Vectơ trong không gian

Bài này ngắn gọn một câu: mọi thứ bạn biết về vectơ ở lớp 10 vẫn đúng, chỉ là các mũi tên không còn bị nhốt trên một tờ giấy. Thêm đúng một quy tắc mới (quy tắc hình hộp) và một thói quen mới (muốn đo góc thì đưa hai vectơ về chung gốc).

Trong bài, hình hộp được đặt tên ABCD.MNPQ: đáy dưới ABCD, đáy trên MNPQ, các đỉnh M, N, P, Q lần lượt nằm trên A, B, C, D.

Mở đầu: con muỗi bay bao xa?

Một con muỗi đậu ở góc sàn phòng bạn. Nó bay dọc chân tường 6 m, rẽ ngang 3 m, rồi bay thẳng lên 2 m. Nó cách chỗ xuất phát bao xa?

Không phải 6 + 3 + 2 = 11 m, mà đúng 7 m. Ba chặng bay ấy không cùng nằm trên một mặt phẳng nào, nên muốn "cộng" chúng ta cần vectơ trong không gian. Cuối bài bạn sẽ tự tính ra con số 7.

1. Vectơ trong không gian

• Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối.
• Giá, cùng phương, cùng hướng, ngược hướng, bằng nhau, vectơ-không: định nghĩa y hệt trong mặt phẳng.
• Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài. Hai vectơ đối nhau khi ngược hướng và cùng độ dài.
• Điểm mới duy nhất: các vectơ không buộc phải nằm chung một mặt phẳng.

Ví dụ 1 (ngăn kéo). Bạn kéo ngăn kéo tủ ra 30 cm. Bốn góc của mặt ngăn kéo dịch chuyển theo bốn vectơ cùng hướng, cùng độ dài 30 cm. Đó là bốn vectơ bằng nhau, dù chúng nằm ở bốn chỗ khác nhau trong không gian.

Ví dụ 2 (hình hộp). Trong hình hộp ABCD.MNPQ: vectơ AB = vectơ DC = vectơ MN = vectơ QP (bốn cạnh song song, cùng chiều mũi tên). Còn vectơ PQ cùng độ dài nhưng ngược hướng, nên vectơ PQ là vectơ đối của vectơ AB.

2. Tổng, hiệu và quy tắc hình hộp

• Quy tắc ba điểm: vectơ AB + vectơ BC = vectơ AC, với ba điểm A, B, C bất kì trong không gian.

• Quy tắc hình bình hành: nếu ABCD là hình bình hành thì vectơ AB + vectơ AD = vectơ AC.

• Quy tắc hình hộp (mới): trong hình hộp ABCD.MNPQ,

  vectơ AB + vectơ AD + vectơ AM = vectơ AP.

  Tổng của ba vectơ nằm trên ba cạnh chung một đỉnh bằng vectơ đường chéo xuất phát từ đỉnh ấy. Lí do: trượt vectơ AD tới B (thành vectơ BC), trượt vectơ AM tới C (thành vectơ CP); ba mũi tên nối đuôi nhau đi từ A tới P.

• Hiệu: trừ một vectơ là cộng với vectơ đối của nó. Quy tắc hiệu: vectơ OB − vectơ OA = vectơ AB.

• Phép cộng vẫn giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ-không thì không đổi.

Ví dụ 1 (con muỗi). Ba chặng bay là ba cạnh của một hình hộp chữ nhật 6 × 3 × 2. Tổng của ba vectơ ấy là vectơ đường chéo, nối thẳng từ chỗ xuất phát tới con muỗi.

Ví dụ 2. Xuất phát từ đỉnh P: vectơ PQ + vectơ PN + vectơ PC = vectơ PA. Còn vectơ AP − vectơ AC = vectơ CP.

3. Tích của một số với một vectơ

Với số k ≠ 0 và vectơ a ≠ vectơ-không, vectơ k·a:

• cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0;
• có độ dài bằng |k| · |a|.

Quy ước 0·a = vectơ-không. Hai vectơ a và b (b khác vectơ-không) cùng phương khi và chỉ khi có số k để a = k·b. Các tính chất phân phối, kết hợp giống hệt trong mặt phẳng.

Ví dụ 1 (tàu lặn). Một tàu lặn đang lặn xiên xuống, mỗi phút dịch chuyển một vectơ v. Sau 3 phút nó dịch chuyển 3v (cùng hướng, dài gấp ba). Nếu nổi lên theo đường cũ trong 2 phút thì độ dịch chuyển là −2v.

Ví dụ 2 (tâm hình hộp). Gọi T là tâm hình hộp, tức trung điểm của đường chéo AP. Khi đó vectơ AP = 2 · vectơ AT, nên vectơ AT = ½ (vectơ AB + vectơ AD + vectơ AM).

4. Tích vô hướng

Góc giữa hai vectơ. Lấy một điểm O bất kì, vẽ vectơ OA = a và vectơ OB = b. Góc AOB (từ 0° đến 180°) là góc giữa a và b, kí hiệu (a, b). Nói nôm na: trượt hai vectơ về chung một gốc rồi đo. Góc 90° thì hai vectơ vuông góc.

Tích vô hướng là một số:

a · b = |a| · |b| · cos(a, b)

Hai điều cần nhớ:

• a ⊥ b ⇔ a · b = 0 (với a, b khác vectơ-không);
• a · a = |a|².

Tích vô hướng giao hoán và phân phối với phép cộng: a · (b + c) = a · b + a · c.

Ví dụ 1 (tứ diện đều). Tứ diện đều S.ABC cạnh 2. Mặt SAB là tam giác đều nên góc giữa vectơ SA và vectơ SB là 60°: vectơ SA · vectơ SB = 2 · 2 · ½ = 2. Tương tự vectơ SA · vectơ SC = 2. Suy ra vectơ SA · vectơ BC = vectơ SA · (vectơ SC − vectơ SB) = 2 − 2 = 0: hai cạnh đối của tứ diện đều vuông góc với nhau.

Ví dụ 2 (con muỗi). Gọi ba chặng bay là a, b, c, đôi một vuông góc, nên a · b = b · c = c · a = 0. Do đó |a + b + c|² = |a|² + |b|² + |c|² = 6² + 3² + 2² = 49, tức con muỗi cách chỗ xuất phát 7 m.

Bảng tóm tắt

Lỗi hay gặp

• Thấy song song và dài bằng nhau là kết luận "bằng nhau". Phải xem cả hướng: vectơ NM song song, dài bằng vectơ AB nhưng ngược hướng, nên là vectơ đối.
• Dùng quy tắc hình hộp khi ba vectơ chưa chung gốc. Phải thay từng vectơ bằng vectơ bằng nó để cả ba cùng xuất phát từ một đỉnh.
• Lấy góc giữa hai vectơ mà chưa đưa về chung gốc. Hai vectơ "đuôi nối đầu" tạo với nhau góc bù của góc bạn nhìn thấy.
• Nhầm góc giữa hai vectơ với góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng chỉ từ 0° đến 90°, còn góc giữa hai vectơ từ 0° đến 180° (tích vô hướng có thể âm).
• Coi tích vô hướng là một vectơ. Kết quả là một số.
• Cộng độ dài thay cho cộng vectơ: 6 + 3 + 2 = 11 là quãng đường con muỗi bay, không phải khoảng cách tới chỗ xuất phát.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Nhận biết vectơ bằng nhau, đối nhau

Bài 1. Cho hình hộp ABCD.MNPQ. Trong bốn vectơ DC, QP, NM, CP, vectơ nào bằng vectơ AB?

Bài 2. Cho hình hộp ABCD.MNPQ. a) Kể ba vectơ (khác vectơ AD) bằng vectơ AD. b) Tìm vectơ có điểm đầu P và là vectơ đối của vectơ AM.

Dạng 2. Rút gọn tổng, hiệu các vectơ

Bài 1. Cho hình hộp ABCD.MNPQ. Rút gọn: a) vectơ AB + vectơ CP + vectơ MQ; b) vectơ AP − vectơ AB − vectơ AD.

Bài 2. Cho hình hộp ABCD.MNPQ. Rút gọn vectơ BA + vectơ BC + vectơ BN.

Dạng 3. Biểu diễn một vectơ theo ba vectơ cho trước

Bài 1. Hình hộp ABCD.MNPQ, đặt vectơ AB = u, vectơ AD = v, vectơ AM = w. K là trung điểm CP, T là tâm hình hộp. a) Biểu diễn vectơ AK. b) Biểu diễn vectơ TK rồi nhận xét.

Bài 2. Cùng hình hộp, E là trung điểm MN. Biểu diễn vectơ AE theo u, v, w.

Dạng 4. Tính tích vô hướng và góc

Bài 1. Tứ diện D.ABC có DA, DB, DC đôi một vuông góc, DA = 3, DB = 4, DC = 4. a) Tính vectơ AB · vectơ AC. b) Tính cos của góc BAC.

Bài 2. Hình lập phương ABCD.MNPQ cạnh 3. Tính góc giữa hai vectơ AN và BP.

Bài 3. Một con ong rời tổ, bay 4 m về hướng đông, 4 m về hướng bắc, rồi lên cao 7 m. Nó cách tổ bao xa?

Chuyện bên lề

Cuốn sách bị bán làm giấy vụn. Một trong những người đầu tiên xây dựng phép tính với các "đoạn thẳng có hướng" trong không gian là Hermann Grassmann (1809–1877), một thầy giáo trung học ở thành phố Stettin, khi ấy thuộc nước Phổ. Năm 1844 ông in cuốn sách thường được gọi tắt là "Lí thuyết mở rộng". Trong đó, ông cộng và nhân các đại lượng có hướng trong không gian ba chiều, bốn chiều, hay bao nhiêu chiều cũng được: với ông, con số 3 không có gì đặc biệt.

Cuốn sách quá mới và quá khó đọc. Gần như không ai mua, phần sách tồn kho về sau bị đem bán làm giấy vụn. Grassmann xin vào đại học không được, và dạy trung học suốt đời. Thất vọng với toán, ông quay sang nghiên cứu tiếng Phạn và lại nổi tiếng ở lĩnh vực ấy trước.

Mãi về sau các nhà toán học mới nhận ra ý tưởng của ông chính là nền móng của đại số tuyến tính, thứ mà ngày nay mọi sinh viên kĩ thuật đều phải học.

Tích vô hướng trong trò chơi ba chiều. Để biết một mặt của nhân vật sáng hay tối, máy tính lấy vectơ đơn vị vuông góc với mặt đó và vectơ đơn vị chỉ về phía nguồn sáng, rồi nhân vô hướng. Kết quả chính là côsin của góc giữa hai vectơ: gần 1 thì mặt sáng rực, bằng 0 thì tối. Phép tính này chạy hàng triệu lần cho mỗi khung hình.

Trò chơi 5 phút ở nhà

Săn hình hộp. Đứng ở một góc phòng. Chọn một đồ vật bất kì (bóng đèn, tay nắm cửa, đồng hồ treo tường). Ước lượng ba số: đi dọc tường bao nhiêu mét, đi ngang bao nhiêu mét, lên cao bao nhiêu mét thì tới nó. Rồi tính khoảng cách thẳng từ góc phòng tới đồ vật bằng căn của tổng ba bình phương, và dùng thước dây (hoặc sợi dây) kiểm tra lại. Ai ước sát hơn thì thắng.