Phép chiếu song song

Trong nhiều game xây thành phố, ngôi nhà ở cuối bản đồ vẫn to đúng bằng ngôi nhà ngay trước mặt. Ngoài đời vật ở xa phải nhỏ lại, vậy mà nhìn vẫn thấy hợp lí. Bí mật là một cách "nhìn" mà mọi tia chiếu đều song song với nhau. Hình không gian nào trong vở của bạn cũng được vẽ bằng cách đó.

1. Phép chiếu song song là gì?

Cần hai thứ:

• một mặt phẳng chiếu (P);
• một phương chiếu: đường thẳng Δ cắt (P).

Với mỗi điểm M, kẻ đường thẳng qua M song song với Δ (nếu M nằm trên Δ thì lấy chính Δ). Đường thẳng ấy gặp (P) tại M′. Điểm M′ là hình chiếu song song của M trên (P) theo phương Δ.

Hình chiếu của một hình là tập hợp hình chiếu của mọi điểm trên hình đó.

Ví dụ 1 (mưa xiên). Trời mưa có gió: các hạt mưa rơi xiên nhưng song song với nhau. Bạn che một chiếc ô. Vệt khô trên sân chính là hình chiếu của chiếc ô lên mặt sân, theo phương mưa rơi. Mỗi điểm trên mép ô "đi theo hạt mưa" xuống sân, và các điểm rơi ấy vẽ nên mép của vệt khô.

Ví dụ 2 (tứ diện). Cho tứ diện ABCD, M là trung điểm của AB. Chiếu lên mặt phẳng (BCD) theo phương AD.

• Điểm A đi dọc AD nên hình chiếu của A là D.
• Qua M kẻ đường thẳng song song với AD, trong mặt phẳng (ABD). Đó là đường trung bình của tam giác ABD nên nó gặp BD tại trung điểm M′ của BD. Vậy hình chiếu của M là trung điểm của BD.
• Điểm B, C, D nằm sẵn trên (BCD) nên hình chiếu là chính nó.

Lưu ý. Một đường thẳng cùng phương với phương chiếu (như AD ở trên) chỉ chiếu thành một điểm. Từ đây về sau ta không xét những đường thẳng như vậy.

2. Ba điều được giữ lại

Ví dụ 1 (cây sào). Trên cây sào AB có nút buộc K với AK = ⅓ AB. Chiếu xuống sân, K′ vẫn nằm trên đoạn A′B′ và A′K′ = ⅓ A′B′. Nếu A′B′ = 4,5 m thì A′K′ = 1,5 m.

Ví dụ 2 (hai thanh xà). Hai thanh xà AB và CD song song, AB = 2CD. Hình chiếu của chúng vẫn song song và A′B′ = 2C′D′.

Hai thứ KHÔNG được giữ:

• Độ dài. Một cây sào 2 m dựng đứng, nếu phương chiếu nghiêng nhiều, có thể có hình chiếu dài 3 m.
• Góc. Góc vuông có thể chiếu thành góc nhọn hoặc góc tù. Tam giác vuông chưa chắc chiếu thành tam giác vuông.

Tỉ số của hai đoạn không cùng phương cũng không được giữ: hình vuông có bốn cạnh bằng nhau, nhưng hình chiếu của nó là hình bình hành với hai cạnh kề có thể dài ngắn khác nhau.

3. Hình biểu diễn của một hình không gian

Hình biểu diễn của một hình không gian là hình chiếu song song của nó lên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó, hoặc một hình đồng dạng với hình chiếu ấy.

Từ ba tính chất trên suy ra luật vẽ (khi hình phẳng không nằm trong mặt phẳng song song với phương chiếu):

Thêm một quy ước: cạnh bị che khuất vẽ nét đứt, cạnh nhìn thấy vẽ nét liền.

Ví dụ 1 (hình lập phương). Mặt trước vẽ hình vuông. Các cạnh lùi về phía sau vẽ xiên, song song và bằng nhau. Ba cạnh khuất vẽ nét đứt. Các mặt bên là hình vuông ngoài đời, nhưng trên giấy là hình bình hành.

Ví dụ 2 (bàn cờ 4 × 4). Bàn cờ nằm ngang được vẽ thành hình bình hành. Các ô vẫn đều nhau: các đường kẻ song song vẫn song song, và các điểm chia đều một cạnh vẫn chia đều cạnh đó.

Bảng kí hiệu và từ khoá

Lỗi hay gặp

1. Tưởng độ dài được giữ. Chỉ tỉ số trên cùng một phương được giữ. AB = 10 cm không suy ra A′B′ = 10 cm.
2. Tưởng góc được giữ. Vẽ hình vuông cứ phải có góc vuông, vẽ tam giác đều cứ phải đều: không cần. Tam giác nào cũng vẽ được thành tam giác tuỳ ý.
3. So tỉ số của hai đoạn không cùng phương. Tỉ số giữa cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân không được giữ, vì hai cạnh đó không song song.
4. Quên điều kiện "không cùng phương chiếu". Đường thẳng cùng phương chiếu chỉ chiếu thành một điểm.
5. Nhầm với bóng dưới ngọn đèn. Ngọn đèn ở gần toả tia ra từ một điểm, các tia không song song, nên bóng đèn không phải là phép chiếu song song. Vật càng gần đèn thì bóng càng to, tỉ số không còn được giữ.
6. Vẽ hình thang mà hai đáy không song song, hoặc sai tỉ số hai đáy. Hai đáy song song nên phải vẽ song song và đúng tỉ số.
7. Quên nét đứt cho cạnh khuất, làm hình khó đọc.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Tìm hình chiếu của điểm, của đoạn thẳng

Cách làm: qua điểm đó kẻ đường thẳng song song với phương chiếu, tìm giao điểm với mặt phẳng chiếu. Điểm nằm sẵn trên mặt phẳng chiếu thì đứng yên.

Bài 1. Cho lăng trụ tam giác ABC.MNP (AM, BN, CP là các cạnh bên). Chiếu lên mặt phẳng (BCPN) theo phương AB. Tìm hình chiếu của: a) điểm M; b) trung điểm I của MP; c) đoạn AP.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC, E là trung điểm của SB. Chiếu lên mặt phẳng (ABC) theo phương SA. Tìm hình chiếu của S, của E và của đường thẳng SA.

Dạng 2. Dùng tính chất để tính, để xét đúng sai

Cách làm: tỉ số trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song thì giữ nguyên; độ dài và góc thì không.

Bài 3. Một phép chiếu song song biến A, B, C, D, K thành A′, B′, C′, D′, K′.
a) K thuộc đoạn AB, AK = 2KB, A′B′ = 9 cm. Tính A′K′.
b) AB // CD, AB = 12 cm, CD = 8 cm, A′B′ = 9 cm. Tính C′D′.
c) Tam giác ABC vuông tại A. Tam giác A′B′C′ có chắc vuông tại A′ không?

Bài 4. G là trung điểm của đoạn UV, U′V′ = 7 cm. Tính U′G′.

Dạng 3. Vẽ và nhận ra hình biểu diễn

Cách làm: song song vẽ song song, trung điểm vẽ trung điểm, tỉ số trên cùng một đường giữ nguyên; cạnh khuất vẽ nét đứt.

Bài 5. Trong ba hình: (1) một hình bình hành, (2) một hình thang không phải hình bình hành, (3) một hình chữ nhật, hình nào có thể là hình biểu diễn của một hình vuông?

Bài 6. Vẽ hình biểu diễn của lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′, kèm trung điểm M của BC và trọng tâm G của tam giác ABC.

Dạng 4. Bài toán thực tế

Cách làm: xem màn hình hay mặt sân là mặt phẳng chiếu, rồi dùng ba tính chất.

Bài 7. Một game dựng hình bằng phép chiếu song song lên màn hình.
a) Ba trạm xe A, B, C thẳng hàng, cách đều nhau. Trên màn hình A′B′ = 45 px. Tính B′C′.
b) Tháp thứ nhất cao 30 m, được vẽ cao 60 px. Tháp thứ hai cao 45 m được vẽ cao bao nhiêu px?

Bài 8. Trời mưa có gió, hạt mưa rơi xiên theo cùng một phương. Một tấm bạt hình chữ nhật 4 m × 3 m căng nằm ngang phía trên sân phẳng. Vệt khô trên sân có hình gì, diện tích bao nhiêu?

Chuyện bên lề

Bài toán pháo đài. Thế kỉ 18, kĩ sư quân sự phải thiết kế pháo đài sao cho quân địch đứng ở đâu bên ngoài cũng không nhìn thấy và không bắn tới bên trong. Cách làm khi ấy là những phép tính rất dài.

Chàng thợ vẽ Gaspard Monge. Năm 1765, Monge (sinh năm 1746 ở Beaune, nước Pháp) vào trường công binh ở Mézières làm thợ vẽ, khi chưa đầy hai mươi tuổi. Được giao một bài toán pháo đài, ông không tính mà giải ngay trên bản vẽ, bằng cách chiếu vật thể lên mặt phẳng bằng các tia song song. Người ta hay kể rằng ông làm nhanh đến mức viên chỉ huy ban đầu không chịu nhận lời giải; kiểm tra kĩ thì nó đúng.

Bí mật quân sự. Phương pháp ấy, về sau gọi là hình học hoạ hình, bị giữ làm bí mật quân sự của nước Pháp trong nhiều năm. Mãi đến năm 1799 các bài giảng của Monge mới được in thành sách. Ông cũng là một trong những người lập ra trường Bách khoa Paris.

Trước và sau Monge. Từ năm 1525, hoạ sĩ Albrecht Dürer đã in một cuốn sách dạy đo vẽ bằng compa và thước, trong đó có dùng hình chiếu. Năm 1822, William Farish ở Anh hệ thống hoá kiểu vẽ "trục đo đều": một dạng chiếu song song mà ba trục nghiêng đều nhau.

Ngày nay. Bản vẽ kĩ thuật của mọi chi tiết máy, mọi ngôi nhà đều là hình chiếu song song, vì nó giữ đúng tỉ lệ. Game "góc nhìn chéo" (bắt đầu từ các máy thùng năm 1982) dùng chiếu song song nên vật thể to như nhau dù xa hay gần. Bản hướng dẫn lắp tủ, lắp đồ chơi xếp hình cũng vẽ kiểu này để mọi chi tiết không bị méo theo xa gần.

Trò chơi ở nhà (5 phút)

Vẽ nhanh, soi luật. Cần giấy kẻ ô, bút chì, thước và vài đồ vật hình khối trong nhà (hộp bánh, hộp sữa, cuốn sách dày, lon nước).

1. Mỗi người chọn một đồ vật và có 2 phút vẽ hình biểu diễn của nó lên giấy kẻ ô.
2. Đổi bài cho nhau và "soi luật", mỗi luật đúng được 1 điểm:
   • các cạnh song song ngoài đời có được vẽ song song không?
   • các cạnh song song và bằng nhau ngoài đời có được vẽ bằng nhau không?
   • cạnh khuất đã vẽ nét đứt chưa?
   • (với lon nước) hai đáy tròn đã vẽ thành elip chưa?
3. Thử thách thêm: đánh dấu trung điểm một cạnh của đồ vật thật bằng mẩu băng dính, rồi chấm điểm đó trên hình vẽ. Đo lại bằng thước: nó có nằm đúng giữa cạnh trên giấy không?

Ai nhiều điểm hơn thì được chọn đồ vật khó hơn cho người kia ở ván sau.