Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Học xong bài này bạn làm được ba việc: nhìn dấu đạo hàm để biết hàm số tăng hay giảm, lập bảng biến thiên, và tìm cực đại, cực tiểu mà không cần vẽ đồ thị.

1. Đồng biến, nghịch biến

Đi từ trái sang phải trên đồ thị:

• đồ thị đi lên → hàm số đồng biến (x tăng thì y tăng);
• đồ thị đi xuống → hàm số nghịch biến (x tăng thì y giảm).

Viết chặt chẽ, trên một khoảng K: đồng biến nghĩa là với mọi x₁ < x₂ trong K thì f(x₁) < f(x₂); nghịch biến thì f(x₁) > f(x₂). Đồng biến hoặc nghịch biến gọi chung là đơn điệu.

Ví dụ 1 (đời sống). Bạn đạp xe qua một con dốc: nửa đầu độ cao tăng dần (đồng biến theo quãng đường), qua đỉnh dốc thì độ cao giảm dần (nghịch biến).

Ví dụ 2 (toán). Hàm số y = −2x + 7 nghịch biến trên ℝ, vì x tăng 1 đơn vị thì y giảm 2 đơn vị. Đồ thị là đường thẳng đi xuống.

2. Dấu của đạo hàm cho biết tăng hay giảm

Đạo hàm f′(x) là độ dốc của đồ thị tại x. Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng K:

• f′(x) > 0 với mọi x thuộc K ⟹ hàm số đồng biến trên K;
• f′(x) < 0 với mọi x thuộc K ⟹ hàm số nghịch biến trên K.

(Nếu f′(x) ≥ 0 và chỉ bằng 0 tại vài điểm rời nhau thì hàm số vẫn đồng biến.)

Ví dụ 1. y = x² − 6x + 5. Ta có y′ = 2x − 6. y′ > 0 khi x > 3, y′ < 0 khi x < 3. Vậy hàm số nghịch biến trên (−∞; 3) và đồng biến trên (3; +∞).

Ví dụ 2. y = x³ + 3x. Ta có y′ = 3x² + 3 > 0 với mọi x. Hàm số đồng biến trên ℝ: đồ thị chỉ có đi lên.

3. Bảng biến thiên: 4 bước

1. Tìm tập xác định.
2. Tính y′; tìm các điểm mà y′ = 0 hoặc y′ không tồn tại.
3. Xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần, lập bảng: dòng x, dòng dấu của y′, dòng y (mũi tên lên nếu y′ dương, xuống nếu y′ âm).
4. Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến.

Ví dụ 1. y = x³ − 3x + 1. Tập xác định ℝ. y′ = 3x² − 3; y′ = 0 ⟺ x = −1 hoặc x = 1.

Hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞); nghịch biến trên (−1; 1).

Ví dụ 2. y = −x³ + 12x. y′ = −3x² + 12; y′ = 0 ⟺ x = −2 hoặc x = 2.

Hàm số nghịch biến trên (−∞; −2) và (2; +∞); đồng biến trên (−2; 2).

4. Cực đại, cực tiểu

• Hàm số đạt cực đại tại x₀ nếu f(x₀) lớn hơn mọi giá trị f(x) ở gần x₀ (một "đỉnh đồi").
• Hàm số đạt cực tiểu tại x₀ nếu f(x₀) nhỏ hơn mọi giá trị f(x) ở gần x₀ (một "đáy thung lũng").

Cách tìm: nhìn dấu y′ khi x đi qua x₀ (hàm số liên tục tại x₀):

• y′ đổi dấu từ + sang − ⟹ x₀ là điểm cực đại;
• y′ đổi dấu từ − sang + ⟹ x₀ là điểm cực tiểu;
• y′ không đổi dấu ⟹ x₀ không phải điểm cực trị.

Ví dụ 1. Với y = x³ − 3x + 1 (bảng ở trên): hàm số đạt cực đại tại x = −1, giá trị cực đại y_CĐ = 3; đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu y_CT = −1. Chú ý: y(3) = 19 > 3, nên cực đại không phải giá trị lớn nhất, nó chỉ cao nhất so với xung quanh.

Ví dụ 2 (bẫy). y = (x − 1)³. Ta có y′ = 3(x − 1)², y′ = 0 tại x = 1. Nhưng y′ > 0 ở cả hai bên của 1, không đổi dấu. Hàm số không có cực trị.

Bảng kí hiệu và cách gọi

Lỗi hay gặp

1. Thấy y′ = 0 là kết luận ngay có cực trị. Phải xem y′ có đổi dấu không. Ví dụ y = (x − 1)³.
2. Nhầm "điểm cực đại" với "giá trị cực đại". Hỏi "hàm số đạt cực đại tại đâu" thì trả lời x = −1; hỏi "giá trị cực đại" thì trả lời y = 3.
3. Tưởng cực đại là giá trị lớn nhất. Cực trị chỉ so với xung quanh. Thậm chí giá trị cực đại có thể nhỏ hơn giá trị cực tiểu (xem bài 3.1 bên dưới).
4. Quên tập xác định. Hàm số y = (3x + 1)/(x + 2) có y′ > 0 với mọi x ≠ −2, nhưng không được nói "đồng biến trên ℝ" hay "đồng biến trên (−∞; −2) ∪ (−2; +∞)". Phải nói: đồng biến trên từng khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞).
5. Xét dấu y′ sai ở khoảng giữa. Cách chắc ăn: lấy một số trong khoảng đó thay vào y′. Ví dụ y′ = 3x² − 3, thay x = 0 được −3 < 0.
6. Đọc đồ thị của y′ mà tưởng là đồ thị của y. Nếu đề cho đồ thị của y′ thì hàm số đồng biến ở chỗ đồ thị y′ nằm phía trên trục hoành, không phải chỗ đồ thị y′ đi lên.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Đọc đồ thị, đọc bảng biến thiên

Đi từ trái sang phải: lên là đồng biến, xuống là nghịch biến; đỉnh là cực đại, đáy là cực tiểu.

Bài 1.1. Đồ thị hàm số y = f(x) đi lên tới điểm (−2; 3), đi xuống tới điểm (0; −1), đi lên tới điểm (2; 3) rồi đi xuống mãi. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến và các cực trị.

Bài 1.2. Bảng biến thiên của hàm số y = f(x): x đi qua các mốc −∞, −3, 1, +∞; dấu của y′ lần lượt là −, +, −; giá trị y tại các mốc là +∞, −2, 5, −∞. Câu "hàm số đạt cực đại tại x = 5" đúng hay sai?

Dạng 2. Xét tính đơn điệu bằng đạo hàm

Tập xác định → tính y′ → tìm chỗ y′ = 0 hoặc không tồn tại → bảng biến thiên → kết luận.

Bài 2.1. Xét tính đơn điệu của hàm số y = 2x³ + 3x² − 12x + 1.

Bài 2.2. Xét tính đơn điệu của hàm số y = (3x + 1)/(x + 2).

Bài 2.3. Xét tính đơn điệu của hàm số y = −x³ + 3x² − 3x + 2.

Dạng 3. Tìm cực trị · bài toán thực tế

Lập bảng biến thiên, xem y′ đổi dấu ở đâu. Bài thực tế: "đỉnh", "đáy", "cao nhất quanh đó" trong đời sống chính là cực đại, cực tiểu của hàm số; nhớ điều kiện của biến.

Bài 3.1. Tìm cực trị của hàm số y = x + 4/x.

Bài 3.2. Trong 6 ngày mưa lũ, mực nước sông (tính bằng dm) sau t ngày là h(t) = −t³ + 9t² − 15t + 30, với 0 ≤ t ≤ 6. Nước rút trong thời gian nào, dâng trong thời gian nào? Đỉnh lũ rơi vào ngày nào, cao bao nhiêu?

Bài 3.3. Tìm cực trị của hàm số y = x⁴ − 2x² − 3.

Chuyện bên lề

Thùng rượu của Kepler. Năm 1613, nhà thiên văn Johannes Kepler mua rượu ở Linz (Áo). Người bán đo thùng bằng cách chọc một cây que qua lỗ rót tới mép đáy đối diện rồi tính tiền theo độ dài que. Kepler thấy khó tin, bèn ngồi tính xem thùng dáng nào chứa nhiều nhất, và năm 1615 in hẳn một cuốn sách về hình học của thùng rượu. Trong đó có một nhận xét rất đẹp: gần chỗ lớn nhất, giá trị gần như không thay đổi. (Người ta hay kể rằng thùng rượu ấy là để dùng trong đám cưới của ông.)

Fermat và "độ dốc bằng 0". Khoảng năm 1636, Pierre de Fermat, một luật sư ở Toulouse (Pháp) làm toán lúc rảnh, biến ý đó thành một phương pháp chung để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: nhích x đi một chút rồi đòi giá trị "gần như không đổi". Nói theo ngôn ngữ ngày nay: cho đạo hàm bằng 0. Descartes lúc đầu công kích phương pháp này, về sau cũng phải thừa nhận là nó đúng. Vài chục năm sau, Newton và Leibniz mới xây dựng xong phép tính đạo hàm.

Ngày nay. Khi huấn luyện một mô hình trí tuệ nhân tạo, máy tính có một "hàm sai số" và phải tìm chỗ nó nhỏ nhất. Cách làm là đi từng bước theo hướng dốc xuống, tức là dùng đạo hàm để dò tới đáy. Thiết kế vỏ lon tốn ít nhôm nhất, định giá bán để lãi nhiều nhất cũng là những bài toán cực trị.

Trò chơi ở nhà (5 phút)

"Đoán đồ thị từ dấu". Một người viết ra một dãy dấu của đạo hàm, ví dụ: + − + hoặc − + + −. Người kia phải vẽ phác trong 20 giây một đường cong khớp với dãy dấu đó, rồi chỉ ra đâu là cực đại, đâu là cực tiểu. Đổi vai. Nâng cấp: thêm dấu ‖ (chỗ hàm số không xác định) vào giữa dãy, hoặc cho hai dấu giống nhau đứng cạnh nhau (+ +) để xem người vẽ có "bịa" ra cực trị không.