; c) 2cos⁡x−2=02\cos x - \sqrt2 = 0.

Đáp án

a) sin⁡x=−22=sin⁡(−π4)\sin x = -\dfrac{\sqrt2}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) nên x=−π4+k2πx = -\dfrac{\pi}{4} + k2\pi hoặc x=5π4+k2πx = \dfrac{5\pi}{4} + k2\pi.

b) cos⁡x=43>1\cos x = \dfrac43 > 1: vô nghiệm.

c) cos⁡x=22=cos⁡π4\cos x = \dfrac{\sqrt2}{2} = \cos\dfrac{\pi}{4} nên x=±π4+k2πx = \pm\dfrac{\pi}{4} + k2\pi.

Dạng 2. Hai vế cùng là sin hoặc cùng là côsin

Cách làm: coi mỗi biểu thức là một góc uu, vv rồi áp dụng công thức. Hai vế khác tên thì đổi về cùng tên.

Bài 2. Giải phương trình (góc tính bằng độ): a) cos⁡3x=cos⁡(x+40∘)\cos 3x = \cos(x + 40^\circ); b) sin⁡3x=cos⁡x\sin 3x = \cos x.

Đáp án

a) 3x=x+40∘+k360∘⇒x=20∘+k180∘3x = x + 40^\circ + k360^\circ \Rightarrow x = 20^\circ + k180^\circ; 3x=−x−40∘+k360∘⇒x=−10∘+k90∘3x = -x - 40^\circ + k360^\circ \Rightarrow x = -10^\circ + k90^\circ.

b) sin⁡3x=sin⁡(90∘−x)\sin 3x = \sin(90^\circ - x). 3x=90∘−x+k360∘⇒x=22,5∘+k90∘3x = 90^\circ - x + k360^\circ \Rightarrow x = 22{,}5^\circ + k90^\circ; 3x=180∘−(90∘−x)+k360∘⇒x=45∘+k180∘3x = 180^\circ - (90^\circ - x) + k360^\circ \Rightarrow x = 45^\circ + k180^\circ.

Dạng 3. Phương trình tang, côtang

Cách làm: đưa về tan⁡u=tan⁡v\tan u = \tan v (hoặc cot⁡u=cot⁡v\cot u = \cot v) rồi viết u=v+kπu = v + k\pi.

Bài 3. Giải phương trình: a) tan⁡(x−15∘)=3\tan(x - 15^\circ) = \sqrt3; b) 3cot⁡2x−3=03\cot 2x - \sqrt3 = 0.

Đáp án

a) 3=tan⁡60∘\sqrt3 = \tan 60^\circ nên x−15∘=60∘+k180∘x - 15^\circ = 60^\circ + k180^\circ, x=75∘+k180∘x = 75^\circ + k180^\circ.

b) cot⁡2x=33=cot⁡π3\cot 2x = \dfrac{\sqrt3}{3} = \cot\dfrac{\pi}{3} nên 2x=π3+kπ2x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi, x=π6+kπ2x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}.

Dạng 4. Bài toán thực tế

Cách làm: thay số để được phương trình lượng giác → giải ra các họ nghiệm → chọn kk hợp điều kiện.

Bài 4. Một cabin đu quay cách mặt đất h=32+30sin⁡πt15h = 32 + 30\sin\dfrac{\pi t}{15} (mét) sau tt phút. Trong 30 phút đầu, lúc nào cabin ở độ cao 47 m?

Đáp án

30sin⁡πt15=15⇔sin⁡πt15=12=sin⁡π630\sin\dfrac{\pi t}{15} = 15 \Leftrightarrow \sin\dfrac{\pi t}{15} = \dfrac12 = \sin\dfrac{\pi}{6}.

πt15=π6+k2π⇒t=2,5+30k\dfrac{\pi t}{15} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \Rightarrow t = 2{,}5 + 30k; πt15=5π6+k2π⇒t=12,5+30k\dfrac{\pi t}{15} = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \Rightarrow t = 12{,}5 + 30k.

Trong 30 phút đầu chỉ có k=0k = 0: lúc 2,5 phút (đang đi lên) và lúc 12,5 phút (đang đi xuống).

Luyện thêm: phiếu bài tập về nhà (PDF) (cùng bốn dạng, bài khác).

Chuyện bên lề

  • Bảng lượng giác đầu tiên. Thuỷ triều lên xuống chủ yếu là do lực hút của Mặt Trăng (và Mặt Trời). Hơn hai nghìn năm trước, nhà thiên văn Hy Lạp Hipparchus (khoảng 190 – khoảng 120 TCN) muốn tính trước đường đi của Mặt Trăng và Mặt Trời. Để làm việc đó, ông lập ra bảng dây cung: với mỗi góc ở tâm, bảng cho độ dài dây cung tương ứng. Đây là bảng lượng giác đầu tiên mà người ta biết đến.
  • Tra xuôi và tra ngược. Tra xuôi là từ góc ra độ dài. Tra ngược là biết giá trị rồi tìm lại góc, cũng chính là việc bạn làm khi giải sin⁡x=m\sin x = m.
  • Một bài toán nổi tiếng khác. Năm 1537, nhà toán học Ý Niccolò Tartaglia in cuốn Nova Scientia ("Khoa học mới"), lần đầu dùng toán học để nghiên cứu đường bay của đạn; năm 1638 Galileo chỉ ra đường bay ấy là một parabol. Bài toán tìm góc bắn của họ cũng dẫn tới một phương trình lượng giác.
  • Phím sin⁡−1\sin^{-1} trên máy tính. Kí hiệu này do John Herschel đưa ra năm 1813. Nó là "tìm góc khi biết sin", không phải 1sin⁡\dfrac{1}{\sin}, nên nhiều người khuyên viết là arcsin cho đỡ nhầm.
  • Ngày nay. Bảng dự báo thuỷ triều được tính bằng cách cộng nhiều hàm dạng côsin lại với nhau. Tìm góc từ giá trị lượng giác còn có trong cánh tay rô-bốt (tính góc khớp) và thiết bị dẫn đường.

Nguồn và ghi chú kiểm chứng: lich-su.md.

Trò chơi ở nhà 5 phút

Săn nghiệm trên đồng hồ. Vẽ một đường tròn lên giấy, coi như mặt đồng hồ 12 số (mỗi số cách nhau 30°, số 3 là góc 0°, đi ngược chiều kim đồng hồ). Một người ra đề kiểu "sin⁡x=12\sin x = \frac12", người kia đặt hai hạt đậu vào hai điểm nghiệm (ở đây là vị trí số 2 và số 10) rồi đọc to hai họ nghiệm. Với đề tang hoặc côtang, hai hạt đậu phải nằm đối nhau qua tâm. Ra đề "cos⁡x=2\cos x = 2" để gài bẫy: ai đặt hạt đậu là thua.