Đường thẳng và mặt phẳng song song

Một mặt phẳng chứa vô số đường thẳng. Vậy muốn biết một đường thẳng có song song với cả mặt phẳng hay không, phải so nó với bao nhiêu đường? Câu trả lời: chỉ một đường là đủ. Bài này giải thích vì sao, và dùng điều đó để làm gì.

Quy ước trong bài: kí hiệu // nghĩa là "song song"; (α), (β) là tên mặt phẳng.

1. Ba vị trí của đường thẳng so với mặt phẳng

Bạn phân biệt bằng cách đếm số điểm chung.

Không có trường hợp thứ tư: một đường thẳng đã có hai điểm thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của nó đều thuộc mặt phẳng.

Ví dụ 1 (trong phòng bạn). So với mặt sàn: thanh treo rèm song song; cây lau nhà dựng vào tường thì cắt (tại chỗ đầu lau chạm sàn); mép tấm thảm thì nằm trong.

Ví dụ 2. Hình chóp S.MNPQ có hai đường chéo đáy MP, NQ cắt nhau tại O.

• Đường thẳng MP và mặt phẳng (SNQ) chỉ có một điểm chung là O, nên MP cắt (SNQ) tại O.
• Đường thẳng SO có hai điểm S và O cùng thuộc (SNQ), nên SO nằm trong (SNQ).

2. Dấu hiệu nhận biết: khi nào a // (α)?

Đếm điểm chung thì khó, vì đường thẳng và mặt phẳng đều kéo dài vô tận. Ta dùng dấu hiệu sau.

Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (α) và a song song với một đường thẳng b nằm trong (α), thì a // (α).

Vì sao đúng? Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song a và b. Hai mặt phẳng (α), (β) cắt nhau theo đúng đường thẳng b. Nếu a có một điểm chung M với (α) thì M thuộc cả (β) lẫn (α), tức là M nằm trên b. Khi đó a cắt b tại M, trái với giả thiết a // b. Vậy a không có điểm chung nào với (α).

Ví dụ 1 (chiếc thang). Thang dựng nghiêng vào tường. Đường thẳng nối hai chân thang nằm trên mặt đất. Mỗi bậc thang song song với đường thẳng ấy và không nằm trên mặt đất, nên mỗi bậc thang song song với mặt đất, dù thang nghiêng nhiều hay ít.

Ví dụ 2. Hình chóp S.ABC. Lấy E trên cạnh SA, F trên cạnh SB sao cho SE = 2/3 SA, SF = 2/3 SB. Theo định lí Thalès đảo, EF // AB. Mà AB nằm trong (ABC), còn EF không nằm trong (ABC). Vậy EF // (ABC).

3. Tính chất: giao tuyến song song

Cho a // (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa a và cắt (α) theo giao tuyến b, thì b // a.

Vì sao đúng? a và b cùng nằm trong (β) nên không thể chéo nhau. Chúng cũng không cắt nhau, vì mọi điểm của b đều thuộc (α), còn a không có điểm chung nào với (α). Hai đường thẳng đồng phẳng, không cắt nhau thì song song.

Ví dụ 1 (tấm ván dắt xe). Mép bậc thềm song song với mặt sân. Tựa một tấm ván phẳng lên mép bậc thềm: tấm ván chứa mép thềm và cắt mặt sân theo đường chân ván. Vậy chân ván song song với mép bậc thềm.

Ví dụ 2. Vẫn hình chóp S.ABC ở trên, với EF // (ABC). Mặt phẳng (EFC) chứa EF và có điểm chung C với mặt đáy. Vậy giao tuyến của (EFC) và (ABC) là đường thẳng d đi qua C, song song với EF, cũng tức là song song với AB.

Ghi nhớ thêm. Cho hai đường thẳng chéo nhau, luôn có đúng một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Cách dựng: lấy một điểm trên đường thứ nhất, kẻ qua đó đường thẳng song song với đường thứ hai; hai đường cắt nhau vừa có xác định mặt phẳng cần tìm.

4. Bảng tóm tắt

5. Lỗi hay gặp

1. Quên điều kiện "a không nằm trong (α)". Có a // b và b ⊂ (α) vẫn chưa đủ: a có thể nằm ngay trong (α). Luôn viết thêm một dòng kiểm tra.
2. Tưởng a // (α) thì a song song với mọi đường thẳng trong (α). Sai: a chỉ song song với những đường thẳng cùng phương với nó; với các đường còn lại trong (α), a chéo nhau.
3. Tưởng hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. Hai cạnh kề nhau của mặt bàn cùng song song với sàn nhà nhưng cắt nhau.
4. Chứng minh song song mà không chỉ ra đường thẳng nào trong mặt phẳng. Nếu mặt phẳng chưa có sẵn đường thẳng phù hợp, hãy tự tìm: đường trung bình, đường nối hai điểm chia hai cạnh theo cùng tỉ số, cạnh đối của hình bình hành.
5. Tìm giao tuyến chỉ bằng "nối hai điểm chung" trong khi mới thấy một điểm chung. Khi một mặt phẳng chứa đường thẳng song song với mặt phẳng kia, chỉ cần một điểm chung: giao tuyến đi qua điểm đó và song song với đường thẳng ấy.

6. Bài tập theo dạng

Dạng 1. Xét đúng sai

Bài 1. Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (α). Câu nào đúng?

1. a // (α), b ⊂ (α) ⇒ a // b.
2. a // b, b // (α) ⇒ a // (α).
3. a // (α) ⇒ trong (α) có vô số đường thẳng song song với a.

Dạng 2. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Bài 2. Hình chóp S.MNPQ có đáy là hình bình hành tâm O; I là trung điểm của SP.
a) Chứng minh SM // (INQ).
b) OI có song song với (SMP) không?

Bài 3. Hình chóp S.ABC có AC = 8 cm. Lấy D trên SA, E trên SC sao cho SD = 3DA, SE = 3EC. Chứng minh DE // (ABC) và tính DE.

Dạng 3. Tìm giao tuyến nhờ một đường thẳng song song

Bài 4. Hình chóp S.MNPQ, đáy là hình bình hành, MN = 12 cm. K thuộc cạnh SM, SK = 1/3 SM. Mặt phẳng (KPQ) cắt cạnh SN tại H. Tính KH. Thiết diện KHPQ là hình gì?

Bài 5. Hình chóp S.MNPQ có đáy là hình bình hành. Tìm giao tuyến của (SMN) và (SPQ).

Dạng 4. Bài toán thực tế

Bài 6. Một khối bơ hình hộp chữ nhật nằm trên thớt. Lưỡi dao phẳng đi qua một mép trên của khối bơ rồi cắt xiên xuống đáy. Vì sao vết dao ở đáy luôn song song với mép trên ấy?

Bài 7. Quyển lịch để bàn gồm hai tấm bìa phẳng nối nhau ở gáy lò xo; hai mép dưới nằm trên mặt bàn và song song với nhau. Vì sao gáy lịch song song với mặt bàn?

7. Chuyện bên lề: sợi dây điện đi dích dắc

• Những tuyến tàu điện đầu tiên cấp điện qua chính thanh ray, rất nguy hiểm cho người đi ngang. Năm 1881, tại Triển lãm Điện quốc tế ở Paris, kĩ sư Đức Werner von Siemens cho chạy chiếc tàu điện đầu tiên lấy điện từ dây treo trên cao.
• Khoảng năm 1888, ở thành phố Richmond (Mỹ), Frank Sprague hoàn thiện cách lấy điện này: dây ở trên, cần lấy điện có lò xo ép lên dây, còn thanh ray làm đường về. Hệ thống ấy trở thành khuôn mẫu cho tàu điện khắp thế giới.
• Muốn cần lấy điện luôn chạm dây, sợi dây phải giữ độ cao gần như không đổi so với mặt đường ray, tức là gần như song song với mặt đường ray.
• Chi tiết thú vị: trên đoạn đường thẳng, người ta cố ý mắc dây lệch nhẹ sang trái rồi sang phải, nhìn từ trên xuống thấy dây đi dích dắc. Nhờ vậy thanh than trên cần lấy điện mòn đều, không bị cứa thành rãnh. Từng đoạn dây vì thế không song song với thanh ray, nhưng vẫn song song với mặt đường ray: đúng như bài học, song song với mặt phẳng không có nghĩa là song song với một đường thẳng cho trước trong mặt phẳng.
• Ngày 3 tháng 4 năm 2007, một đoàn tàu thử nghiệm của Pháp đạt 574,8 km/h, vẫn lấy điện từ sợi dây trên cao. Riêng cho lần chạy ấy, người ta phải tăng lực căng dây để dây đủ "cứng".
• Quanh bạn cũng đầy ví dụ: thanh quét của máy scan chạy song song với mặt kính; đầu cắt của máy cắt laser chạy song song với mặt bàn cắt.

8. Trò chơi ở nhà (5 phút)

"Săn ba vị trí". Chọn một mặt phẳng trong nhà (mặt bàn, mặt sàn hoặc một bức tường). Trong 3 phút, mỗi người tìm thật nhiều "đường thẳng" (mép đồ vật, cạnh tủ, que, bút…) và xếp vào ba cột: song song, cắt, nằm trong. Với mỗi đường xếp vào cột "song song", phải chỉ ra được một đường thẳng nằm trong mặt phẳng song song với nó thì mới được tính điểm.

Thử thách thêm. Cầm một tấm bìa cứng, áp một cạnh của nó dọc theo mép bàn rồi nghiêng tấm bìa cho chạm sàn. Bạn đoán trước xem vệt chạm sàn chạy theo hướng nào, rồi kiểm tra. Vì sao?