Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bạn cắm sạc điện thoại: từ 0 lên 50% rất nhanh, nhưng từ 80% lên 100% thì chờ mãi. Vậy tại mỗi thời điểm, pin đang tăng nhanh cỡ nào? Một câu hỏi khác: đi xe máy với tốc độ nào thì tốn ít xăng nhất? Câu đầu hỏi về tốc độ thay đổi, câu sau hỏi về phương án tốt nhất. Cả hai đều trả lời được bằng đạo hàm.

1. Đạo hàm là tốc độ thay đổi

Cho y = f(x). Khi x đi từ x₁ đến x₂:

• tỉ số (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁) là tốc độ thay đổi trung bình của y trên đoạn đó;
• cho x₂ tiến sát x₁, ta được tốc độ thay đổi tức thời tại x₁. Đó chính là đạo hàm.

f′(a) là tốc độ thay đổi tức thời của y = f(x) tại x = a.
f′(a) > 0: đang tăng · f′(a) < 0: đang giảm. Đơn vị: "đơn vị của y trên mỗi đơn vị của x".

Ví dụ 1 (sạc pin). Sau t phút cắm sạc, phần trăm pin là P(t) = 100t / (t + 20).

P′(t) = 2000 / (t + 20)².

• Lúc vừa cắm: P′(0) = 5. Pin đang tăng 5% mỗi phút.
• Lúc t = 60: pin đã được 75%, nhưng P′(60) = 2000/6400 ≈ 0,3. Chỉ còn tăng khoảng 0,3% mỗi phút.

Càng đầy, pin càng lên chậm. Con số P′(t) cho bạn thấy đúng điều đó.

Ví dụ 2 (bóng bay). Quả bóng hình cầu bán kính r (cm) có thể tích V = (4/3)πr³.

V′(r) = 4πr². Khi r = 10: V′(10) = 400π ≈ 1257.

Nghĩa là lúc bán kính bằng 10 cm, thể tích đang tăng khoảng 1257 cm³ trên mỗi xăng-ti-mét bán kính. Lưu ý: tốc độ thay đổi không nhất thiết là "theo thời gian". Ở đây là theo bán kính.

Vài tên gọi quen thuộc của "tốc độ thay đổi":

2. Bài toán tối ưu hoá: 3 bước

"Tối ưu hoá" là tìm phương án tốt nhất: diện tích lớn nhất, tốn ít vật liệu nhất, nhanh nhất… Khó nhất không phải là tính đạo hàm, mà là chuyển lời văn thành hàm số.

1. Xác định đại lượng Q cần lớn nhất (hoặc nhỏ nhất).
2. Chọn ẩn x, viết Q = Q(x), và ghi điều kiện của x.
3. Dùng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của Q(x), rồi trả lời đúng câu hỏi.

Ví dụ 1 (xe máy). Khi chạy đều v km/h (20 ≤ v ≤ 80), lượng xăng cho 100 km là f(v) = 40/v + v/40 (lít).

f′(v) = −40/v² + 1/40; f′(v) = 0 khi v² = 1600, tức v = 40.

Tốn ít xăng nhất khi chạy 40 km/h: 2 lít cho 100 km. Đi chậm quá hay nhanh quá đều tốn hơn.

Ví dụ 2 (máng nước). Tấm tôn rộng 36 cm, bẻ hai mép lên vuông góc để làm máng. Bẻ mỗi mép bao nhiêu thì máng chứa được nhiều nước nhất?

Nhiều bạn đoán "chia đều ba phần, mỗi phần 12". Thử tính:

Gọi x (cm) là phần bẻ lên, 0 < x < 18. Đáy máng còn 36 − 2x. Diện tích mặt cắt: S(x) = x(36 − 2x).

S′(x) = 36 − 4x = 0 khi x = 9; S′ đổi dấu từ dương sang âm nên S lớn nhất tại x = 9: S(9) = 162 cm².

Chia đều thì chỉ được S(12) = 144 cm². Vậy bẻ mỗi mép 9 cm, đáy 18 cm.

Bảng tóm tắt

Lỗi hay gặp

• Quên dấu âm. Đang giảm thì đạo hàm âm. "Tan 4 gam mỗi phút" nghĩa là m′(t) = −4, không phải 4.
• Quên đơn vị. P′(0) = 5 chưa nói được gì; phải là "5% mỗi phút".
• Tìm sai đại lượng. Đề hỏi "lúc nào lan nhanh nhất" mà lại giải N′(t) = 0: đó là lúc N lớn nhất, không phải lúc tốc độ lớn nhất.
• Quên điều kiện của ẩn. x là độ dài thì phải dương; tấm tôn rộng 36 thì x < 18. Nghiệm của đạo hàm nằm ngoài điều kiện thì loại.
• Thấy đạo hàm bằng 0 là kết luận ngay. Phải xét dấu đạo hàm (bảng biến thiên), hoặc so sánh với giá trị ở hai đầu mút nếu xét trên một đoạn.
• Trả lời thiếu. Đề hỏi kích thước tờ giấy mà chỉ ghi x = 16.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Tính tốc độ thay đổi

Cách làm: tính đạo hàm, thay số, rồi nói rõ ý nghĩa kèm đơn vị.

Bài 1. Một viên đá lạnh đang tan. Sau t phút, khối lượng của nó là m(t) = 0,5t² − 20t + 200 (gam), 0 ≤ t ≤ 20.
a) Tính tốc độ thay đổi khối lượng lúc t = 5. b) Lúc nào viên đá chỉ còn tan 4 gam mỗi phút?

Bài 2. Một cây tre non cao h(t) = 0,2t² + 3t (cm) sau t ngày (0 ≤ t ≤ 30). Ngày thứ 10 cây đang mọc nhanh cỡ nào? Ngày thứ mấy thì cây mọc 11 cm mỗi ngày?

Dạng 2. Tối ưu hoá hình học

Cách làm: gọi ẩn, viết đại lượng cần tìm theo một ẩn, ghi điều kiện, rồi dùng đạo hàm.

Bài 3. Bạn thiết kế một tấm áp phích. Phần in chữ là hình chữ nhật có diện tích 384 cm². Lề trái và lề phải mỗi bên 2 cm; lề trên và lề dưới mỗi bên 3 cm. Chọn kích thước phần in thế nào để tốn ít giấy nhất?

Bài 4. Một sợi dây thép dài 60 cm được uốn thành khung hình chữ nhật. Uốn thế nào để diện tích lớn nhất?

Dạng 3. Bài toán thực tế

Cách làm: đọc kĩ xem đề hỏi đại lượng nào lớn nhất, lập hàm số cho đúng đại lượng đó, rồi mới đạo hàm.

Bài 5. Một tin vui lan trong trường. Sau t giờ (0 ≤ t ≤ 8), số bạn đã biết tin là N(t) = −t³ + 12t².
a) Lúc t = 2, tin đang lan nhanh cỡ nào? b) Lúc nào tin lan nhanh nhất?

Bài 6. Một vườn có 40 cây xoài, mỗi cây cho 60 kg quả mỗi vụ. Cứ trồng thêm 1 cây thì mỗi cây giảm 1 kg quả. Nên trồng thêm bao nhiêu cây để tổng sản lượng lớn nhất?

Chuyện bên lề

• Đạo hàm sinh ra để làm đúng hai việc trong bài này. Khoảng năm 1665, dịch hạch làm Đại học Cambridge đóng cửa, Isaac Newton về quê và ở đó đặt nền móng cho phép tính đạo hàm. Ông coi các đại lượng là thứ "đang chảy" theo thời gian, và gọi tốc độ thay đổi tức thời của chúng là fluxion (nghĩa gần như "độ chảy"). Sách của ông về phương pháp này viết xong năm 1671 nhưng tới năm 1736, sau khi ông mất, mới được in.
• Bài báo đầu tiên. Tháng 10 năm 1684, ở Đức, Gottfried Leibniz in bài báo đầu tiên về phép tính đạo hàm. Tên bài: "Một phương pháp mới cho cực đại và cực tiểu, và cho tiếp tuyến…". Kí hiệu dx, dy và các quy tắc đạo hàm của tích, thương mà bạn đang dùng xuất hiện từ bài báo ấy. Có nguồn kể rằng bài báo không kèm chứng minh, khó tới mức một nhà toán học cùng thời gọi nó là "một câu đố hơn là một lời giải thích".
• Ai nghĩ ra trước? Hai ông và những người ủng hộ đã cãi nhau gay gắt. Hội Hoàng gia Anh lập một uỷ ban để phân xử, và bản báo cáo (nghiêng về Newton) lại do chính Newton viết. Ngày nay người ta coi hai ông tìm ra độc lập với nhau; phần lớn kí hiệu ta dùng là của Leibniz.
• Chuyện tổ ong. Người ta hay kể rằng vào thế kỉ 18, các nhà toán học đã dùng phép tính mới này để kiểm tra đáy ô tổ ong, và thấy dáng ấy gần như là dáng tốn ít sáp nhất. Về sau có người chỉ ra một dáng khác còn tiết kiệm hơn một chút xíu, nên đừng tin câu "ong giỏi toán tuyệt đối".
• Ngày nay. Đồng hồ tốc độ trên xe cho bạn thấy đạo hàm của quãng đường ngay lúc đang chạy. Trong kinh tế, "chi phí biên" là đạo hàm của hàm chi phí. Còn kĩ sư giải bài toán tối ưu mỗi khi thiết kế một sản phẩm tốn ít vật liệu, ít nhiên liệu nhất.

Trò chơi ở nhà (5 phút)

Đoán rồi tính. Lấy một tờ giấy A4 (rộng 21 cm). Gấp hai mép dài lên để làm "máng".

1. Mỗi người đoán: gấp mỗi mép bao nhiêu xăng-ti-mét thì mặt cắt của máng lớn nhất? Ghi lại con số mình đoán.
2. Cùng tính: S(x) = x(21 − 2x), S′(x) = 21 − 4x = 0 khi x = 5,25.
3. Ai đoán gần 5,25 cm nhất thì thắng. Thử gấp đúng 5,25 cm và so với cách "chia đều ba phần" (mỗi phần 7 cm): S(5,25) ≈ 55,1 cm² còn S(7) = 49 cm².

Quy luật để nhớ: với máng chữ U thành thẳng đứng, đáy luôn dài gấp đôi thành.