Hai đường thẳng song song trong không gian

Đặt hai chiếc bút chì lên bàn: chúng hoặc cắt nhau, hoặc song song. Giờ bạn nhấc một chiếc lên cao rồi xoay nó đi một chút. Hai chiếc bút không chạm nhau, kéo dài mãi cũng không gặp nhau, nhưng rõ ràng chúng không song song. Trong không gian, "không cắt nhau" chưa chắc đã là "song song". Bài này gọi tên trường hợp lạ đó và nêu ba tính chất của hai đường thẳng song song trong không gian.

1. Bốn vị trí tương đối của hai đường thẳng

Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng gọi là đồng phẳng.

• Song song = đồng phẳng + không có điểm chung.
• Chéo nhau = không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng (nên chúng cũng không có điểm chung).
• Hai đường thẳng song song thì xác định đúng một mặt phẳng chứa chúng.

Ví dụ 1. Hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH (đáy dưới ABCD, đáy trên EFGH, E ở trên A, F trên B, G trên C, H trên D).
AB và BC cắt nhau tại B. AB và EF song song (cùng nằm trong mặt trước ABFE). AB và FG chéo nhau.

Ví dụ 2. Hình chóp S.ABCD, O là giao điểm hai đường chéo của đáy. SO và AB có chéo nhau không?
Giả sử SO và AB đồng phẳng. Mặt phẳng đó chứa A, B, O nên chính là mặt đáy (ABCD). Nhưng S không thuộc mặt đáy: vô lí. Vậy SO và AB chéo nhau.

Cách chứng minh hai đường thẳng chéo nhau: lấy mặt phẳng chứa một đường và một điểm của đường kia, rồi chỉ ra một điểm còn lại nằm ngoài mặt phẳng đó.

2. Tính chất 1 và 2

Tính chất 1. Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
(Vì điểm M và đường thẳng d xác định đúng một mặt phẳng; trong mặt phẳng ấy ta trở về hình học phẳng.)

Tính chất 2. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau: a // c, b // c ⇒ a // b.

Ví dụ 1. Ba sợi dây điện căng giữa hai cột (coi là ba đường thẳng). Dây 1 song song với dây 2, dây 2 song song với dây 3, nên dây 1 song song với dây 3, dù ba dây không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Ví dụ 2. Trong hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH: AB // DC, DC // HG nên AB // HG, dù AB nằm ở mặt đáy còn HG nằm ở mặt trên. Bốn điểm A, B, G, H vì thế cùng nằm trong một mặt phẳng.

3. Tính chất 3: định lí ba giao tuyến

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy, hoặc đôi một song song.

• Đồng quy: ba mặt của hình hộp gặp nhau ở một đỉnh (ba cạnh xuất phát từ đỉnh đó).
• Đôi một song song: ba mặt bên của một thanh sô-cô-la hình tam giác (ba cạnh dài).

Hệ quả (rất hay dùng). Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó, hoặc trùng với một trong hai.

Ví dụ 1. Chiếc máy tính xách tay đang mở: mép trên màn hình song song với mép trước bàn phím. Bản lề là giao tuyến của mặt màn hình và mặt bàn phím, nên bản lề song song với cả hai mép ấy.

Ví dụ 2. Tứ diện ABCD, M và N là trung điểm của AB và AC. MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC. Hai mặt phẳng (DMN) và (DBC) có chung điểm D, lần lượt chứa MN và BC song song. Vậy giao tuyến là đường thẳng qua D và song song với BC.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

1. "Không cắt nhau thì song song." Chỉ đúng trong mặt phẳng. Trong không gian, không cắt nhau thì có thể song song hoặc chéo nhau.
2. "Không song song thì cắt nhau." Cũng sai: không song song (và không trùng) thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
3. Nhìn hình vẽ rồi kết luận. Trên giấy, hai đường chéo nhau có thể trông như cắt nhau, và hai đường cắt nhau có thể trông như chéo nhau. Phải lập luận bằng mặt phẳng: có mặt phẳng nào chứa cả hai không?
4. Quên "phân biệt" trong tính chất 2: nếu a và b trùng nhau thì không gọi là song song.
5. Tìm giao tuyến chỉ bằng một điểm chung. Một điểm chưa xác định được đường thẳng. Cần thêm điểm chung thứ hai, hoặc thêm phương (song song với hai đường thẳng song song nằm trong hai mặt phẳng).
6. "a // b, c cắt a thì c cắt b." Chỉ đúng trong mặt phẳng; trong không gian c và b có thể chéo nhau.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cách làm: tìm xem có mặt phẳng nào chứa cả hai không. Có: chỉ còn cắt nhau hoặc song song. Không: chéo nhau.

Bài 1. Hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O; M là trung điểm của SC. Xét vị trí tương đối của: a) AM và SO; b) OM và SA; c) BM và AD.

Bài 2. Hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH. Xét vị trí tương đối của: a) BC và EH; b) BF và DH; c) BD và EG.

Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song

Cách làm: tìm đường trung bình hoặc dùng Thalès đảo trong một tam giác, rồi nối lại bằng tính chất "cùng song song với đường thẳng thứ ba".

Bài 3. Tứ diện ABCD có CD = 12. G, K là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD; P, Q là trung điểm của AC, AD. a) Chứng minh GK // CD và tính GK. b) Chứng minh GK // PQ.

Dạng 3. Giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song

Cách làm: tìm một điểm chung, rồi kẻ qua điểm đó đường thẳng song song với hai đường thẳng song song đã có.

Bài 4. Hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABGH) và (CDEF).

Thêm bài để luyện: xem phiếu Bài tập về nhà (PDF).

Chuyện bên lề

• Khoảng năm 300 trước Công nguyên, Euclid viết bộ "Cơ sở" với năm định đề. Định đề thứ năm, nói về đường song song, dài và rắc rối hơn hẳn bốn định đề kia. Suốt khoảng hai nghìn năm, nhiều nhà toán học cố chứng minh nó từ bốn định đề còn lại mà không ai thành công.
• Năm 1795, nhà toán học Scotland John Playfair viết lại nó trong một cuốn sách giáo khoa bằng một câu gọn: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Ý này đã có từ trước (Proclus ở thế kỉ 5 từng nêu), nhưng ngày nay người ta gọi nó là tiên đề Playfair. Tính chất 1 của bài chính là câu ấy, phát biểu cho không gian.
• Năm 1829, Lobachevsky công bố một hình học trong đó qua một điểm có nhiều hơn một đường song song. Ông không gặp mâu thuẫn nào. Đến năm 1868, Beltrami chứng minh rằng định đề thứ năm thật sự không thể suy ra từ các định đề còn lại. Thứ "hình học mới" này gọi là hình học phi Euclid.
• Ngày nay, khi thiết kế đường ống trong toà nhà hay cánh tay rô-bốt, phần mềm luôn phải tính xem các trục thẳng cắt nhau, song song hay chéo nhau, và nếu chéo nhau thì cách nhau bao xa, để chúng không va vào nhau.

Trò chơi 5 phút ở nhà

Lấy một hộp bánh hoặc hộp giày và ba chiếc que (đũa, bút chì). Một người đặt hai que dọc theo hai cạnh bất kì của hộp, người kia phải nói ngay: cắt nhau, song song hay chéo nhau, và chỉ ra mặt phẳng chứa cả hai (nếu có). Đổi vai sau mỗi lượt. Câu khó: đặt que thứ ba sao cho nó song song với que thứ nhất và chéo với que thứ hai.