Hai mặt phẳng song song

Người thợ lắp kệ đặt thước thuỷ (thước có ống bọt nước) lên tấm ván, thấy bọt nằm giữa. Nhưng anh vẫn xoay thước sang hướng khác và đo thêm lần nữa. Vì sao một hướng chưa đủ? Học xong bài này bạn sẽ trả lời được, và còn biết thêm định lí Thalès trong không gian, hình lăng trụ, hình hộp.

1. Hai mặt phẳng song song và điều kiện nhận biết

Định nghĩa. Hai mặt phẳng (P) và (Q) gọi là song song nếu chúng không có điểm chung. Kí hiệu (P) // (Q).

Khi (P) // (Q), mọi đường thẳng nằm trong (P) đều song song với (Q).

Điều kiện. Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và cả hai cùng song song với (Q) thì (P) // (Q).

Chữ "cắt nhau" không bỏ được. Nếu a // b thì (P) vẫn có thể nghiêng quanh phương của a và cắt (Q).

• Ví dụ 1 (đời sống). Mặt sàn nằm ngang. Đặt thước thuỷ lên tấm ván theo một hướng, bọt nằm giữa: hướng đó song song với mặt sàn. Xoay thước sang hướng khác cắt hướng cũ, bọt vẫn nằm giữa: hướng thứ hai cũng song song với mặt sàn. Tấm ván chứa hai đường cắt nhau cùng song song với mặt sàn, nên mặt ván song song với mặt sàn. Nếu chỉ đo một hướng, tấm ván có thể dốc theo hướng còn lại mà thước không phát hiện.
• Ví dụ 2 (kí hiệu). Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O; M, N là trung điểm của SA, SD. Trong tam giác SAC, OM là đường trung bình nên OM // SC, do đó OM // (SBC). Tương tự, ON là đường trung bình của tam giác SBD nên ON // SB, do đó ON // (SBC). Mặt phẳng (OMN) chứa OM, ON cắt nhau tại O và cùng song song với (SBC). Vậy (OMN) // (SBC).

2. Hai tính chất

Tính chất 1. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có đúng một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Hệ quả: hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

• Ví dụ 1. Sàn tầng một và sàn tầng ba cùng song song với sàn tầng hai, nên song song với nhau.
• Ví dụ 2. Ở Ví dụ 2 mục 1 ta có (OMN) // (SBC). Gọi E là trung điểm AB thì OE // BC nên OE // (SBC). Qua O chỉ có một mặt phẳng song song với (SBC), nên đường thẳng OE phải nằm trong (OMN): điểm E thuộc (OMN).

Tính chất 2. Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia, và hai giao tuyến song song với nhau.

• Ví dụ 1. Bức tường cắt mặt sàn theo đường chân tường và cắt mặt trần theo đường mép trần. Hai đường đó song song.
• Ví dụ 2. Vẫn hình chóp ấy: mặt phẳng (SAB) cắt (SBC) theo SB, nên nó cắt (OMN) theo một đường thẳng qua M và song song với SB. Đó là đường ME, với E là trung điểm AB.

3. Định lí Thalès trong không gian

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Nếu cát tuyến thứ nhất cắt ba mặt phẳng tại A, B, C và cát tuyến thứ hai cắt tại D, E, F thì

AB/DE = BC/EF = AC/DF.

Hai cát tuyến có thể cắt nhau, song song hoặc chéo nhau.

• Ví dụ 1. AB = 6, BC = 9, DE = 8. Từ 6/8 = 9/EF suy ra EF = 9 · 8 : 6 = 12.
• Ví dụ 2. AC = 20, DE = 3, EF = 7. Ta có DF = 10 nên AB/3 = 20/10, tức AB = 6 và BC = 20 − 6 = 14.

4. Hình lăng trụ và hình hộp

Cho hai mặt phẳng song song. Trên mặt thứ nhất lấy một đa giác; từ các đỉnh kẻ những đường thẳng song song với nhau, cắt mặt thứ hai. Hình thu được là hình lăng trụ.

• Hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song.
• Các mặt bên là hình bình hành.
• Các cạnh bên song song và bằng nhau.
• Gọi tên theo đáy: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ lục giác…

Hình hộp là lăng trụ có đáy là hình bình hành. Cả sáu mặt đều là hình bình hành, hai mặt đối diện song song, và bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

• Ví dụ 1 (đời sống). Chiếc lều chữ A là lăng trụ tam giác (đáy là hai tam giác ở hai đầu lều). Một ô tổ ong là lăng trụ lục giác. Hộp giấy, dù đứng thẳng hay bị xô nghiêng, là hình hộp.
• Ví dụ 2 (kí hiệu). Hình hộp ABCD.MNPQ có bốn đường chéo AP, BQ, CM, DN. Tứ giác ABPQ có AB song song và bằng QP nên là hình bình hành, do đó AP và BQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

• Chỉ ra một cặp đường song song rồi kết luận hai mặt phẳng song song. Phải có hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng thứ nhất.
• Dùng hai đường thẳng song song với nhau. Hai đường a // b cùng song song với (Q) chưa đủ để (P) // (Q).
• Quên nói đường thẳng không nằm trong mặt phẳng kia. Muốn a // (Q) từ a // a′ thì a′ phải nằm trong (Q) và a không nằm trong (Q).
• Lập tỉ lệ Thalès lẫn hai cát tuyến. Tử số lấy trên cát tuyến này thì mẫu số lấy đoạn tương ứng trên cát tuyến kia; không lấy đoạn nối hai cát tuyến (như AD, BE) vào tỉ lệ.
• Tưởng mặt phẳng giữa luôn chia đôi. Tỉ số do khoảng cách giữa các mặt phẳng quyết định, không phải lúc nào cũng 1 : 1.
• Vẽ cạnh khuất bằng nét liền. Hình không gian dễ nhìn sai nếu không vẽ cạnh khuất bằng nét đứt.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song

Cách làm: tìm hai đường cắt nhau trong mặt phẳng thứ nhất; chứng minh mỗi đường song song với một đường nằm trong mặt phẳng thứ hai; kết luận.

Bài 1. Cho hình hộp ABCD.MNPQ. Chứng minh (BDM) // (CNQ).

Bài 2. Cho hình hộp ABCD.MNPQ.
a) Chứng minh (ACQ) // (BMP).
b) Đường chéo DN cắt (ACQ) tại I và cắt (BMP) tại J. Chứng minh DI = IJ = JN.

Dạng 2. Tìm giao tuyến và thiết diện

Cách làm: tìm giao tuyến với một đáy; trên đáy kia kẻ đường song song qua điểm chung đã biết; nối các giao điểm.

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.MNPQ, K là trung điểm của MQ. Mặt phẳng (BDK) cắt hình hộp theo hình gì?

Bài 4. Cho lăng trụ tam giác ABC.DEF (cạnh bên AD, BE, CF). Điểm I thuộc cạnh AB. Mặt phẳng (CFI) cắt mặt phẳng (DEF) theo giao tuyến nào? Thiết diện là hình gì?

Dạng 3. Định lí Thalès trong không gian

Cách làm: tìm ba mặt phẳng song song và hai cát tuyến; lập tỉ lệ thức; tính.

Bài 5. Một giá sách có ba tấm ván song song. Thanh chống thẳng đứng cắt ba ván tại A, B, C với AB = 30 cm, BC = 45 cm. Thanh giằng xiên cắt ba ván tại D, E, F và DF = 100 cm. Tính DE, EF.

Bài 6. Ba mặt phẳng song song cắt đường thẳng d tại A, B, C và cắt đường thẳng d′ tại D, E, F. Biết AB = 7,5; DE = 5; EF = 8. Tính BC và AC.

Chuyện bên lề

Người ta hay kể rằng vào khoảng thế kỉ VI trước Công nguyên, Thalès xứ Miletus đã đo chiều cao kim tự tháp chỉ bằng cái bóng của nó: ông chờ đúng lúc bóng của một người dài bằng chính người ấy, khi đó bóng kim tự tháp cũng dài bằng chiều cao của nó. Câu chuyện do các tác giả sống sau Thalès nhiều thế kỉ chép lại, và mỗi người kể một kiểu, nên ta chỉ nên xem nó là giai thoại.

Điều chắc chắn hơn: Thalès không để lại trang viết nào. Còn định lí về các mặt phẳng song song chắn ra những đoạn tỉ lệ thì có ghi chép rõ ràng. Nó là mệnh đề 17, quyển XI trong bộ "Cơ sở" của Euclid, viết khoảng năm 300 trước Công nguyên: "Hai đường thẳng bị các mặt phẳng song song cắt thì bị cắt theo cùng một tỉ số". Ngay trước đó, mệnh đề 16 chính là Tính chất 2 trong bài: một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo hai giao tuyến song song.

Ngày nay ý tưởng "các lớp song song" có mặt trong máy in 3D: phần mềm cắt mô hình thành một chồng lớp phẳng, rồi máy đắp từng lớp từ dưới lên. Các tầng của một toà nhà cũng là những mặt phẳng song song, và thước thuỷ đo hai hướng chính là cách người thợ kiểm tra điều kiện song song ở mục 1.

Trò chơi ở nhà (5 phút)

1. Săn mặt phẳng song song. Trong 1 phút, tìm trong phòng càng nhiều cặp mặt phẳng song song càng tốt (sàn và trần, hai mặt cánh tủ, các tầng kệ…). Với mỗi cặp, chỉ ra một mặt phẳng thứ ba cắt cả hai và hai giao tuyến song song của nó.
2. Thử điều kiện "cắt nhau". Kê một quyển sách bìa cứng cho dốc về một phía. Đặt hai cây bút song song nhau trên bìa sao cho cả hai đều nằm ngang (song song với mặt bàn). Bìa sách có song song với mặt bàn không? Bây giờ thử tìm hai hướng cắt nhau trên bìa mà cùng nằm ngang: không tìm được, trừ khi bìa nằm ngang thật.
3. Thalès bằng ba quyển vở. Giữ ba quyển vở song song (như ba tầng), xuyên hai chiếc đũa theo hai hướng khác nhau qua khe giữa chúng. Đo các đoạn đũa bị chắn và kiểm tra hai tỉ số có bằng nhau không.