Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Một bài hát mới ra: mấy ngày đầu lượt nghe tăng vọt, rồi giảm dần. Ngày nào được nghe nhiều nhất, và nhiều nhất là bao nhiêu? Học xong bài này bạn trả lời được bằng vài dòng tính.

1. Thế nào là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất?

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

• Số M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu có đủ hai điều:

  1. f(x) ≤ M với mọi x thuộc D (không giá trị nào vượt quá M);
  2. có một điểm x₀ thuộc D để f(x₀) = M (hàm số đạt được đúng giá trị đó).

  Kí hiệu: M = max f(x) trên D.

• Số m là giá trị nhỏ nhất nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và có x₀ thuộc D để f(x₀) = m. Kí hiệu: m = min f(x) trên D.

• Khi không nói "trên tập nào" thì hiểu là trên tập xác định của hàm số.

Ví dụ 1 (đọc trên đồ thị). Hàm số y = −x² + 4x trên đoạn [1; 4]. Đồ thị là một cung parabol: điểm cao nhất ứng với x = 2, điểm thấp nhất nằm ở đầu mút x = 4. Vậy max y = y(2) = 4, min y = y(4) = 0.

Ví dụ 2 (cái bẫy). Hàm số y = x trên khoảng (0; 2). Giá trị của hàm số tiến sát tới 2 nhưng không bao giờ bằng 2 (vì x không được bằng 2). Điều thứ hai không thoả mãn, nên hàm số không có giá trị lớn nhất. Tương tự, nó cũng không có giá trị nhỏ nhất.

2. Trên khoảng, nửa khoảng: lập bảng biến thiên

Không có sẵn đồ thị thì lập bảng biến thiên (như ở bài 1), rồi đọc kết quả ở dòng cuối.

Ví dụ 1. y = x² + 16/x trên khoảng (0; +∞).

• y' = 2x − 16/x²; y' = 0 khi x = 2.
• Trên (0; 2) đạo hàm âm, trên (2; +∞) đạo hàm dương: hàm số đi xuống tới y(2) = 12 rồi đi lên.
• Ở hai đầu, y đều tiến ra +∞.

Vậy min y = y(2) = 12, và hàm số không có giá trị lớn nhất.

Ví dụ 2. y = 4x / (x² + 1) trên cả tập số thực.

• y' = 4(1 − x²) / (x² + 1)²; y' = 0 khi x = −1 hoặc x = 1.
• Dấu của đạo hàm: âm, dương, âm. y(−1) = −2, y(1) = 2; khi x ra rất xa thì y chỉ tiến về 0.

Vậy max y = y(1) = 2, min y = y(−1) = −2.

3. Trên một đoạn: 3 bước, không cần bảng

Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thì chắc chắn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Tìm chúng như sau:

1. Tìm các điểm nằm trong khoảng (a; b) mà tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không tồn tại.
2. Tính f tại các điểm đó, và tính f(a), f(b).
3. Số lớn nhất trong các số vừa tính là max, số nhỏ nhất là min.

Ví dụ 1. y = x³ − 3x² − 9x + 5 trên đoạn [−2; 2].

• y' = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3); y' = 0 khi x = −1 hoặc x = 3. Số 3 nằm ngoài đoạn nên loại.
• y(−2) = 3, y(−1) = 10, y(2) = −17.
• max y = 10, min y = −17.

Ví dụ 2. y = x + 9/x trên đoạn [1; 9].

• y' = 1 − 9/x²; trong khoảng (1; 9) chỉ có x = 3.
• y(1) = 10, y(3) = 6, y(9) = 10.
• min y = 6; max y = 10, đạt ở cả hai đầu mút.

Bảng kí hiệu

Lỗi hay gặp

• Quên tính ở hai đầu mút. Trên một đoạn, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất rất hay nằm ở đầu mút.
• Giữ lại điểm nằm ngoài đoạn. Giải f'(x) = 0 xong phải kiểm tra từng nghiệm có thuộc (a; b) không.
• Thấy số to nhất trong bảng là kết luận ngay. Phải kiểm tra hàm số có đạt được số đó không: giá trị ở đầu mút không lấy, hay giới hạn ở vô cực, không phải là max hay min.
• Nhầm cực đại với giá trị lớn nhất. Cực đại chỉ là cao nhất so với xung quanh; giá trị lớn nhất là cao nhất trên cả tập đang xét.
• Bài thực tế quên điều kiện của ẩn (độ dài phải dương, thời gian không âm…), nên xét hàm số trên sai tập.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Đọc giá trị lớn nhất, nhỏ nhất từ bảng biến thiên

Cách làm: tìm số lớn nhất, nhỏ nhất ở dòng cuối, rồi kiểm tra hàm số có đạt được số đó không.

Bài 1. Hàm số y = f(x) trên nửa khoảng [−3; 4) có bảng biến thiên:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có).

Bài 2. Hàm số y = 2x + 1 có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên: a) đoạn [−1; 3]; b) nửa khoảng [−1; 3) không?

Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một đoạn

Cách làm: đúng 3 bước ở mục 3.

Bài 3. y = x³ − 6x² + 9x + 2 trên đoạn [0; 5].

Bài 4. y = (x² − 3)eˣ trên đoạn [0; 2].

Bài 5. y = x⁴ − 8x² + 3 trên đoạn [−1; 3].

Dạng 3. Bài toán thực tế

Cách làm: xác định hàm số và tập cần xét (điều kiện của ẩn), tìm max hoặc min, rồi trả lời đúng câu hỏi.

Bài 6. Sau t ngày phát hành (0 ≤ t ≤ 14), số lượt nghe mỗi ngày của một bài hát là N(t) = 60t / (t² + 9) (nghìn lượt). Ngày nào lượt nghe cao nhất?

Bài 7. An và Bình đi xe đạp trên hai con đường thẳng vuông góc với nhau tại một ngã tư. An xuất phát từ ngã tư, đi về phía bắc với vận tốc 12 km/h. Cùng lúc đó Bình đang ở cách ngã tư 10 km về phía đông và đi về phía ngã tư với vận tốc 16 km/h. Trong lúc Bình chưa tới ngã tư, sau bao lâu hai bạn ở gần nhau nhất?

Chuyện bên lề

• Có chắc là có giá trị lớn nhất không? Không phải lúc nào cũng có. Hàm y = x trên khoảng (0; 2) là một ví dụ. Nhưng nếu hàm số liên tục trên một đoạn [a; b] thì chắc chắn có cả giá trị lớn nhất lẫn giá trị nhỏ nhất.
• Người chứng minh điều này là Bernard Bolzano (1781–1848), một linh mục kiêm nhà toán học ở Praha, vào khoảng những năm 1830, trong bản thảo "Lí thuyết hàm".
• Từ năm 1819, Bolzano đã bị cách chức giáo sư ở Đại học Praha vì những bài giảng phản đối chiến tranh, và bị hạn chế xuất bản. Bản thảo ấy mãi đến năm 1930 mới được in, gần một trăm năm sau.
• Trong lúc đó, nhà toán học Đức Karl Weierstrass đã phát biểu lại định lí này, nên nhiều sách gọi nó là định lí Weierstrass.
• Ngày nay: doanh nghiệp tìm mức giá cho lợi nhuận lớn nhất; kĩ sư tìm thiết kế tốn ít vật liệu nhất; máy học "học" bằng cách tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm sai số. Tất cả đều là bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Trò chơi ở nhà (5 phút)

"Đoán đỉnh". Hai người chơi, cần giấy bút và máy tính cầm tay.

1. Người ra đề viết kín một hàm số trên đoạn [0; 5], ví dụ y = x³ − 6x² + 8x + 1.
2. Người đoán được hỏi giá trị của hàm số tại đúng 4 điểm tuỳ chọn, rồi đoán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn.
3. Lật đề, cả hai cùng làm 3 bước (tìm điểm có đạo hàm bằng 0, tính ở các điểm đó và hai đầu mút, so sánh) để xem đoán lệch bao nhiêu. Đổi vai.

Bài học rút ra: hỏi bừa 4 điểm thì dễ trượt, còn hỏi đúng hai đầu mút và các điểm đạo hàm bằng 0 thì không bao giờ sai.