Dãy số

Một, một, hai, ba, năm, tám… Bạn đoán được số tiếp theo không? Là 13, vì mỗi số bằng tổng hai số đứng ngay trước. Những con số xếp hàng theo thứ tự như vậy là một dãy số. Học xong bài này bạn sẽ biết: dãy số là gì, có mấy cách cho một dãy số, và khi nào dãy tăng, giảm, bị chặn.

1. Dãy số là gì

Dãy số là một hàm số xác định trên tập số nguyên dương: cứ mỗi số thứ tự n (1, 2, 3, …) cho ra đúng một số, kí hiệu uₙ. Viết gọn cả dãy là (uₙ).

• u₁ là số hạng đầu, uₙ là số hạng thứ n, còn gọi là số hạng tổng quát.
• Dãy chỉ có m số hạng (n chạy từ 1 tới m) là dãy số hữu hạn: u₁ là số hạng đầu, uₘ là số hạng cuối. Không ghi gì thêm thì hiểu là dãy vô hạn.

Ví dụ 1 (hữu hạn). Một rạp hát có 6 hàng ghế. Hàng 1 có 8 ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 2 ghế. Số ghế từng hàng tạo thành dãy 8, 10, 12, 14, 16, 18. Dãy có 6 số hạng, số hạng đầu là 8, số hạng cuối là 18.

Ví dụ 2 (vô hạn). Các số nguyên dương chia hết cho 3, xếp tăng dần: 3, 6, 9, 12, … Dãy kéo dài mãi, số hạng tổng quát là uₙ = 3n.

2. Bốn cách cho một dãy số

Ví dụ 1 (công thức). uₙ = n² + 1. Thay n = 1, 2, 3, 4 được 2, 5, 10, 17. Muốn số hạng thứ 10 thì thay luôn n = 10: u₁₀ = 10² + 1 = 101.

Ví dụ 2 (truy hồi). u₁ = 3, uₙ = 2uₙ₋₁ − 1. Tính lần lượt: u₂ = 2·3 − 1 = 5, u₃ = 2·5 − 1 = 9, u₄ = 2·9 − 1 = 17. Truy hồi thì phải đi từng bước, không nhảy thẳng tới u₁₀ được.

Cùng một dãy có thể cho bằng nhiều cách. Dãy 3, 6, 9, 12, … vừa là "các số nguyên dương chia hết cho 3" (mô tả), vừa là uₙ = 3n (công thức), vừa là u₁ = 3, uₙ = uₙ₋₁ + 3 (truy hồi).

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

• (uₙ) tăng nếu uₙ₊₁ > uₙ với mọi n (số hạng sau luôn lớn hơn số hạng trước).
• (uₙ) giảm nếu uₙ₊₁ < uₙ với mọi n.

Cách xét: tính hiệu uₙ₊₁ − uₙ rồi xem dấu. Hiệu luôn dương thì dãy tăng, luôn âm thì dãy giảm.

Ví dụ 1. uₙ = 4n − 3. Ta có uₙ₊₁ = 4(n + 1) − 3 = 4n + 1, nên uₙ₊₁ − uₙ = (4n + 1) − (4n − 3) = 4 > 0. Dãy tăng.

Ví dụ 2. uₙ = 7 − 3n. Ta có uₙ₊₁ − uₙ = [7 − 3(n + 1)] − (7 − 3n) = −3 < 0. Dãy giảm.

Có những dãy không tăng cũng không giảm, ví dụ −1, 1, −1, 1, … (cứ lên rồi xuống).

4. Dãy số bị chặn

• (uₙ) bị chặn trên nếu có số M sao cho uₙ ≤ M với mọi n (có "trần").
• (uₙ) bị chặn dưới nếu có số m sao cho uₙ ≥ m với mọi n (có "sàn").
• (uₙ) bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới: m ≤ uₙ ≤ M với mọi n.

Ví dụ 1. uₙ = 1/n: 1, 1/2, 1/3, 1/4, … Mọi số hạng đều lớn hơn 0 và không vượt quá 1, tức là 0 < uₙ ≤ 1. Dãy bị chặn.

Ví dụ 2. uₙ = 3n: 3, 6, 9, … Mọi số hạng đều từ 3 trở lên nên dãy bị chặn dưới. Nhưng nó lớn mãi, không số nào giữ lại được, nên không bị chặn trên. Vậy dãy không bị chặn.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. Nhầm n với uₙ. n là số thứ tự (vị trí), uₙ mới là giá trị. Với uₙ = n² + 1 thì "số hạng thứ 3" là u₃ = 10, không phải 3.
2. Đoán công thức mà không thử lại. Dãy 2, 5, 8, 11, … mỗi bước thêm 3, nhiều bạn viết ngay uₙ = 3n + 2. Thử n = 1 được 5, sai. Công thức đúng là uₙ = 3n − 1. Luôn thử lại với n = 1 và n = 2.
3. Truy hồi mà quên số hạng đầu. Chỉ viết uₙ = uₙ₋₁ + 3 thì chưa xác định được dãy; phải có thêm u₁.
4. Chỉ so vài số hạng đầu rồi kết luận tăng, giảm. Tăng hay giảm phải đúng với mọi n. Hãy xét dấu của uₙ₊₁ − uₙ với n bất kì.
5. Tưởng dãy nào cũng hoặc tăng hoặc giảm. Dãy −1, 1, −1, 1, … không tăng cũng không giảm.
6. Nhầm "bị chặn dưới" với "bị chặn". uₙ = 3n có sàn (uₙ ≥ 3) nhưng không có trần, nên không bị chặn.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Tìm số hạng của dãy

Có công thức thì thay n vào. Có truy hồi thì tính lần lượt từ số hạng đầu.

Bài 1. Cho uₙ = n² − 2n. Viết 4 số hạng đầu và tìm u₂₀.

Bài 2. Cho u₁ = 1, uₙ = uₙ₋₁ + n (n ≥ 2). Viết 5 số hạng đầu.

Bài 3. Cho uₙ = 2n² − 3. Số 69 là số hạng thứ mấy?

Dạng 2. Tìm công thức số hạng tổng quát

Viết vài số hạng đầu, tìm quy luật, rồi thử lại với n = 1.

Bài 4. Dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương chia cho 3 dư 2. Tìm uₙ.

Bài 5. Tìm uₙ của dãy 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, …

Dạng 3. Xét tính tăng, giảm và bị chặn

Tăng, giảm: xét dấu của uₙ₊₁ − uₙ. Bị chặn: tìm số chặn trên, số chặn dưới.

Bài 6. Cho uₙ = (2n + 1)/n. Dãy tăng hay giảm? Có bị chặn không?

Bài 7. Xét tính tăng, giảm của: a) uₙ = 6n − 5; b) uₙ = 10 − 4n; c) uₙ = (−2)ⁿ.

Dạng 4. Bài toán thực tế

Gọi tên đại lượng theo n, viết vài số hạng đầu, rồi tìm công thức hoặc hệ thức truy hồi.

Bài 8. Thả một quả bóng từ độ cao 160 cm. Sau mỗi lần chạm đất, bóng nảy lên cao bằng một nửa lần trước. Gọi hₙ (cm) là độ cao sau lần nảy thứ n. Viết hệ thức truy hồi, tính h₄ và nhận xét về dãy.

Bài 9. Một quán trà sữa ngày đầu bán được 30 cốc, mỗi ngày sau bán nhiều hơn ngày trước 6 cốc. Gọi cₙ là số cốc bán trong ngày thứ n. Tìm cₙ và tính c₇.

Chuyện bên lề

Bài toán đếm thỏ. Năm 1202, nhà toán học Ý Leonardo xứ Pisa, thường gọi là Fibonacci, viết cuốn Liber Abaci ("Sách tính"). Trong đó có một bài toán: mỗi tháng, mỗi đôi thỏ lớn đẻ thêm một đôi con, và đôi con từ tháng thứ hai cũng bắt đầu đẻ. Số đôi thỏ qua từng tháng chính là 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Nhưng ông không phải người đầu tiên. Từ nhiều thế kỷ trước, các học giả Ấn Độ đã gặp đúng dãy này khi đếm số cách ghép âm ngắn (1 nhịp) và âm dài (2 nhịp) trong thơ tiếng Phạn. Hemachandra viết ra quy tắc "số sau bằng tổng hai số trước" vào khoảng năm 1150, tức khoảng 50 năm trước Fibonacci; trước ông còn có Gopala và Virahanka.

Cái tên đến sau cùng. Tên gọi "dãy Fibonacci" mãi tới thế kỷ 19 mới có, do nhà toán học Pháp Édouard Lucas đặt.

Ngày nay. Dãy số có mặt trong lãi ngân hàng (số tiền sau mỗi kì), dự báo dân số, và trong mọi vòng lặp của máy tính: giá trị sau được tính từ giá trị trước, đúng là một hệ thức truy hồi. Trên mạng còn có cả một bách khoa toàn thư về dãy số nguyên (OEIS, do Neil Sloane bắt đầu sưu tầm từ năm 1964), hiện có hơn 390 000 dãy. Gõ vài số hạng đầu vào đó, bạn sẽ biết dãy mình vừa gặp tên là gì.

Trò chơi ở nhà (5 phút)

"Đoán luật". Hai người chơi. Người ra đề nghĩ thầm một quy luật (ví dụ "nhân đôi rồi cộng 1") và đọc 4 số hạng đầu. Người kia phải nói số hạng thứ 5, rồi nói quy luật bằng công thức uₙ hoặc hệ thức truy hồi. Đúng cả hai được 2 điểm, đúng một được 1 điểm, rồi đổi vai. Chơi 3 lượt; ai ra được dãy mà người kia không đoán nổi (nhưng luật phải giải thích được) thì được thưởng thêm 1 điểm.