Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Chỉ có công thức, không có máy tính: làm sao vẽ đúng dáng đồ thị? Tính vài điểm rồi nối lại rất dễ sai (nối xuyên qua chỗ hàm số không xác định, bỏ sót đỉnh, đáy). Bài này cho bạn một sơ đồ ba bước dùng được cho mọi hàm số, rồi áp dụng cho hai họ hàm hay gặp nhất: hàm bậc ba và hàm phân thức.

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

1. Tìm tập xác định.
2. Xét sự biến thiên:
   • tính đạo hàm y', tìm các điểm tại đó y' = 0 hoặc y' không tồn tại;
   • xét dấu y' để biết khoảng đồng biến, nghịch biến;
   • tìm cực trị;
   • tìm giới hạn ở vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận (nếu có);
   • gom tất cả vào bảng biến thiên.
3. Vẽ đồ thị dựa vào bảng biến thiên. Nên chấm thêm vài điểm đặc biệt (giao điểm với trục tung, trục hoành) và để ý tính đối xứng.

2. Hàm bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

Ví dụ 1 (có hai cực trị). y = x³ + 3x² − 2

• Tập xác định: ℝ.
• y' = 3x² + 6x = 3x(x + 2); y' = 0 khi x = −2 hoặc x = 0.
• Dấu y': + trên (−∞; −2), − trên (−2; 0), + trên (0; +∞).
• Cực đại tại x = −2, y = 2; cực tiểu tại x = 0, y = −2.
• x → −∞ thì y → −∞; x → +∞ thì y → +∞.

• Đồ thị: chấm (−2; 2) và (0; −2), vẽ đường cong đi lên, xuống, rồi lên. Tâm đối xứng là I(−1; 0), nằm chính giữa hai điểm cực trị.

Ví dụ 2 (không có cực trị). y = −x³ − 2x + 3

• y' = −3x² − 2 < 0 với mọi x: hàm số nghịch biến trên ℝ, không có cực trị.
• x → −∞ thì y → +∞; x → +∞ thì y → −∞. Bảng biến thiên chỉ có một mũi tên đi xuống.
• Đồ thị cắt trục tung tại (0; 3), cắt trục hoành tại (1; 0). Tâm đối xứng I(0; 3).

Ghi nhớ về đồ thị hàm bậc ba

• Chỉ có hai kiểu: có hai cực trị (khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt) hoặc không có cực trị.
• a > 0: nhánh cuối (bên phải) đi lên. a < 0: nhánh cuối đi xuống.
• Không có tiệm cận.
• Luôn có một tâm đối xứng: điểm có hoành độ là nghiệm của y'' = 0, tức x = −b/(3a).

3. Hàm phân thức

a) Bậc nhất trên bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d)

Ví dụ 1. y = (x − 3)/(x + 1)

• Tập xác định: x ≠ −1.
• y' = 4/(x + 1)² > 0: đồng biến trên từng khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞); không có cực trị.
• x → ±∞ thì y → 1: tiệm cận ngang y = 1.
• x → −1⁻ thì y → +∞, x → −1⁺ thì y → −∞: tiệm cận đứng x = −1.

• Đồ thị: kẻ hai tiệm cận trước; chấm (0; −3) và (3; 0); vẽ hai nhánh ôm lấy hai tiệm cận. Tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận: I(−1; 1).

b) Bậc hai trên bậc nhất: y = (ax² + bx + c)/(px + q)

Ví dụ 2. y = (x² − 3x + 3)/(x − 1)

• Tập xác định: x ≠ 1. Chia tử cho mẫu: y = x − 2 + 1/(x − 1).
• Phần 1/(x − 1) tiến tới 0 khi x → ±∞, nên đồ thị bám dần vào đường thẳng y = x − 2: đó là tiệm cận xiên. Tiệm cận đứng: x = 1.
• y' = 1 − 1/(x − 1)²; y' = 0 khi x = 0 hoặc x = 2.
• Cực đại tại x = 0, y = −3; cực tiểu tại x = 2, y = 1.

• Đồ thị: kẻ hai tiệm cận, chấm (0; −3) và (2; 1), vẽ hai nhánh. Tâm đối xứng I(1; −1).

Ghi nhớ về đồ thị hàm phân thức

• Gồm hai nhánh rời nhau, không bao giờ nối qua tiệm cận đứng.
• Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng; hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai tiệm cận là hai trục đối xứng.

Bảng tóm tắt

Lỗi hay gặp

• Nối hai nhánh qua tiệm cận đứng. Tại chỗ hàm số không xác định, đồ thị bị đứt.
• Kết luận "đồng biến trên tập xác định" cho hàm phân thức. Phải nói "trên từng khoảng (−∞; …) và (…; +∞)".
• Sai giới hạn khi a âm. Với hàm bậc ba có a < 0: x → −∞ thì y → +∞, và ngược lại.
• Quên hai gạch đứng trong bảng biến thiên tại điểm hàm số không xác định.
• Vẽ đồ thị trước khi kẻ tiệm cận: hai nhánh dễ bị lệch dáng. Hãy kẻ tiệm cận trước.
• Tưởng cực đại luôn lớn hơn cực tiểu. Ở ví dụ 2 mục 3b, giá trị cực đại là −3 còn giá trị cực tiểu là 1, vì hai điểm nằm trên hai nhánh khác nhau.

Bài tập theo dạng

Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc ba

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x³ + 6x² − 9x + 4.

Bài 2. Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = x³ − 9x² + 20.

Dạng 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = (x + 2)/(x − 1).

Bài 4. Tìm các tiệm cận và cực trị của hàm số y = (x² + 5)/(x − 2).

Dạng 3: Bài toán thực tế

Bài 5. Bạn đã chơi 20 ván cờ và thắng 8 ván. Từ giờ, giả sử bạn thắng liên tiếp x ván nữa. Tỉ lệ thắng thay đổi thế nào? Có khi nào đạt 100% không? Cần thắng liên tiếp bao nhiêu ván để đạt 70%?

Chuyện bên lề

Newton đi đếm dáng đường cong. Đường bậc hai chỉ có ba dáng quen thuộc: elip, parabol, hypebol. Lên bậc ba thì rối hơn hẳn. Vào những năm 1660–1670, Isaac Newton thử xếp loại mọi đường cong bậc ba và đếm được 72 dáng, chia thành bốn nhóm. Bảng xếp loại được in năm 1704, kèm trong cuốn sách về ánh sáng của ông.

Bảng in có 72, tổng cộng là 78. Năm 1717, James Stirling in một cuốn sách mở rộng công trình của Newton và bổ sung 4 dáng chưa có trong bảng in. Về sau thêm 2 dáng nữa được công bố. Tổng cộng: 78 dáng. (Có tài liệu cho rằng trong bản thảo riêng, Newton đã tìm ra cả 6 dáng ấy nhưng không đưa vào bảng in.)

Còn hàm số trong bài thì sao? 78 dáng là của đường cong bậc ba nói chung (phương trình bậc ba theo cả x và y). Đồ thị hàm số y = ax³ + bx² + cx + d chỉ là một góc rất nhỏ trong đó, nên chỉ có vài dáng như bạn vừa học.

Ngày nay. Chữ trên màn hình và hình vẽ vector (logo, biểu tượng) thường được ghép từ rất nhiều đoạn cong bậc ba ngắn, gọi là đường cong Bézier, theo tên kĩ sư Pierre Bézier, người dùng chúng để thiết kế vỏ xe hơi trong thập niên 1960.

Nguồn và độ chắc chắn của từng chi tiết: xem lich-su.md.

Trò chơi ở nhà (5 phút)

Đoán dáng trước, kiểm tra sau. Một người viết ra một hàm bậc ba hoặc hàm phân thức bất kì. Người kia có 60 giây để phác dáng đồ thị trên giấy, chỉ cần đúng: mấy cực trị, tiệm cận ở đâu, nhánh cuối đi lên hay đi xuống. Sau đó mở một phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra. Đúng dáng được 1 điểm, đúng cả vị trí cực trị và tiệm cận được 2 điểm. Đổi vai sau mỗi lượt.