Hệ trục toạ độ trong không gian

Học xong bài này bạn sẽ: dựng được hệ trục toạ độ Oxyz, đọc và viết được toạ độ của một điểm, toạ độ của một vectơ trong không gian, và dùng chúng để mô tả vị trí, độ dịch chuyển trong các tình huống thực tế.

Mở đầu: bạn mình ở tầng nào?

Mở bản đồ trên điện thoại, bạn thấy một chấm nhỏ nhấp nháy: đó là chỗ người bạn của mình đang đứng. Tới nơi, hoá ra đó là một toà nhà 30 tầng. Bạn ấy ở tầng nào?

Hai con số của bản đồ không trả lời được. Trên mặt phẳng, hai số là đủ; trong không gian, phải thêm con số thứ ba: độ cao.

1. Hệ trục toạ độ Oxyz

Lấy ba trục Ox, Oy, Oz chung gốc O và đôi một vuông góc với nhau. Trên mỗi trục lấy một vectơ đơn vị (dài bằng 1): $\vec{i}$ trên Ox, $\vec{j}$ trên Oy, $\vec{k}$ trên Oz.

• Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục toạ độ Oxyz; điểm O là gốc toạ độ.
• Ba trục, lấy từng đôi, tạo thành ba mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx). Ba mặt phẳng này cũng đôi một vuông góc.

Ví dụ 1 (máy in 3D). Đầu phun của máy in 3D trượt theo ba thanh ray đôi một vuông góc: ra trước, sang ngang, lên cao. Ba thanh ray ấy chính là ba trục Ox, Oy, Oz; mặt bàn in là mặt phẳng (Oxy).

Ví dụ 2 (giá ba chân của máy ảnh). Ba chân của giá cũng chụm về một điểm, nhưng góc giữa hai chân bất kì không phải góc vuông. Thiếu "đôi một vuông góc" thì ba chân không làm thành một hệ trục toạ độ Oxyz được.

2. Toạ độ của điểm

Với mỗi điểm M, có đúng một bộ ba số (x; y; z) sao cho

$\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}.$

Bộ ba đó là toạ độ của điểm M, viết M(x; y; z): x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ.

Nói bằng lời: từ gốc O, đi x đơn vị dọc trục Ox, y đơn vị dọc trục Oy, rồi z đơn vị dọc trục Oz thì tới M.

Ví dụ 1 (drone). Trong một màn trình diễn ánh sáng, một chiếc drone cất cánh từ gốc O, bay 3 đơn vị theo trục Ox, 6 đơn vị theo trục Oy, rồi lên cao 4 đơn vị. Khi đó $\overrightarrow{OM} = 3\vec{i} + 6\vec{j} + 4\vec{k}$, nên M(3; 6; 4).

Ví dụ 2 (hình chiếu). Hạ M(3; 6; 4) thẳng xuống mặt sân (mặt phẳng (Oxy)) ta được điểm H(3; 6; 0): nằm trên mặt sân thì cao độ bằng 0. Điểm K trên trục Oz ngang tầm với M là K(0; 0; 4).

Tổng quát, với M(x; y; z):

Gốc toạ độ là O(0; 0; 0).

3. Toạ độ của vectơ

Mọi vectơ $\vec{a}$ đều viết được, theo đúng một cách, thành $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$. Bộ ba (x; y; z) là toạ độ của vectơ $\vec{a}$, viết $\vec{a} = (x; y; z)$.

• Đặt gốc của $\vec{a}$ vào điểm O, ngọn của nó chỉ đúng điểm M có cùng toạ độ: toạ độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ chính là toạ độ của điểm M.
• Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi ba toạ độ tương ứng bằng nhau.
• Vectơ nối hai điểm: lấy toạ độ điểm cuối trừ toạ độ điểm đầu

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\ y_B - y_A;\ z_B - z_A).$

Ví dụ 1 (drone đổi đội hình). Drone bay từ A(1; 4; 2) tới B(5; 1; 3). Ta có 5 − 1 = 4; 1 − 4 = −3; 3 − 2 = 1, nên $\overrightarrow{AB} = (4; -3; 1)$.

Ví dụ 2. $\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{k} = 2\vec{i} + 0\vec{j} - 3\vec{k}$. Không có $\vec{j}$ nên tung độ bằng 0: $\vec{u} = (2; 0; -3)$.

Bảng tóm tắt

Lỗi hay gặp

• Chỉ viết hai toạ độ theo thói quen mặt phẳng. Trong không gian, điểm nào, vectơ nào cũng có ba toạ độ: gốc O là (0; 0; 0), không phải (0; 0).
• Bỏ trống toạ độ bằng 0 hoặc đặt sai chỗ. Điểm P có hoành độ 4, cao độ 5 và không đi theo trục Oy phải viết P(4; 0; 5), không viết P(4; 5; 0) hay P(4; 5).
• Lấy đầu trừ cuối. $\overrightarrow{AB}$ là toạ độ B trừ toạ độ A. Làm ngược lại thì ra $\overrightarrow{BA}$, mọi toạ độ đều sai dấu.
• Đọc sai thứ tự khi vectơ viết lộn xộn. $\vec{c} = 3\vec{k} - \vec{i}$ có toạ độ (−1; 0; 3), không phải (3; −1; 0).
• Quên rằng toạ độ phụ thuộc hệ trục. Cùng một điểm, chọn gốc O khác hoặc đổi hướng trục thì toạ độ khác. Đề bài cho hệ trục nào thì tính theo hệ trục đó.
• Nhầm ba đường bất kì chung một điểm là hệ trục. Phải đôi một vuông góc mới là hệ trục toạ độ Oxyz.

Bài tập theo dạng

Dạng 1. Đọc toạ độ của điểm trên hình

Cách làm: từ gốc O, đi dọc theo ba trục để tới điểm đó; mỗi quãng đi là một toạ độ.

Bài 1. Hình hộp chữ nhật OABC.DPQR có A, C, D lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz; OA = 4, OC = 7, OD = 5 (B là đỉnh thứ tư của đáy OABC; P, Q, R lần lượt nằm ngay trên A, B, C).
a) Tìm toạ độ của B và Q. b) Tìm toạ độ của P.

Bài 2. Tìm toạ độ của điểm E thuộc tia Oy với OE = 9, và điểm F thuộc tia đối của tia Oz với OF = 2.

Dạng 2. Tìm toạ độ của vectơ

Cách làm: biết hai đầu mút thì lấy điểm cuối trừ điểm đầu, từng toạ độ một.

Bài 3. Cho A(2; −1; 3) và B(5; 4; −2).
a) Tìm toạ độ $\overrightarrow{AB}$. b) Tìm toạ độ $\overrightarrow{BA}$. c) Viết $\overrightarrow{AB}$ theo $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.

Bài 4. Viết toạ độ của $\vec{p} = -\vec{j} + 4\vec{i}$ và $\vec{q} = 6\vec{k}$.

Dạng 3. Tìm điểm nhờ hai vectơ bằng nhau

Cách làm: gọi toạ độ điểm cần tìm là (x; y; z), viết hai vectơ bằng nhau, rồi cho từng toạ độ tương ứng bằng nhau.

Bài 5. Cho A(1; 2; 0), B(4; 3; 2), C(6; −1; 5). Tìm điểm D để ABCD là hình bình hành.

Bài 6. Cho điểm E(−2; 0; 5) và $\overrightarrow{EF} = (3; 7; -1)$. Tìm toạ độ điểm F.

Dạng 4. Bài toán thực tế

Cách làm: chọn hệ trục, ghi các vị trí thành toạ độ, rồi tính như dạng 2 và dạng 3.

Bài 7. Một nhóm khảo sát hang động chọn gốc O ở cửa hang, trục Ox hướng đông, Oy hướng bắc, Oz hướng thẳng lên, đơn vị là mét. Họ đi từ trạm A(20; 15; −8) tới trạm B(50; −25; −20).
a) Tìm vectơ độ dịch chuyển $\overrightarrow{AB}$ và nêu ý nghĩa. b) Nếu đi tiếp đúng một độ dịch chuyển như thế nữa thì tới điểm C nào?

Bài 8. Trong bài 7, vì sao mọi trạm đặt cao hơn cửa hang đều có cao độ dương, còn mọi trạm thấp hơn cửa hang đều có cao độ âm?

Chuyện bên lề

Trục thứ ba đến muộn. Toạ độ ra đời ở thế kỉ 17 để nghiên cứu các đường cong trên mặt phẳng. Thật ra lúc đầu người ta chỉ dùng một trục, đo một độ dài biến thiên so với trục ấy; cặp hai trục vuông góc quen thuộc là do những người chú giải thêm vào về sau.

Năm 1700. Ở Paris, nhà toán học Antoine Parent viết về hình học với ba toạ độ; ông có ý tưởng biểu diễn một mặt bằng một phương trình liên hệ ba toạ độ của điểm trên mặt đó.

Cậu thiếu niên 16 tuổi. Người làm hình học ba toạ độ thành hình rõ rệt là Alexis Clairaut (1713–1765), cũng ở Paris. Mới 16 tuổi, cậu đã viết xong một công trình về những đường cong "có hai độ cong", tức là đường cong uốn lượn trong không gian, không nằm gọn trong một mặt phẳng nào (như lò xo hay đường ren ốc vít). Công trình in năm 1731, và nhờ nó Clairaut được nhận vào Viện Hàn lâm Khoa học Paris khi mới 18 tuổi, dưới tuổi quy định. Muốn tả một đường cong như thế, hai con số là không đủ.

Sau đó. Leonhard Euler là người dùng phương pháp toạ độ để nghiên cứu có hệ thống các đường cong và các mặt trong không gian.

Ngày nay dùng vào đâu? Hệ thống định vị vệ tinh dùng một hệ trục đặt gốc ở tâm Trái Đất: một trục đi qua hai cực, hai trục kia nằm trong mặt phẳng xích đạo. Vị trí của vệ tinh và của chiếc điện thoại đều được ghi bằng ba con số tính từ gốc đó. Máy in 3D và máy cắt điều khiển số cũng chạy theo các lệnh toạ độ.

Trò chơi 5 phút ở nhà

"Hạt đậu ba tầng". Lấy ba khay đá viên (hoặc ba vỉ trứng) giống nhau, xếp chồng lên nhau thành ba tầng. Quy ước: số thứ nhất là hàng, số thứ hai là cột, số thứ ba là tầng (tầng dưới cùng là tầng 1). Một người giấu một hạt đậu vào một ô rồi chỉ đọc ba con số, ví dụ (2; 5; 3); người kia phải mở đúng ô ngay lần đầu. Sau đó đổi vai, và thử đổi quy ước: đếm hàng từ phía bên kia. Cùng một ô, ba con số đã khác đi. Hỏi nhau: hai ô nằm thẳng đứng trên nhau thì khác nhau ở con số nào?