Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Học xong bài này bạn sẽ: nhìn một đồ thị là chỉ ra được tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên; biết tìm từng loại bằng giới hạn; và hiểu tiệm cận nói gì trong một tình huống thực tế.

Mở đầu: cốc trà nguội tới đâu?

Pha một cốc trà nóng 90 °C rồi để quên trong căn phòng 25 °C. Lúc đầu trà nguội rất nhanh, sau đó chậm dần. Một tiếng sau nó còn khoảng 25,5 °C: sát nhiệt độ phòng nhưng không xuống thấp hơn.

Vẽ nhiệt độ theo thời gian, bạn được một đường cong cứ bám dần vào đường thẳng nằm ngang y = 25. Đường thẳng mà đồ thị bám dần như thế gọi là đường tiệm cận.

1. Tiệm cận ngang

Đường thẳng y = y₀ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0 \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0.$

Nói bằng lời: x chạy ra vô cực, còn y tiến tới một số.

Ví dụ 1 (bình nước muối). Bình có 2 lít nước lọc. Bạn rót thêm x lít nước muối loại 30 g/l. Lượng muối là 30x gam, lượng nước là x + 2 lít, nên nồng độ là

$C(x) = \frac{30x}{x + 2} \ \text{(g/l)}.$

Khi x → +∞ thì C(x) → 30. Rót càng nhiều, nồng độ càng gần 30 g/l nhưng không bao giờ đạt, vì trong bình luôn còn 2 lít nước lọc. Tiệm cận ngang: y = 30.

Ví dụ 2. $y = \dfrac{4x - 1}{2x + 3}$. Chia cả tử và mẫu cho x:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x - 1}{2x + 3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{3}{x}} = \frac{4}{2} = 2.$

Tiệm cận ngang: y = 2.

2. Tiệm cận đứng

Đường thẳng x = x₀ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các giới hạn một bên tại x₀ là vô cực:

$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty.$

Nói bằng lời: x tiến tới một số, còn y chạy ra vô cực.

Ví dụ 1 (đi chậm thì lâu). Quãng đường 60 km, đi với vận tốc v (km/h) thì mất $t = \dfrac{60}{v}$ giờ. Khi v → 0⁺ thì t → +∞: đi càng chậm càng lâu tới, đồ thị dựng đứng lên và bám vào trục tung. Tiệm cận đứng: v = 0.

Ví dụ 2. $y = \dfrac{x + 1}{x - 2}$. Mẫu bằng 0 tại x = 2, ở đó tử bằng 3 ≠ 0. Khi x → 2⁺ thì y → +∞; khi x → 2⁻ thì y → −∞. Tiệm cận đứng: x = 2.

3. Tiệm cận xiên

Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

$\lim_{x \to +\infty} \big[f(x) - (ax + b)\big] = 0 \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to -\infty} \big[f(x) - (ax + b)\big] = 0.$

Nói bằng lời: ra xa, khoảng cách theo chiều dọc giữa đồ thị và đường thẳng co dần về 0.

Ví dụ 1. $y = \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{x}$. Khi x rất lớn, $\dfrac{2}{x}$ gần như bằng 0, nên đồ thị áp sát đường thẳng $y = \dfrac{x}{2}$. Tiệm cận xiên: y = x/2.

Ví dụ 2. $y = \dfrac{x^2 + 3x + 1}{x + 1}$. Tử bậc hai, mẫu bậc nhất nên ta chia tử cho mẫu: $x^2 + 3x + 1 = (x + 1)(x + 2) - 1$, do đó

$y = x + 2 - \frac{1}{x + 1}.$

Phần $\dfrac{1}{x + 1}$ tiến về 0 khi x → ±∞. Tiệm cận xiên: y = x + 2.

Cách tổng quát (khi không chia được đa thức): $a = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}$, rồi $b = \lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - ax]$. Nếu a = 0 thì đó là tiệm cận ngang.

Bảng tóm tắt

Mẹo với hàm phân thức (đa thức chia đa thức), nhìn hai chỗ:

1. x → ±∞: bậc tử < bậc mẫu thì tiệm cận ngang là y = 0; bậc tử = bậc mẫu thì tiệm cận ngang là y = (tỉ số hai hệ số cao nhất); bậc tử = bậc mẫu + 1 thì có tiệm cận xiên (chia đa thức).
2. Điểm làm mẫu bằng 0: nếu ở đó hàm số tiến ra vô cực thì có tiệm cận đứng.

Lỗi hay gặp

• "Mẫu bằng 0 là có tiệm cận đứng." Chưa chắc. Nếu tử cũng bằng 0 tại đó thì phải rút gọn rồi tính giới hạn. Ví dụ $y = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = x + 3$ (x ≠ 3): khi x → 3 thì y → 6, nên x = 3 không phải tiệm cận đứng. Đồ thị chỉ là một đường thẳng thủng một lỗ.
• "Đồ thị không bao giờ cắt tiệm cận." Sai. Điều kiện chỉ nói về lúc x ra vô cực. Ở gần, đồ thị vẫn có thể cắt tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên của nó, thậm chí cắt vô số lần.
• Lấy nhầm hệ số. Với $y = \dfrac{6x + 5}{2x - 4}$, tiệm cận ngang là y = 6/2 = 3, không phải y = 6.
• Quên xét cả hai phía vô cực. Hàm có căn có thể có hai tiệm cận ngang khác nhau, ví dụ $y = \dfrac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x}$ có y = 2 (khi x → +∞) và y = −2 (khi x → −∞).
• Viết tiệm cận là một con số. Tiệm cận là đường thẳng, phải viết phương trình: "x = 2", "y = 3", không viết "tiệm cận đứng là 2".
• Đã có tiệm cận xiên mà vẫn đi tìm tiệm cận ngang ở cùng phía. Khi x → +∞ mà đồ thị đã áp sát một đường xiên thì ở phía đó không còn tiệm cận ngang.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Đọc tiệm cận từ đồ thị

Cách làm: nhánh nằm ngang dần về đâu thì đó là tiệm cận ngang; nhánh dựng đứng ở đâu thì đó là tiệm cận đứng.

Bài 1. Một đồ thị có hai nhánh. Khi x → +∞ và x → −∞, đồ thị sát dần đường y = 1. Bên trái x = −2 đồ thị vọt lên, bên phải x = −2 đồ thị lao xuống.
a) Viết bốn giới hạn tương ứng. b) Chỉ ra các tiệm cận.

Bài 2. Biết $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -3$, $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 4$ và $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$. Đồ thị có ít nhất những tiệm cận nào?

Dạng 2. Tìm tiệm cận ngang, tiệm cận đứng

Cách làm: tính giới hạn tại vô cực để tìm tiệm cận ngang; xét điểm làm mẫu bằng 0 để tìm tiệm cận đứng.

Bài 3. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{6x + 5}{2x - 4}$.

Bài 4. Đường thẳng x = 3 có phải tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ không?

Bài 5. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3}{x^2 - 4}$.

Dạng 3. Tìm tiệm cận xiên

Cách làm: với phân thức bậc hai trên bậc nhất, chia tử cho mẫu; phần thương bậc nhất là tiệm cận xiên.

Bài 6. Tìm tiệm cận xiên và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x^2 - 3x + 4}{x - 1}$.

Bài 7. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - 4x}{x + 1}$.

Dạng 4. Bài toán thực tế

Cách làm: viết hàm số, tìm tiệm cận, rồi nói ý nghĩa của tiệm cận trong tình huống đó.

Bài 8. Trong một trò chơi, bạn đã đấu 20 trận, thắng 8. Giả sử từ giờ bạn thắng liên tiếp x trận nữa.
a) Viết tỉ lệ thắng p(x). b) Tìm tiệm cận ngang và nêu ý nghĩa. c) Cần thắng liền bao nhiêu trận để tỉ lệ thắng đạt 80%?

Bài 9. Một bạn đã làm 10 bài kiểm tra, điểm trung bình 6. Giả sử từ giờ bài nào bạn cũng được 10 điểm, và làm thêm x bài. Viết điểm trung bình theo x, tìm tiệm cận ngang và nêu ý nghĩa.

Chuyện bên lề

Cái tên hơn 2 200 năm tuổi. Từ "asymptote" (tiệm cận) đến từ tiếng Hy Lạp asumptōtos, nghĩa là "không rơi vào nhau", tức không gặp nhau. Người đưa ra thuật ngữ này là Apollonius xứ Perga, nhà hình học Hy Lạp sống vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, được người đời sau gọi là "Nhà hình học vĩ đại". Trong bộ sách tám quyển về các đường conic, ông dành quyển II để nghiên cứu đường hypebol và các tiệm cận của nó. Cũng chính bộ sách ấy đặt ra ba cái tên parabol, elip, hypebol.

Tên là "không gặp nhau", nhưng ngày nay được phép gặp. Apollonius dùng từ này cho mọi đường thẳng không cắt đường cong. Ngày nay định nghĩa đã khác: tiệm cận là đường thẳng mà khoảng cách từ đồ thị tới nó tiến về 0 khi ra vô cực. Vì thế đồ thị vẫn có thể cắt tiệm cận của nó, thậm chí cắt vô số lần (ví dụ một đường lượn sóng tắt dần quanh một đường thẳng).

Vào tiếng Anh năm 1656. Trích dẫn sớm nhất được ghi nhận là của triết gia Thomas Hobbes: các tiệm cận "cứ tới gần hơn, gần hơn nữa, nhưng không bao giờ chạm".

Cốc trà và Newton. Năm 1701, Newton công bố quy luật làm nguội: vật nguội nhanh hay chậm tuỳ vào chênh lệch nhiệt độ với xung quanh. Hệ quả là nhiệt độ cốc trà giảm theo một đường cong có tiệm cận ngang đúng bằng nhiệt độ phòng. (Đây là mô hình gần đúng.)

Ngày nay dùng vào đâu? Mỗi khi vẽ đồ thị một hàm số, tiệm cận là "đường dẫn" cho biết dáng đồ thị ở xa. Còn ngoài đời, tiệm cận là những giới hạn không vượt qua được: cốc trà không nguội hơn nhiệt độ phòng, bình nước muối không mặn hơn nước rót vào, tỉ lệ thắng không vượt 100%.

Trò chơi 5 phút ở nhà

"Về đích mà không tới đích". Đứng cách tường 4 mét. Mỗi lượt, bạn bước một nửa quãng còn lại: 2 m, rồi 1 m, rồi 0,5 m… Ghi lại khoảng cách tới tường sau mỗi lượt và chấm lên giấy kẻ ô (trục ngang là số lượt, trục dọc là khoảng cách). Các chấm bám dần vào trục ngang: đó là một tiệm cận ngang y = 0. Hỏi nhau: sau bao nhiêu lượt thì khoảng cách nhỏ hơn 1 cm? (Đáp án: 4 m = 400 cm, cần 400/2ⁿ < 1, tức n = 9 lượt.)