Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài mở đầu hình học không gian. Học xong bạn sẽ: vẽ và đọc được hình không gian (nét liền, nét đứt), nắm các tính chất thừa nhận về mặt phẳng, biết ba cách xác định một mặt phẳng, nhận ra hình chóp và hình tứ diện, và tìm được giao tuyến của hai mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng.

1. Mặt phẳng và cách vẽ hình không gian

Mặt sàn nhà, tấm kính cửa sổ cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng thật thì rộng vô hạn và không có bề dày.

• Vẽ mặt phẳng thành một hình bình hành, ghi tên trong ngoặc: (P), (Q)…
• Điểm A nằm trên mặt phẳng (P): viết A ∈ (P). Điểm B không nằm trên (P): viết B ∉ (P).

Ví dụ 1. Coi mặt sàn là mặt phẳng (P). Con kiến đứng trên sàn là điểm A ∈ (P). Quả bóng bay lơ lửng là điểm B ∉ (P).

Ba quy tắc vẽ hình không gian (hình biểu diễn):

1. Đường thẳng vẽ thành đường thẳng, đoạn thẳng vẽ thành đoạn thẳng.
2. Hai đường song song vẫn vẽ song song; hai đường cắt nhau vẫn vẽ cắt nhau.
3. Nét nhìn thấy vẽ liền, nét bị che khuất vẽ đứt.

Ví dụ 2. Vẽ một thùng các-tông (hình hộp chữ nhật): 9 cạnh nhìn thấy vẽ liền, 3 cạnh phía sau vẽ đứt. Mặt trên là hình chữ nhật nhưng trên giấy thành hình bình hành, nên không được đo góc hay độ dài trên hình vẽ.

2. Các tính chất thừa nhận

Đây là những điều ta công nhận, không chứng minh:

Ví dụ 1 (tính chất 4). Thợ xây áp một cây thước thẳng lên tường: nếu tường phẳng thì cả cạnh thước áp khít; chỗ nào hở là tường chưa phẳng.

Ví dụ 2 (tính chất 4). Trong hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Hai điểm S và O đều thuộc (SAC) nên đường thẳng SO nằm trong (SAC).

Ví dụ 1 (tính chất 5). Gấp đôi một tờ giấy: hai nửa tờ giấy là hai mặt phẳng, nếp gấp là giao tuyến.

Ví dụ 2 (tính chất 5). Hai mặt bên (SBC) và (SCD) của hình chóp S.ABCD có chung S và C nên giao tuyến là đường thẳng SC.

3. Ba cách xác định một mặt phẳng

Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:

1. ba điểm không thẳng hàng của nó;
2. một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó;
3. hai đường thẳng cắt nhau.

Ví dụ 1. Lá cờ xoay quanh cán cờ: qua một đường thẳng (cán cờ) có vô số mặt phẳng. Giữ thêm một điểm ở mép cờ thì lá cờ đứng yên: chỉ còn đúng một mặt phẳng.

Ví dụ 2. Hai lưỡi của một cái kéo đang mở là hai đoạn thẳng cắt nhau ở chốt: chúng luôn cùng nằm trong một mặt phẳng.

4. Hình chóp và hình tứ diện

• Hình chóp: lấy một đa giác và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác, nối S với các đỉnh. S là đỉnh, đa giác là mặt đáy, các tam giác chung đỉnh S là mặt bên; có cạnh bên và cạnh đáy.
• Hình chóp có đáy n cạnh: n + 1 đỉnh, n + 1 mặt, 2n cạnh.
• Hình tứ diện ABCD: bốn điểm không đồng phẳng, 4 mặt tam giác, 6 cạnh. Mặt nào cũng coi là đáy được.

Ví dụ 1. Hình chóp có đáy là ngũ giác: 5 mặt bên + 1 đáy = 6 mặt; 5 cạnh bên + 5 cạnh đáy = 10 cạnh.

Ví dụ 2. Trong tứ diện ABCD, hai cạnh AC và BD không cắt nhau, dù trên hình vẽ chúng có thể "cắt" nhau. Vì nếu chúng cắt nhau thì hai đường thẳng cắt nhau ấy xác định một mặt phẳng chứa cả A, B, C, D: trái với việc bốn đỉnh không đồng phẳng.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

• Tin vào hình vẽ: thấy hai đoạn "cắt nhau" trên giấy rồi kết luận chúng cắt nhau. Hai đường chỉ cắt nhau thật khi cùng nằm trong một mặt phẳng.
• Quên điều kiện không thẳng hàng: ba điểm thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua.
• Nghĩ hai mặt phẳng có thể chung đúng một điểm. Đã chung một điểm là chung cả một đường thẳng.
• Tìm giao tuyến mới có một điểm chung đã vội kết luận. Phải đủ hai điểm chung.
• Vẽ cạnh khuất bằng nét liền, làm hình rối và dễ nhìn nhầm.
• Đo góc, đo độ dài ngay trên hình vẽ.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Đúng hay sai

Bài 1. a) Ba điểm bất kì luôn xác định đúng một mặt phẳng. b) Hai mặt phẳng phân biệt có thể có đúng một điểm chung. c) Cho hình bình hành ABCD và điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABCD). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong năm điểm A, B, C, D, S?

Bài 2. Một hình chóp có 16 cạnh. Đáy của nó là đa giác mấy cạnh? Hình chóp có mấy mặt?

Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Cách làm: tìm hai điểm chung. Điểm thứ nhất thường thấy ngay; điểm thứ hai là giao của hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng, mỗi đường thuộc một mặt.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là tứ giác có AD cắt BC tại E. Tìm giao tuyến của: a) (SAC) và (SBD); b) (SAD) và (SBC).

Bài 4. Cho tứ diện ABCD, M là trung điểm AB, N là trung điểm CD. Tìm giao tuyến của (MCD) và (NAB).

Dạng 3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Cách làm: chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng → tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ với mặt phẳng đã cho → đường thẳng cắt giao tuyến tại giao điểm cần tìm.

Bài 5. Hình chóp S.ABCD như bài 3, O = AC ∩ BD, K là trung điểm SD. Tìm giao điểm của BK với (SAC).

Bài 6. Cho tứ diện ABCD, M là trung điểm AB, N thuộc cạnh AC sao cho AN = 3NC. Tìm giao điểm của MN với (BCD).

Chuyện bên lề

Điểm là gì? Đường thẳng là gì? Mặt phẳng là gì? Hình học cổ điển từng cố định nghĩa những thứ này, và cố chứng minh cả những điều rất hiển nhiên như "hai mặt phẳng cắt nhau theo một đường thẳng". Người đời sau soát lại thì thấy phép chứng minh cổ ấy còn hổng: nó bỏ qua khả năng hai mặt phẳng chỉ có đúng một điểm chung.

Năm 1899, ở Göttingen (Đức), nhà toán học David Hilbert viết cuốn Cơ sở hình học và chọn cách khác hẳn: không định nghĩa điểm, đường thẳng, mặt phẳng; chỉ nêu ra khoảng hai mươi tiên đề nói chúng quan hệ với nhau thế nào, rồi suy ra mọi thứ từ đó. Người ta hay kể rằng ông từng nói đùa: thay ba chữ "điểm, đường thẳng, mặt phẳng" bằng "bàn, ghế, cốc bia" thì hình học vẫn đúng, miễn là chúng thoả mãn các tiên đề.

Các "tính chất thừa nhận" trong bài này phần lớn chính là các tiên đề về mặt phẳng của ông: qua ba điểm không thẳng hàng có đúng một mặt phẳng; đường thẳng có hai điểm thuộc mặt phẳng thì nằm trong mặt phẳng; hai mặt phẳng có một điểm chung thì còn điểm chung nữa; có bốn điểm không đồng phẳng.

Ngày nay: mô hình 3D trong trò chơi điện tử và phim hoạt hình được ghép từ lưới tam giác. Ba điểm thì luôn nằm trên một mặt phẳng nên tam giác lúc nào cũng "phẳng"; bốn điểm thì chưa chắc, tứ giác có thể bị vênh.

Trò chơi ở nhà (5 phút)

1. Săn giao tuyến: nhìn quanh phòng, chỉ ra 5 giao tuyến của hai mặt phẳng (mép hai bức tường, nếp gấp quyển vở đang mở…).
2. Bìa xoay quanh bút: áp mép một tấm bìa cứng vào cây bút (đường thẳng) rồi xoay bìa quanh bút: có bao nhiêu vị trí? Đặt thêm cục tẩy ở ngoài cây bút và bắt tấm bìa phải chạm cả cục tẩy: còn mấy vị trí? Đó là cách xác định mặt phẳng nào?
3. Vẽ thùng: vẽ một cái hộp bất kì trong nhà theo đúng ba quy tắc, rồi đổi góc nhìn và xem nét đứt đổi sang cạnh nào.